شرح معادلة الخط المستقيم
- معادلات الخطوط الأفقية والعمودية: معادلة الخطوط الأفقية أو الموازية للمحور السيني هي ص = أ، حيث أ هو إحداثي ص للنقاط الموجودة على الخط. وبالمثل، فإن معادلة الخط المستقيم الرأسي أو الموازي للمحور Y هي x = a، حيث a هو إحداثي x للنقاط المتواجدة على الخط المستقيم.
على سبيل المثال، إذا كانت للمحور السيني معادلة خط موازي يحتوي على النقطة (2،3)، فإن معادلته هي y = 3. وبالمثل، إذا كانت للمحور Y معادلة خط موازي يحتوي على النقطة (3،4)، فإن معادلته هي x = 3. [ - معادلة خط الميل والنقطة: تعرف معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة على أنها تأخذ في الاعتبار الخط غير الرأسي L، الذي يميل بمقدار (m) ويمر بنقطة (A) ذات إحداثيات (x، y)، ونقطة (P) ذات إحداثيات (x1، y1) وهي نقطة ثابتة على نفس الخط. يتم تعريف ميل الخط بواسطة الصيغة (م = (ص – ص1) ÷ (س – س1))
- على سبيل المثال، معادلة الخط المستقيم الذي ميله يساوي 2 ويمر بالنقطة (2،3) هي: ص – 3 = 2 (س – 2)، ويمكن تحويلها إلى شكل يساوي صفر عن طريق الجمع والطرح لتصبح: ص = 2س – 4 + 3، وس ص 1 = 0
- معادلة الخط المنحدر والمقطع: ضع في الاعتبار الخط الذي يميل بزاوية m ويقطع المحور Y عند المسافة “a” من الأصل. ثم يطلق على المسافة أ اسم تقاطع الخط مع المحور. سيكون نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي عند (0، أ). بعد ذلك، ستكون معادلة الخط المائل والمقطع y-أ = م (x-0) y = mx + a. بالمثل، يميل الخط المستقيم الذي يقطع المحور X عند المسافة b من الأصل في النقطة (b، 0). يطلق على المسافة b اسم تقاطع الخط x-. ستكون معادلة الخط
ص = م (س ب)
معادلة الخط المستقيم في الفراغ
- يتم الحصول على معادلة الخط في المستوى من خلال المعادلة الشائعة y = m x + C. ومع ذلك ، يجب أن ننظر في كيفية كتابة معادلة الخط في شكل متجه وصيغة ديكارتية. تشرح معادلة الخط الدرس هذه كيف يمكن إيجاد معادلة خط في مساحة ثلاثية الأبعاد. يُقال أن الخط فريد إذا مر عبر نقطة معينة وله اتجاه أو إذا كان يمر عبر نقطتين معينتين. دعونا ندرس أيضًا معادلة الخط المستقيم.
- لحساب الخط المستقيم ، تكون المعادلة العامة هي y = mx + c ، حيث m هي التدرج اللوني ، و y = c هي القيمة التي يقطع فيها الخط المحور y. بالإضافة إلى ذلك ، تُعرف قيمة c أو رقم c بالتقاطع على المحور y. علاوة على ذلك ، فإن معادلة الخط المستقيم ذي الانحدار m والقطع c على المحور y هي y = mx + c.
معادلة الخط المستقيم والميل
- معادلة خط مستقيم وميله المتساوي في جميع الأماكن، لذلك يمكن تحديد ميله باستخدام نقطتين على الخط المستقيم. يتم ذلك عن طريق اتخاذ الخطوات التالية: تحديد نقطتين على الخط المستقيم، واحدة تمثل (س1، ص1) والأخرى تمثل (س2، ص2). يتم حساب الميل باستخدام قانون حساب ميل الخط المستقيم عن طريق استبدال قيم النقطتين فيه، وهو: الميل (م) = (ص2 – ص1) / (س2 – س1).
- يساوي الخط الموازي لمحور السينات صفر في ميله، وهو خط أفقي. ويساوي ميل الخط الموازي لمحور الصادات قيمة غير معروفة، وهو خط عمودي. يتساوى ميل الخطين المتوازيين دائما، وحاصل ضرب ميل الخطين المتعامدين يساوي دائما القيمة (1-). عندما يتحرك الخط المستقيم من اليسار إلى اليمين ويتصاعد، فإن الميل يصبح موجبا. وعندما يتحرك الخط المستقيم من اليسار إلى اليمين وينخفض، فإن الميل يصبح سالبا .
