معادلة برنولي وتطبيقاتها

تعمل نظرية ومعادلة برنولي من أجل حساب تدفق السوائل المثالي على طول خط انسيابي ، وهذه المعادلة والنظرية صالحة فقط إذا كانت الشروط التي تم افتراضها أثناء اشتقاقها جيدة عند تطبيقها على مشكلة ، وتنص نظرية برنولي على أن الطاقة الكلية للسائل في ظل ظروف معينة على طول خط انسيابي تظل ثابتة ، ومن هنا يمكننا استخدام هذه المعادلة لبرنولي بين نقطتين على تبسيط للعثور على معلمات غير معروفة .

تعريف مبدأ برنولي

مبدأ برنولي هو فكرة أن زيادة سرعة السائل تؤدي إلى انخفاض في الضغط، وانخفاض سرعة السائل يؤدي إلى زيادة الضغط. مثال على مبدأ برنولي هو جناح الطائرة، حيث يسبب شكل الجناح انتقال الهواء لفترة أطول فوق الجزء العلوي، مما يؤدي إلى انتقال الهواء بشكل أسرع، وبالتالي يقلل من ضغط الهواء وينشئ قوة رفع مقارنة بالمسافة المقطوعة وسرعة الهواء وضغط الهواء تحت الجناح .

يحدث زيادة في سرعة السائل عندما ينخفض الضغط، وأظهر العالم السويسري دانييل برنولي في معظم الحالات أن الضغط في السائل أو الغاز يتناقص مع زيادة حركة السائل أو الغاز بشكل أسرع، وهذا يفسر جزئيًا سبب رفع جنح الطائرة .

ما هي نظرية برنولي

نظرية برنولي هي العلاقة بين الضغط والسرعة والارتفاع في مائع متحرك سواء سائلا أو غازا. وقابلية الانضغاط واللزوجة، أي الاحتكاك الداخلي، لا يمكن تجاهلهما، وتدفقهما ثابت أو رقائقي. أول نظرية قام بها عالم الرياضيات السويسري دانييل بيرنولي تنص في الواقع على أن الطاقة الميكانيكية الكلية للسوائل المتدفقة، بما في ذلك الطاقة المرتبطة بضغط المائع وطاقة الجاذبية المحتملة للارتفاع والطاقة الحركية للسوائل المتحركة، وبالتالي تعتبر نظرية برنولي هي مبدأ الحفاظ على الطاقة للسوائل المثالية في التدفق الثابت وهو الأساس للعديد من التطبيقات الهندسية .

لذلك تشير نظرية برنولي إلى أنه إذا كان السائل يتدفق أفقياً بحيث لا يحدث أي تغيير في طاقة الجاذبية المحتملة ، فإن انخفاض ضغط السائل يرتبط بزيادة سرعة المائع ، وإذا كان السائل يتدفق عبر أنبوب أفقي ذو مساحة مقطعية متفاوتة على سبيل المثال فإن السائل يتسارع في المناطق الضيقة بحيث يكون الضغط الذي يمارسه السائل أقل مكان يكون فيه المقطع العرضي أصغر .

تطبيقات معادلة برنولي

العثور على الضغط في تدفق السوائل

في بعض مشكلات تدفق السوائل، يمكن معرفة السرعات في نقطتين مختلفتين والضغط في نقطة واحدة، والمتغير غير المعروف هو الضغط في النقطة الأخرى. وفي مثل هذه الحالات، إذا توفرت الشروط المطلوبة لمعادلة برنولي، يمكن استخدام معادلة برنولي لحساب الضغط في النقطة الغير معروفة .

مثال واحد يتمثل في تدفق السوائل من خلال فوهة ضيقة، حيث يدخل التدفق إلى الفوهة بسرعة منخفضة ويتسارع ويخرج من الفوهة إلى الضغط الجوي. ويتعين علينا حساب الضغط عند الدخول عن طريق تطبيق بسيط لمعادلة برنولي بين نقاط الدخول والخروج. ويمكننا حساب الضغط غير المعروف بافتراض أن التغير في الارتفاع هو صفر. في هذا المثال، لا يوجد تغير في الارتفاع بسبب وجود الفوهة الضيقة التي تسبب تسارع السوائل. وباستخدام مبدأ توازن الطاقة في المعادلة، يمكننا القول بأن زيادة السرعة تؤدي إلى انخفاض الضغط عند مخرج الفوهة .

