معلومات عن حدسية ريمان

يقترح ريمان أنه يمكن استخدام الأرقام الصحيحة أو الحقيقية أو حتى الأعداد المركبة بدلاً من القيمة s في الدالة، وتتكون الأعداد المركبة من شق حقيقي وشق تخيلي، ويتم رمز للأعداد المركبة باستخدام الرمز (i).

عند تخيل خط الأعداد الحقيقية الممتد على شعاع ذو أطراف متماثلة، يكون الصفر منتصفه وتوزع عليه الأرقام من 1 إلى مالانهاية في الجانب الموجب، ومن -1 إلى مالانهاية في الجانب السالب. جميع هذه الأرقام التي تقع على خط المالانهاية وتتم توزيع الأرقام الموجبة والسالبة عليها تعتبر أرقاما حقيقية. ولكن لنرى كيف سنمثل الأعداد المركبة إذا أردنا إضافتها إلى هذا الخط. سيكون التمثيل كما هو موضح في الصورة في الأسفل.

كما نلاحظ من النقطة المشار عليها في الصورة فيه عبارة عن نقطة ما بين الأعداد المركبة والأعداد الحقيقية والتي تساوي (2+3i)، كان يظن ريمان في بداية الأمر أنه من الممكن أن نعوض الـ S بأي رقم من الأرقام الحقيقة 2 أو 3 أو 4 أو 5 إلى أخره، حتى يقترب الناتج إلى قيمة معينة من الممكن أن نحددها، مما يعني أن الدالة ببساطة معرفة لكل هذه القيم.

سرعان ما تدرك ريمان خطأها حيث أن أي قيمة لـ (s) ستنتج قيمة معرفة للدالة زيتا، طالما كانت قيمة (s) تقع على الجانب الأيمن من الخط الرأسي الذي يمر بالرقم واحد، وهذا يعني أن أي رقم بقيمة أكبر من واحد يعني أن الدالة زيتا معرفة، وإلا فإن الدالة غير معرفة.

وجد ريمان طريقة لتوسيع الأعداد التي يمكن للدالة أن تصبح معرفة في المستوى بأكمله، ولكن الدالة لا تزال غير معرفة في نقطة محددة وهي النقطة واحد. وعلى الرغم من سهولة الرقم واحد في الجمع والضرب والقسمة، يعد هذا الرقم مشكلة كبيرة لم يحلها علماء الرياضيات حتى الآن. والطريف في الأمر أن الدالة ستكون معرفة في النقطة (i) على خط الأعداد المركبة، ولكنها لا تزال غير معرفة في النقطة واحد.

سؤال المليون دولار لريمان

لكن بعد كل هذا، ما هو السؤال الذي قيمته مليون دولار؟ السؤال ببساطة هو: ما هي الأصفار التي يمكن أن نعوض بها داخل الدالة لتكون قيمتها صفر؟ هناك أرقام تجعل الدالة تساوي صفر، وهي الأعداد الزوجية السالبة مثل -2، -4، -6، وهكذا. ولكن هذا ليس السؤال بالضبط، والسؤال يريد الأصفار الأخرى التي لم يذكرها. ريمان لم يترك السؤال بهذه البساطة.

وضع ريمان منطقة تحتوي على جميع الأصفار الغير واضحة، وهذه المنطقة تقع بين النقطة صفر والنقطة واحد على الخط الرأسي، وفرض فرضية تفيد بأن جميع الأصفار الغير واضحة في الدالة تقع في النقطة 0.5 على الخط الرأسي.