- مثال المعادلة للخط المستقيم والميل:
- ميل المستقيم كانت معادلته هي : 4س – 16ص = 24. يكون الحل: ص= م×س+ ب، يكون فيها الميل = م ، وهو معامل س لذلك يستلزم ترتيب المعادلة: 4س – 16ص = 24، لتكون : -16ص = -4س + 24. وتقسم على -16 لجعل معامل ص مساوية للعدد واحد: ص = (-4س)/(- 16) + 24 / (–16)، ومنه: ص= (1/4) س – 1.5، وبالتباعية فإن الميل يساوي: م=1/4، وهو معامل س.
- إذا كان الميل في المعادلة: 2س + 4ص = -7. سيكون الحل: لحل هذا المثال يجب ان تحول هذه المعادلة إلى الصورة م س + ب= ص، وبالتابعية ينتج الآتي: 2س + 4ص = -7، وبتنسيق أطراف المعادلة يصبح أن: 2س+7=-4ص، وبالتقسيم الطرفين على (-4) ينتج أن ص=(1/2-)س + (7/4-)، فإن ميل هذا المستقيم يكون : م= 1/2-، وهو معامل (س).
إيجاد معادلات الخط المستقيم المختلفة
- إذا كان الخط المستقيم يشكل زاوية α مع الاتجاه الإيجابي لمحور x، فإن الميل أو الانحدار للخط، أي m = tan α.
- يتم حساب ميل الخط الذي يربط بين النقطتين (x1، y1) و (x2، y2) بالفرق بين إحداثيات النقطة المعينة، أي: م = (y2 – y1) / (x2 – x1).
- يتمثل حالة العلاقة الخطية المتداخلة لثلاث نقاط (x1، y1) ، (x2، y2) و (x3، y3) في المعادلة: x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2) = 0.
- يساوي محور x صفر ويساوي محور y اكس صفر.
- معادلة المستقيم الموازي لمحور x وعلى مسافة h وحدة من المحور x هي y = h.
- الخط المستقيم الموازي لمحور y بمسافة k وحدة من المحور y هو الخط x = k.
- يتم تمثيل معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع بالصيغة y = mx + b، حيث يمثل m الميل و b يمثل تقاطع الخط معلى محور y.
- صيغة معادلة الخط المستقيم بشكل نقطة الميل هي y – y1 = m(x – x1)، حيث يمثل m انحدار الخط و (x1، y1) نقطة على الخط.
- معادلة الخط المستقيم المتماثل تكون على الصيغة x – x1cosθ = y – y1sinθ = r، حيث أن θ هو ميل الخط، و (x1، y1) هي نقطة محددة على الخط، و r هي المسافة بين النقطتين (x، y) و (x1، y1).
- يتم تعريف معادلة الخط المستقيم بصيغة المسافة على أنها x − x1cosθ = y − y1sinθ = r، حيث θ هي زاوية الميل للخط، (x1، y1) هي نقطة معروفة على الخط، و r هي المسافة بين النقطة (x، y) والنقطة (x1، y1) على الخط.
- معادلة الخط المستقيم على شكل نقطتين هي: y − y1x − x1 = y1 − y2x1 − x2 أو y – y1 = y2 − y1x2 − x1 (x – x1) حيث (x1، y1) و (x2، y2) هما نقطتان على الخط.
- صيغة الخط المستقيم في صورة تقاطع هي xa + yb = 1، حيث يمثل a تقاطع x و b تقاطع y للخط المستقيم. يتقاطع الخط المستقيم مع المحور x عند (a، 0) والمحور y عند (0، b).
- في الصورة العادية، يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم بمعادلة x cos α + y sin α = p، حيث p هو المسافة العمودية للخط من الأصل و (a 0 α α ≤ 2π) هي الزاوية التي يصنعها الخط العمودي المرسوم على الخط مع الاتجاه الإيجابي لمحور x.
- المعادلة العامة للخط المستقيم هي ax + by + c = 0، حيث a و b و c هي ثوابت حقيقية (لا يمكن أن تكون كلها صفرًا).
- للعثور على إحداثيات نقطة التقاطع بين خطين، يتم حل المعادلات، حيث تمثل قيمة x الإحداثي وقيمة y تمثل إحداثي نقطة التقاطع.