معلومات عن مفارقة باناخ تارسكي

بتقطيع كرة صلبة إلى خمس قطع وإعادة تجميعها باستخدام حركات جامدة فقط، يمكن تشكيل كرتين صلبتين بنفس الحجم والشكل الأصلي، وتُعرف هذه النظرية باسم مفارقة باناخ تارسكي.

لماذا لا يمكن أن يكون هذا شيء حقيقي في الواقع، و يتم تطبيقه على كرة من الذهب؟

إذا كان بإمكاننا تجزئة المادة إلى أجزاء لا نهائية (الأمر الذي غير ممكن بالطبع)، ستتحقق النظرية. ومع ذلك، الأشكال المذكورة غريبة لدرجة أنها لا تتضمن مفهوما واضحا للحجم أو القياس المرتبط بها. المفارقة بارناخ تارسكي تظهر أنه لا يوجد مشكلة في وصف الأحجام التي تتوافق مع تعريفنا الأساسي للأشياء، حيث ستكون هناك دائما مجموعات غريبة تنحرف عن وصفنا وتعريفنا للأحجام (كما أظهر المثال السابق الذي أدى إلى 2=1)

هناك نسخة أخرى من النظرية تقول إنه يمكن للشخص أن يأخذ كرة صغيرة بحجم حبة البازلاء ويقوم بتقسيمها إلى قطع غير منتهية، وعندما يتم جمعها مرة أخرى، يمكن أن تكون الكرة بحجم الشمس.

يعتقد الطلاب في العادة أن هذه الحقيقة غير قابلة للفهم أو الإيمان، وفي هذه الحالة يقول خبراء الرياضيات إنه يجب إعادة ترتيب مفاهيمنا حول الأشياء المحددة مثل الحجم، وهو من الأمور التي تبدو بديهية لبعض الناس.

الرياضيات و مفارقة باناخ

لتحقيق هذه النظرية والتأكيد عليها، يجب عدم القيود على الحركات الصلبة، أي يمكن أن يتمدد المسافة [0,1] لتكون ضعف طولها ثم يتم قطعها إلى قطعتين بنفس الطول السابق.

بالإضافة إلى ذلك، يجب تجنب الالتزام بالأرقام المحددة والبحث عن أرقام لا نهاية لها لجعل المفارقة أكثر قابلية للتصديق.

الإثبات يقتضي دراسة إجراءات المجموعة على وجه التحديد، والمجموعات الفرعية لمجموعة الدوران SO(3) هي مجموعات فرعية مولدة على جيلين. تسمح هذه المجموعات الفرعية ببناء مجموعات متطابقة ويمكن حينها إنشاء نسختين أو أكثر من النسخة الأصلية، يعتمد هذا الدليل أيضا على براعة الاختيار.

مفارقة باناخ تارسكي والعالم الواقعي

مفارقة باناخ تارسكي غير ممكنة في العالم الواقعي. لأن النسخة الرياضية من المفارقة تقتضي بأن المواد لا يمكن قياسها. وهذا لا يحدث في الواقع لأن كل مادة في الواقع هي مادة يمكن قياسها، لأنها تتألف من عدد محدد من الذرات الذين يقومون بأخذ مساحة معينة. بشكل رياضي، حتى لو أصبحت المواد المنتهية غير منتهية لا يزال هناك إمكانية قياسها، لذا من أجل تحقيق النظرية يجب العمل جيدا على خلق شيء لا يمكن قياسه.

مفارقة باناخ تارسكي تقسم الكرة إلى عدد محدود من مجموعات النقاط التي لا حد لها، والكلمة المفتاحية في هذه النظرية هي محدود. في الواقع، يمكن تقسيم الكرة على عدد محدود كخمس قطع، وواحدة منها تكون في المركز. ومن خلال الأربع قطع المتبقية، يمكن قسمهم إلى مجموعتين كل مجموعة تحتوي على قطعتين، ويمكن خلق كرة كاملة في كل مجموعة، كل واحدة منها تبدو بنفس الحجم الأصلي.

لا يمكن فعل هذا الشيء في الواقع الحقيقي (نظرًا لتحديد الواقع من الذرات)، ولكن يمكن إجراء تشابه جزئي في الواقع الحقيقي، ويتطلب ذلك معرفة دقيقة بقوانين الغازات والضغوط والأحجام المرتبطة بها.

يمكن بدء العمل بواسطة بالون قابل للتمدد بحجم محدد من الغاز الموجود فيه. ثم يتم إطلاق الغاز في وعاء يحتوي عليه وتقسيمه لملء اثنين من البالونات. تحتوي كل بالونة من البالونات على نصف الحجم الأصلي. ولكن قد يكون هناك خدعة، حيث يتم تقليل الضغط في الغرفة إلى النصف. وهذا يؤدي إلى زيادة حجم البالون إلى الحجم الأصلي، حتى يبدو كل بالون بنفس الحجم الحقيقي.

