ما هي حدسية كولاتز

يعزى حدسية كولاتز (Collatz conjecture) إلى الرياضي الألماني لوثر كولاتز الذي قدمها في عام 1937، وتسمى بحدسية لأنه لم يتمكن علماء الرياضيات من حلها بعد. وهي نوع من الحكم القائم على التخمين والدليل الغير حاسم، مثل مسائل الألفية السبع في الرياضيات. إذا تم إثبات صحة الدليل، ستتحول الحدسية إلى نظرية. وفي عام 2019، وضع شخص مجهول تعليقا على مدونة الرياضي المشهور ترنس تاو “Terence Tao”، الفائز بجائزة الفيلدس ميدل “Fields Medal” المعروفة، والتي تعد مماثلة لجائزة نوبل، ولكنها متخصصة في الرياضيات.

كان التعليق يقال فيه  أن ترنس تاو يسعى لحل حدسية كولاتز لاغلب الأعداد بدلًا من كل الاعداد . هذا التعليق جعل ترنس تاو يعمل على حل الامر ، وبالفعل قام باستخدام احد التقنيات المستخدمة لدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية المعروفة بـ Partial differential equations PDEs ، واستطاع ان يثبت ان � أو أكثر من الأعداد ستكون في النهاية بقيمة قريبة نسبيًا للعدد 1 . وهذا سمح له باستنتاج أنّ 99% من القيم المبدئية “initial values” أكبر من كوادريليون (1015) وستكون في النهاية بقيمة اقل من 200، وقد تكون هذه اكبر  نتيجة في تاريخ هذه الحدسية.

يمكن للإنسان دائما أن يقوم بضرب العامل الأولي، ويضيف له واحدا، ثم يحلل مرة ثانية، لكن هذا يرمي بيانات التحليل الأولي لـ أ. لاحظ أن هذا السؤال له معنى أيضا في الأشكال الأخرى، مثل C [x]. يبدو أن الوصول إلى إجابات عن هذه التساؤلات واستيفائها صعب للغاية ولا يندرج تحت عنوان “فوري”، مثل الأعداد الأولية المميزة بكل عامل. يشير إلى أن هذا يعود جزئيا إلى أن تغييرا بسيطا يتم في العوامل الأولية عند ضربها في عدد أولي، على سبيل المثال، يمكن أن يكون له تأثير فارق في العوامل الأولية بأكثر من 1. لذا، من المثير للاهتمام اعتبار إضافة 1 كخلطة عشوائية أساسية للعوامل الأولية.

يتميز حدسية كولاتز بإعطاء بيان عميق حول العلاقة الثابتة بين التفسيرات الأولية للعدد a وللعدد a+1، حيث يتألف تكرار كولاتز من ثلاث خطوات، اثنان منها صغيران تتضمن العوامل الأولية والثالث يزيد العدد بمقدار واحد.

الضرب في 3 له تأثير طفيف على التحليل إلى عوامل. زيادة واحدة قد تكون لها تأثير واضح على العوامل. لكن قوة الضرب في 2 لها تأثير ضئيل على التحليل إلى عوامل. لذلك، يبدو أن فرضية كولاتز تقول إنه يوجد نوع من الكمية المجردة مثل الطاقة لا يمكن رفعها عشوائيا بإضافة واحدة.

أي بصرف النظر عن المكان الذي تشرع منه ، وبصرف النظر عن مكان اتمام خلط أولي غريب لزيادة 1 ، بالنهاية ، فإن فعل سحب 2s يأخذ طاقة وافية من النظام حتى تصل إلى 1. ويعتقد أنه لأسباب مثل هكذا ، يعتقد علماء الرياضيات أن حل حدسية كولاتز سيفتح سبلاً جديدة ويطور و تقنيات هامة في نظرية الأعداد.

لما حدسية كولاتز هي الاصعب

الكثيرون يعرفون عن حدسية كولاتز، وهي من المسائل الرياضية الصعبة التي فشل العلماء في حلها، ولكن الآن لا يزال الكثيرون يريدون فهم كيفية عملها بالضبط. وربما يوجد طريقة للتعامل مع هذه المشكلة بدون إضاعة الكثير من الجهد والوقت.

لن تتمكن من حلها باستخدام الطريقة الرياضية الحالية. تمت محاولة حلها من قبل العديد من الأشخاص ولم يصلوا إلى أي حل. يبدو أن حل مسألة كولاتز يحتاج إما إلى فهم أعمق لكيفية تفاعل الضرب والجمع بشكل خاص، مثل كيفية إضافة 1 مع الضرب، أو احتياجه إلى تطبيق نظرية الاستوائية التي يمكن أن تمنحنا معلومات عن المسارات الفردية بدلا من مجرد كلمات منتشرة في كل مكان تقريبا. ستكون لهذه الاختراقات تأثيرات بعيدة المدى على مسألة كولاتز .

للحصول على حل أكثر واقعية، يجب التأكد إذا كنت تعتقد أن هناك “خطة” لحل المسألة، من اثنين. أولا، التأكد من عدم محاولة البحث عن أي شيء يشمل “الاحتمالية” أو “العشوائية” لأن ذلك سيؤدي في أفضل الحالات إلى العبارة التي تحتوي على مجموعة واحدة من الأرقام الصحيحة مثل مبرهنة كولاتز للكثافة وتم إثبات ذلك في عام 1979. ثانيا، يجب التأكد من أن الطريقة المستخدمة لن تعمل مع المتغير 5n+1 إذا كان n مقسوما على 2، وإذا كان n عددا فرديا، فسوف يتحول إلى 5n+1، لأنه من السهل إظهار أن هذا المتغير لا ينتهي دائما.