تعرف المساحة رياضيا على أنها مقدار الفراغ الذي يشغله جسم معين. وكما هو معروف، فإن المساحة لها العديد من الاستخدامات العملية في حياة الإنسان، سواء في الزراعة أو الهندسة المعمارية أو البناء أو العلم أو الجوانب الأخرى لحياة الإنسان. وباستخدام المنطق الرياضي، يصبح من الممكن حساب مساحة أي شكل هندسي عن طريق وضعه على المستوى الديكارتي المدرج وحساب عدد المربعات التي تغطيه .
تشمل أشهر الصيغ الرياضية المستخدمة في حساب المساحة ما يلي:
- قانون منطقة المستطيل : المساحة= (الطول * العرض) .
- قانون المساحة المربع : المساحة = (طول الضلع * طول الضلع) أو (الضلع * 2) .
- قانون مساحة المثلث : المساحة = (نصف طول القاعدة × الارتفاع) .
- قانون مساحة الدائرة : المساحة = (3.14 * الشعاع 2) .
- قانون مساحة متوازي الأضلاع : المساحة = (طول القاعدة * الارتفاع) .
- قانون مساحة شبه المنحرف : مساحة = (1/2 × (القاعدة الأولى + القاعدة الثانية) × الارتفاع) .
ما هو المنشور
المنشور هو شكل هندسي يتكون من قاعدتين متماثلتين وأوجه مسطحة أو منبسطة. إنه أي شيء يشغل مساحة في الفضاء ويتكون من جانبين مضلعين يكونان متساويين ومتوازيين. يجب أن تكون أضلاعه المتبقية متوازية. تحدد الجانبان المقابلان القاعدتين المسماة المنشور وتسمى الأوجه الجانبية الأوجه المتبقية. الخطوط المستقيمة التي تتقاطع على الأوجه تسمى الأضلاع الجانبية. يتم تحديد ارتفاع المنشور وفقا للمسافة الطويلة بين القاعدتين. يوجد العديد من الأنواع مثل المكعب والمتوازي الأضلاع والمستطيل المتوازي. المنشور هو وجه متعدد الأوجه .
أشكال المنشور
توجد بعض الأنواع من المنشورات التي تختلف في هيئة قواعدها، وتتضمن أشكالًا مختلفة للمنشورات
- المنشور الرباعي .
- المنشور الثلاثي .
- المنشور الخماسي .
- المنشور السداسي .
يمكن أن يكون شكل المنشور الرباعي مربعا أو مستطيلا، بالإضافة إلى وجود نوعين آخرين من المنشور وهما المنشور القائم والمنشور المائل. في المنشور القائم، الوجوه والحواف التي تربط بين الوجوه تكون عمودية على القاعدة، وتكون الأوجه الجانبية بشكل مستطيل. أما في المنشور المائل، فلا تكون الوجوه والحواف عمودية، وتكون الأوجه الجانبية عبارة عن متوازي أضلاع .
وبناءً على ما سبق، يمكننا القول إن متوازي المستطيلات هو منشور رباعي، ويمكن أيضًا اعتبار المكعب حالة من حالات المنشور الرباعي، حيث تتماثل الوجوه مع القاعدة .
مساحة سطح المنشور الرباعي
مساحة سطح المنشور الرباعي : يمكن حساب المساحة الإجمالية للأشكال ثلاثية الأبعاد من خلال احتساب مجموع مساحات جميع الأوجه بالإضافة إلى المساحتين الأساسيتين، ويمكن ذلك عن طريق حساب مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة والأوجه المستطيلة، وذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية: –
يتم حساب إجمالي المساحة المنشور الرباعي بجمع مساحة القاعدتين ثم إضافة مساحة الأوجه الجانبية (أي المساحة الكلية للوجوه الجانبية) .
مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة
إيجاد مساحة المنشور الذي تكون قاعدته مربعة : سبق أن ذكرنا أن المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة يتميز بأن الأوجه الجانبية له مستطيلة، ولذلك يمكننا حساب مساحته باستخدام قانون مساحة سطح المستطيل .
يمكننا العثور على مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة عن طريق الآتي:
مساحة المستطيل هي ناتج ضرب طوله في عرضه
يتم الإشارة إلى طول ضلع القاعدة عند الحديث عن المستطيل في المنشور الرباعي، ويتم الإشارة إلى ارتفاع المستطيل عند الحديث عن طوله .
يمكن إيجاد المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مربعة، من خلال ضرب طول ضلع القاعدة في ارتفاع المنشور في العدد 4، وذلك لأن عدد أوجه المنشور الرباعي هو 4 .
طريقة أخرى لحساب المساحة الجانبية للمنشور الرباعي
من الممكن حساب المساحة الجانبية لمنشور رباعي الأضلاع الذي يتميز بقاعدة مربعة عن طريق حساب العرض المحيطي له
يمكن حساب مساحة قاعدة المنشور بالضرب بين محيط القاعدة وارتفاع المنشور، حيث تتكون قاعدة المنشور من أربعة أضلاع ويمكن حساب محيط القاعدة بالضرب في طول ضلع القاعدة بأربعة .