على الرغم من أن كل بالون جديد لديه نفس الحجم الأصلي، إلا أن كثافته تصل إلى نصف الكثافة الأصلية، وبالتالي فإن هذه البالونات ليست نفس البالونات الأصلية.

الاعتراض على النظرية صحيح في العالم المادي، ولكن في الرياضيات يمكن الحصول على مجالين متطابقين من مجالٍ واحدٍ، حيث يحوي المجال الرياضي كثافةً لا نهائية،وعند قطع الكثافة اللا نهائية إلى النصف، يظل المجال الجديد يحتوي على كثافةٍ لا نهائيةٍ، وهذا يمثل الفرق بين العالم المادي والعالم الرياضي

التحليلات المتناقضة

قبل محاولة إثبات مفارقة باناخ تارسكي، يمكن الاستفادة من مفارقات مشابهة ومحاولة فهمها للمساعدة في فهم نظريات من هذا النوع.

إحدى أول النظريات التي نشأت حول المفارقات في الصراع تتعلق بفكرة المحدودية. يمكن تعيين مجموعة الأعداد الصحيحة في علاقة 1-1 مع جميع الأعداد الصحيحة. يبدو هذا أمرا غريبا في البداية. إذا قدرت الكائنات المحددة بأنها متساوية بطريقة ما، يمكن تجزئة العدد Z إلى قطعتين، وكل منهما بحجمها الأصلي. قام كانتور بالعمل على هذه الفكرة وطور نظرية الكاردينال، التي تواجهها اليوم علماء الرياضيات في محاولة فهم بعض الأشياء أو قبولها.

بفضل هذه النظرية، نتعرف على أن عدد النقاط في مسافة معينة يساوي عدد النقاط في مربع، ولا يمكن أن تفاجأنا بهذه الحقيقة إذا ما سمحنا للنقاط بالتحرك بهذه الطريقة، فعلى سبيل المثال، فإن النقاط في (0، 1) تتطابق مع النقاط في (0، 2)، ويمكن الوصول إلى ذلك باستخدام العلاقة الرياضية f (x) = 2x.

يتعين هنا مواجهة مشكلة أخرى (0، 2) وهي ببساطة دمج مجموعتين (0، 1) و (1، 2) والتي تكون كل منهما مماثلة للأصل، فكيف يتم ذللك؟

يتم تقييد عدد القطع المسموح بها في الفضاء، ويتم تحديد المفارقات الأصلية بناءً على مجموعة التحولات المسموح بها، ويتم تحديد تعريفنا للمفارقة بناءً على مجموعة التحولات المحدودة التي يمكن القيام بها.

القطع في مفارقة باناخ

حتى الآن، لم ننتبه إلى عدد القطع التي نستخدمها بالفعل (ازدواجية الكرة). في المناقشات والنظريات السابقة يستخدم المجال أكثر من ثماني قطع؛ وبالتالي، فإن تكرارنا للكرة لم يستخدم أكثر من سبعة عشر. لماذا من المهم الاهتمام بعدد النقط، إذا لم يكن لحقيقة رائعة حقا أننا بحاجة لها. في الواقع، العدد الأدنى المطلوب لتكرار أي مجموعة مع أي عمل جماعي هي أربعة (لأنه بخلاف ذلك أحد القطع تتطابق في حد ذاتها مع المجموعة بأكملها، مما يعني أنها المجموعة بأكملها متجانسة). لن يمكن التوصل إلى هذا الحد الأدنى من الإجابة على الكرة لمجرد التفكير المجهد، لأن الطريقة التي سنستخدمها ستصبح قابلة للتطبيق في الأجناس.

تساؤلات حول مفارقة باناخ تارسكي

هذه المفارقات مفيدة لأنها تتحدى الحدس. لقد رأينا أن المفارقات تم بناؤها لإظهار عدم وجود تدابير معينة ولكنها اكتسبت سمعة سيئة في حد ذاتها باعتبارها فضول ونظريات غير قابلة للتطبيق. ولم يكن هناك إثباتات علمية كافية في العالم المادي. في الواقع لقد قام العلماء فقط بالتحليق على سطوع هذ النظريات وهذا الباب من العلم ولم يكن هناك تعمق كافي.

يدفع هذا إلى التساؤل عن نظريات إضافية، فماذا عن مسافات أخرى مثل المستوى الزائدي؟ في الواقع، اتضح أن مستوى الزائدي يتضمن مفارقة يستخدم فيها قطع بوريل، وهذا لا يحدث بسبب مقياس Lebesgue. كما أن هناك مشكلة مفتوحة أخرى تتمثل في ما إذا كانت المساحة المترية المدمجة يمكن أن تكون متناقضة باستخدام قطع Borel. وتتمحور مشكلة Marczewski حول ما إذا كان يمكن لـ S2 أن يعترف بمفارقة التحلل حيث تمتلك القطع خاصية Baire، ويتم تعيين Borel بواسطة اتحاد لا يحصى من مجموعات كثيفة في أي مكان، أو هل يمكن تقسيم الطائرة إلى ثلاث قطع متطابقة