الرياضيات تعد من أهم المواد التي يمكن أن تساعدنا في تسهيل التعاملات بيننا، وخاصة فيما يتعلق بالمعاملات المالية والتجارية. يمكننا أن نتعلم الأساسيات أو المفاهيم التي تعود بالنفع على حياتنا اليومية، حتى لو لم نكن ندرسها كمادة تعليمية أو تخصص. فمعرفة الأساسيات ضرورية لكي يكون الفرد قادرا على معرفة حقوقه وعدم استغلاله من قبل الآخرين. ومن بين الدروس الرياضية المهمة التي يمكن أن تفيد الإنسان في حياته اليومية، درس مضاعفات الأعداد، حيث يساعد في إجراء عمليات الضرب بسهولة ويسر في الأعداد .
مضاعفات العدد 10
يعرف المضاعف (بالإنجليزية: العدد المضاعف هو العدد الذي يتم الحصول عليه عن طريق ضرب عدد صحيح بعدد آخر صحيح، وليس عدد كسري. وهذا هو وصف للأعداد التي يمكن الحصول عليها عن طريق ضرب العدد 10 في الأعداد الصحيحة من (2) إلى (12)، وبناء على التعريف السابق، فإن مضاعفات العدد 10 هي
2×10= 20، 3×10 = 30، 4×10 =40، 5×10 = 50، 6×10 = 60، 7×10= 70، 8×10 = 80، 9×10 = 90، 10×10= 100، 11×10= 110، 12 × 10 = 120 .
ويجب أن ذكر أن مضاعفات العدد (10) يمكن أن يتم استخراجها بسهولة كبيرة ، حيث أن جميع هذه الأعداد يوجد بها العدد (0) في خانة الآحاد ، لذلك فإن الناتج سيكون فيه العدد (0) في خانة الآحاد كذلك ، ثم إتمام عملية الجمع عن طريق جمع الأعداد المتبقية في المنازل المتبقية ؛ فمثلاً 50+90 = 140 .
مضاعفات العدد 10 في الضرب
يمكننا الاستفادة من مضاعفات العدد 10 في حل بعض مسائل الضرب، وذلك عن طريق تفكيك أحد الأعداد إلى جزئين مجموعين، حيث يكون أحدهما هو العدد 10 أو مضاعفاته، ثم يتم تطبيق عملية الضرب على الجمع. ويمكن توضيح ذلك من خلال المثال التالي:
- يُمكن حل هذه المسألة عن طريق كتابة العدد 15 على شكل مجموع 5 و 10 ، وتكتيب المسألة بالتالي: 6 × (5 + 10)
- توزيع الضرب على الجمع، فتصبح المسألة: 6×(5+10) = 6×5+6×10 = 30+60 = 90 36×18= حل هذه المسألة عن طريق كتابة (18) على شكل (8+10)، وكتابة المسألة بالشكل التالي: 36×(8+10).
- توزيع الضرب على الجمع ، فتصبح المسألة: 36×(8+10) = 36×8+36×10.
- كتابة (36) على شكل (6+30)، وكتابة المسألة بالشكل الآتي: 36×8+36×10 = 8×(6+30) + 36×10 = 8×6 +8×30 + 36×10 = 48+240+360 = 648.
مضاعفات العدد 10 في الحساب الذهني
- يمكن استخدام مضاعفات عدد عشرة لتسهيل عمليات الحساب الذهني عند جمع الأرقام معا. يمكن إجراء هذا العمل من خلال إزالة جزء من العدد الأصغر وإضافته إلى العدد الأكبر ليصبح العدد الأكبر أحد مضاعفات العشرة الأقرب إليه، ثم إضافة المتبقي من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر بعد أن يصبح المجموع من مضاعفات العشرة. كمثال، يمكن جمع 17 و5 بإزالة جزء من 5 ليكون العدد الأكبر هو 17 وهو مضاعفة للعشرة الأقرب إليه، وبعد ذلك يمكن إضافة ما تبقى من 5 إلى 17 ليصبح المجموع 22.
- وذلك من خلال المثال التالي : (17+3)+2. إضافة ما تبقى من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر بعد تحوله إلى أحد مضاعفات العدد (10)، وذلك كما يلي: 20+2 = 22. 35+25= العدد الأصغر هو (25)، والأكبر هو 35، لذلك يجب إزالة جزء من العدد الأصغر ليصبح العدد الأكبر وهو 35 مساوياً لأحد مضاعفات العشرة الأقرب إليه، وهو 40، وذلك كما يلي: (35+5)+20.
- يتم إضافة العدد الأكبر والعدد الأصغر المتبقي بعد تحويل العدد الأصغر إلى واحد من مضاعفات العدد 10، وذلك عن طريق 40 + 20 = 60.