بالتالي، يكون المساحة الإجمالية للمنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة = (محيط القاعدةالمربعة × الارتفاع) + (2 × مساحة القاعدة المربعة) .
إيجاد إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة والأوجه المربعة (المكعب) : : “يمكن حساب مساحة المكعب عن طريق ضرب طول ضلع المكعب في نفسه ثلاث مرات، ثم ضرب الناتج في الرقم 6، لأن عدد أضلاع المكعب 6، وهو حالة خاصة من حالات المنشور الرباعي .
مساحة المنشور الرباعي ذو قاعدة مستطيلة
إيجاد مساحة المنشور الذي تكون قاعدته مستطيلة : يُمكن حساب مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة عن طريق الآتي:
يتم حساب مساحة المنشور بالشكل التالي: 2 × (عرض المنشور × طول المنشور) + 2 × (طول المنشور × ارتفاع المنشور) + 2 × (ارتفاع المنشور × عرض المنشور) .
ومن أجل إيصال المعلومة بوضوح، يتم تقديم عدد من الأمثلة التي توضح كيفية حساب مساحة سطح المنشور الرباعي
مثال على كيفية حساب مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة
احسب مساحة المنشور الرباعي الذي له قاعدة مربعة، إذا كان طول ضلع القاعدة 3 سم وكان ارتفاعه 5 سم؟
الحل
يتكوَّن إجمالي مساحة المنشور الرباعي من محيط القاعدة مُضروبًا في الارتفاع، بالإضافة إلى ضرب 2 في مساحة القاعدة .
ونظرًا لأن القاعدة لها شكل مربع، فإن محيطها = 4 × طول الضلع
أي أن محيط القاعدة = 4 × 3 = 12 سم .
مساحة القاعدة = طول الضلع مضروبا في عرض الضلع = 3 × 3 = 9 سم مربع.
بهذا الشكل، يكون مساحة المستطيل = (12×5) + (2×9) = 60+18 = 78 سم².
مثال على حساب مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة
يجب حساب مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة من خلال معرفة الطول الذي يساوي 3 سم والعرض الذي يساوي 5 سم والارتفاع الذي يبلغ 20 سم
الحل
مجموع مساحة المستطيل ذو القاعدة الرباعية = [ 2 × (العرض × الطول) + 2 × (الطول × الارتفاع) + 2 × (الارتفاع × العرض) ] .
بمعنى أن إجمالي مساحة المنشور الرباعي = [ 2×(3×5) + 2×(3×20) + 2×(20×5)
= 30+120+200= 350 سم² .
كيفية حساب إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة والأوجه المربعة (المكعب) كمثال
يرغب وائل في إنشاء مكعب يبلغ طول ضلعه 2 قدمًا لتخزين الدمى داخله. فإذا كان يحتاج إلى 25 مل من الطلاء لطلاء كل قدم مربع منه، فكم من الطلاء سيحتاج وائل لتغطية المكعب بالكامل؟
الحل
يجب حساب مساحة سطح المكعب بالبدء بحساب مساحة وجه واحد
مساحة سطح المكعب = 6×طول الضلع²
أي أنه = 6×2×2 = 24 قدم².
بما أن 25 مل من الطلاء يمكنها تغطية مساحة 2 قدم² من المكعب، فإن الكمية المطلوبة من الطلاء لتغطية 24 قدم² هي:
كمية الطلاء = 24 قدم مربع × 25 مل لكل قدم مربع = 600 مل .
قام حسام بصنع صندوق خاص له بشكل متوازي مستطيلات، حيث يبلغ ارتفاع الصندوق 6 سم، وطوله 15 سم، وعرضه 12 سم، فإذا علمت أن تكلفة الطلاء 0.5 دولار لكل سنتيمتر مربع، فما هي تكلفة طلاء الصندوق بالكامل؟
الحل
إجمالي تكلفة طلاء الصندوق = (إجمالي مساحة الصندوق × تكلفة طلاء السنتيمتر المربع الواحد) .
يمكننا حساب إجمالي مساحة الصندوق بحساب إجمالي مساحة الشكل الهندسي الرباعي ذو القاعدة المستطيلة، والذي يتألف من = [2 × (العرض × الطول) + 2 × (الطول × الارتفاع) + 2 × (الارتفاع × العرض)] .
أي أن إجمالي مساحة الصندوق =
[2×(15×12) + 2×(6×15) + 2×(12×6)] = 684 سم².
بهذا يكون إجمالي تكلفة الطلاء = 684 × 0.5 = 342 دولارًا .
حساب حجم المنشور الرباعي
- يمكن حساب حجم المنشور الرباعي عن طريق ضرب الطول في العرض في الارتفاع .
- أو يمكننا إيجاد حجم المنشور الرباعي من خلال : ضرب مجموع القاعدتين في ارتفاع المنشور .