العثور على سرعة تدفق السائل

في المشاكل التي تتضمن الضغط والارتفاع عند نقطتين والسرعة عند نقطة واحدة غير معروفة، يتم استخدام معادلة بيرنولي لحساب السرعة المطلوبة، ومن أمثلة هذه المشاكل هو تدفق السائل عبر سيفون لتصريف السائل من خزان على مستوى أعلى إلى مستوى أدنى .

وهنا هو مطلوب للعثور على السرعة التي يترك السائل سيفون ، ونطبق معادلة برنولي بين سطح الخزان ونقطة خروج السيفون حيث يترك السائل الأنبوب ، والضغط في كلتا النقطتين هو نفسه في الغلاف الجوي والسرعة في الخزان تكاد لا تذكر لأن الخزان كبير ، ويمكن حساب السرعة عند نقطة الخروج باستخدام قيم الارتفاع عند النقطتين .

في هذا المثال، يمكننا القول إن انخفاض الارتفاع أو الرأس المحتمل يتجلى في شكل سرعة المائع عند نقطة خروج أنبوب السيفون .

تطبيق معادلة برنولي في الإطارات المتحركة

في بعض أنماط تدفق السوائل تكون شروط تطبيق معادلة برنولي غير راضية في الإطار الثابت ، ولكن في الحالة نفسها بالنسبة لبعض الإطار المرجعي المتحرك يتم استيفاء الشرط المطلوب ، وفي مثل هذه الحالة يمكننا تطبيق معادلة برنولي من الإطار المرجعي بالقصور الذاتي المتحرك ، ومن الأمثلة المناسبة لتطبيق معادلة بيرنولي في إطار مرجعي متحرك العثور على الضغط على أجنحة طائرة تطير بسرعة معينة ، وفي هذه الحالة يتم تطبيق المعادلة بين نقطة ما على الجناح ونقطة في الهواء الحر ، وكانت هذه تطبيقات قليلة لمعادلة برنولي .

تحليل تدفق السوائل

لتصميم أنظمة هيدروليكية فعالة في الهندسة المدنية، من الأهمية بمكان تحليل تدفق السوائل في النظام أولا، وشرح مفهوم تحليل تدفق المائع وكيفية استخدامه في سياق تحليل التدفق، وعند استخدام معادلة برنولي، يتم تحليل حركة تدفق السوائل من حيث الموقع والسرعة والتسارع في تدفق السوائل وديناميكيات التدفق .

تطبيق معادلة برنولي على تدفق الغازات

يمكن أن تكون معادلة برنولي صالحة في بعض الأحيان لتحديد تدفق الغازات، ما لم يتم نقل الطاقة الحركية أو المحتملة من تدفق الغاز إلى ضغط الغاز أو تمدده. وإذا تغير ضغط الغاز وحجمه في نفس الوقت، فسوف يتم التعامل على أو بواسطة الغاز .

في هذه الحالة لا يمكن افتراض أن معادلة برنولي في شكل تدفق غير قابل للضغط ومع ذلك إذا كانت عملية الغاز متوازنة بالكامل أو متساوية اللون ، فلن يتم إجراء أي عمل على الغاز أو بواسطة الغاز ، وبالتالي فإن توازن الطاقة البسيط لا ينزعج ، ووفقًا لقانون الغاز عادة ما تكون العملية المتساوية أو المتساوية هي الطريقة الوحيدة لضمان كثافة ثابتة في الغاز ، كما أن كثافة الغاز ستكون متناسبة مع نسبة الضغط ودرجة الحرارة المطلقة ولكن هذه النسبة ستختلف عند الضغط أو التمدد بغض النظر عن كمية الحرارة غير الصفر التي تتم إضافتها أو إزالتها .

يستثنى فقط حالة انتقال الحرارة الصافية إذا كانت تساوي الصفر، مثلما يحدث في دورة ديناميكية حرارية كاملة أو في عملية فردية غير متجانسة غير متجانسة الاحتكاك. في هذه الحالة، يجب عكس هذه العملية القابلة للعكس لاستعادة الغاز إلى الضغط الأصلي والحجم المحدد وبالتالي الكثافة. وفي هذه الحالة فقط، يمكن استخدام المعادلة الأصلية غير المعدلة لبرنولي، إذا كانت سرعة تدفق الغاز أقل من سرعة الصوت، بحيث يمكن تجاهل الفرق في كثافة الغاز على طول كل خط انسيابي .