- يمكن إجراء عملية الجمع ذهنيا، عن طريق تقريب كل عدد من الأعداد لأحد مضاعفات العدد (10) القريب منه، ثم إضافة كل ما تبقى من الأعداد، وهي منزلة الآحاد في كل منها، وإضافتها إلى المجموع السابق للحصول على النتيجة، وذلك على النحو التالي: 23 + 12 + 25 + 32 = جمع كل مضاعفات الـ (10) القريبة من كل عدد من الأعداد، كالتالي: 20 + 10 + 20 + 30 = 8.
- جمع الآحاد، وهذا كالتالي : 5+2+3+2 = 12.
- جمع العددين السابقين معاً، وذلك كما تأتي : يساوي 80+12 مجموعهما 92. ويتم جمع جميع مضاعفات الـ (10) القريبة من كل عدد من الأعداد، كالتالي: 20+30+30=80. ويتم جمع الآحاد كالتالي: 5+2+4=11.
- جمع العددين السابقين معاً، وذلك كما تأتي : 80+11 = 91.
طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر
هناك أربعة طرق يمكن الاستعانة بها لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر، وهي كالتالي:
الطريقة القديمة
هذه الطريقة هي إحدى الأساليب التقليدية المستخدمة عادة لإيجاد العامل المشترك الأصغر بين الأعداد. تتمثل في كتابة جميع ضعفات كل عدد على حدة في قائمة، ثم البحث عن أصغر ضعف مشترك بينهما. ومع ذلك، العيب الواضح في هذه الطريقة هو أنها عادة لا يمكن استخدامها إلا عندما تكون الأعداد صغيرة. إذا أردنا إيجاد العامل المشترك الأصغر بين العددين 4 و 6، يجب أن نكتب ضعفات كل عدد بشكل منفصل لنتمكن من العثور على أصغر ضعف مشترك بينهما. يمكن توضيح ذلك من خلال هذا المثال: ضعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، … ضعفات العدد 6: 6، 12، 18. لذلك، العامل المشترك هو 6، و 4 هو 1.
من خلال التحليل إلى العوامل
يتمتحليل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم يتم احتساب عدد مرات تكرار كل عامل، وذلك لتطبيق الطريقة؛ ويمكن ذلك كما يلي:
- لإيجاد أصغر مضاعف مشترك بين الأعداد 16 و25 و60 باستخدام طريقة تحليل العوامل، يجب اتباع الخطوات التالية:
- تحليل كل عدد إلى عوامله: عوامل العدد 16: 2×2×2×2 = 24.
- عوامل العدد 25 : 5×5 = 52.
- عوامل العدد 60: 2×2×3×5 = 22×3×5 .
- سنلاحظ أن العدد 2 يتكرر الأكثر بمعدل 4 مرات، أي أنه يظهر مرفوعًا للأس 4 و 2، ويكون الأكبر بينهما هو الأس 4، لذلك يجب أن يتم رفع العدد 2 للأس 4 ووضعه جانبًا لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
- يتكرر العدد 5 مرتين فقط؛ إذ ظهر مرفوعًا للأس (1) وللأس (2)، والأكبر بينهما هو الأس (2). لذلك، يجب أخذ العدد 5 مرفوعًا للأس (2) ووضعه جانبًا لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
- لم نجد العدد 3 متكررًا إلا مرة واحدة، لذلك يجب رفع العدد 3 إلى الأس 1 ووضعه جانبًا لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
- وبالتالي، يساوي المضاعف المشترك الأصغر بين هذه الأعداد حاصل ضرب الأعداد التي تم وضعها جانبًا: 52 × 24 ×3 = 1200.
عن طريق القاسم المشترك الأكبر
يثم الحصول على المضاعف المشترك الأصغر للعددين (أ ، وب) مثلاً وهذا إذا كنا نعرف القاسم المشترك بينهما ، لأنه يكون من أهم المعطيات التي توصلنا إلى المضاعف المشترك الأصغر ، من خلال العلاقة التالية : المضاعف المشترك الأصغر بين (أ، ب) = (أ×ب)/ القاسم المشترك الأكبر بين (أ، ب) ، ولتوضيح أكثر نذكر المثال الآتي :
إذا كان القاسم المشترك الأكبر بين العددين 4 و6 يساوي 2، فإن المضاعف المشترك الأصغر بينهما هو 12، حيث يتم حسابه بالطريقة التالية: م.م.أ (4، 6) = (4×6)/2 = 24/2 = 12.
الأعداد الأولية
في حالة أن العددين (أ، وب) هما عددين أوليين ويراد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينهما، فإن المضاعف المشترك الأصغر بينهما يكون بسهولة حاصل ضرب العددين في بعضهما، أي: م.م.أ = أ × ب. وبالنسبة للعددين 11 و 23، فإن أصغر مضاعف مشترك بينهما هو 253، ويمكن التحقق من ذلك عن طريق كتابة مضاعفات العددين والعثور على أصغر مضاعف مشترك بينهما، ومن ثم يعتبر النتيجة صحيحة بكل تأكيد .