حدسية بريتش- داير
إن حدسية بريتش داير في الرياضيات تصرح بأن المنحني الإهليجي ألا وهو نوع من المنحنى المكعب أو منحنى جبري من الرتبة الثالثة المحصور في منطقة تعرف باسم الحلقة، يكون لديه عدد لا نهائي من النقاط المنطقية أو يحتوي على عدد محدود من النقاط النسبية، ويعود هذا إلى الدالة المرتبطة به فإذا كانت مساوية للصفر أم لا على التوالي، كما أن لكل منحني إهليجي E تابع عقدي بمتغيرs حيث أنه يعرف بالدالة اللامية ورمزها E(L،s).
عمل العالمان بريتش وداير على اكتشاف الدالة اللامية للمنحني الإهليجي من خلال التجارب حيث أنه ينص على أن درجة انعدام التابع E(L،s) عند النقطة s=1 مرتبط ببعد الشبكية ويكون متواجد في زمرة النقاط الكسرية، ولكن تم هذا الأمر بالتجربة وليس بالبرهان الرياضي، حيث أن في أوائل الستينات في إنجلترا استخدم العالمان البريطانيان بريتش وبيتر سوينرتون داير جهاز الكمبيوتر ويسمى بالآلة الحاسبة الأوتوماتيكية للتخزين الإلكتروني المتأخر، لإجراء بعض التحقيقات الرقمية التي ترتبط بالمنحنيات الإهليجية، وبناء على هذه النتائج العددية توصلوا إلى تخمينهم الشهير، ولهذا سميت بالحدسية لأنها اعتمدت على التجربة، أما عند تعتمد على البرهان الرياضي تسمى فرضية.
في عام 2000، صنف تخمين بريتش داير كواحدة من مسائل الألفية السبع التي وضعها معهد كلاي في الرياضيات، وتم تحديد جائزة قيمتها مليون دولار لأي شخص يستطيع حلها وتقديم برهان رياضي مقبول لأي مسألة رياضية لم يتم حلها من قبل العلماء. وكما نعلم، تشمل مسائل الألفية السبعة مسألة P=NP، وفرضية بوانكاريه، وفرضية ريمان، وفرضية هودج، ومعادلات نافييه-ستوكس، ونظرية يانغ-ميلز، وأخيرا فرضية بريتش-داير. وحتى الآن، لم يتمكن أحد من حل هذه المسائل وتقديم براهين مقبولة.
ما هو المنحني الإهليجي
إن المنحني الإهليجي ودراسته كانت منذ القدم وما زال حتى يومنا الحالي، حيث أننا نجده يدرّس في الكثير من فروع الرياضيات الحديثة، وخاصة في قسم نظرية الأعداد، فيُعرّف المنحني الإهليجي بأنه منحنى جبري ناعم بالإضافة إلى أنه منحني إسقاطي غير دائري يعطى بواسطة معادلة Weierstrass equation و نستطيع وضعه في الصيغة الرياضية التالية:
لجعل المنحني الجبري ناعماً، يجب أن يكون المعامل الموجود في الصيغة التالية مختلفاً عن الصفر
عند وضع a=-1 و b=0، سيتم الحصول على النتيجة كما هو موضح في الصورة
ومن الرسم الموجود في الصورة نجد بأن p4=p1+p2 ، وإن مجموعة النقاط الكسرية مع عملية الجمع السابقة التي تشكلت لدينا تعملان على تشكيل ما يسمى بالزمرة، كان لويس موريديل وأندريه وايل أول من عملا على تحديد بنية هذه الزمرة من النقاط الكسرية، وقد توصلوا بجهدهم لنظرية تسمى نظرية موردل-وايل عام 1922.
أهمية حدسية بريتش-داير
تتميز حدسية بريتش-داير بالقدرة على ربط عالم الجبر المليء بالمعادلات ذات الحدود المتعددة، بينما تنتمي الدوال اللامية إلى عالم التوابع العقدية، لذلك ليس من المستغرب أنها قامت بالمساهمة في تطوير نظرية الأعداد.
المعادلات الرياضية وحدسية برديتش داير
هناك بعض المسائل الرياضية التي عجز العلماء عن حلها، منها الصنف الذي يندرج تحت مسائل ألفية السبعة ومنها التي لم تندرج تحت هذه المسائل لصعوبتها وتعقيدها، ومن هذه المسائل
تخمين جولدباخ-Goldbach’s Conjecture
- تعتبر هذه المسألة من أكبر الألغاز التي لم يتم حلها في مجال الرياضيات، ويقول حدس جولدباخ أن كل عدد زوجي أكبر من الواحد هو مجموع اثنين من الأعداد الأولية. وعلى الرغم من أن الحواسيب قامت بفحص هذا التخمين بحثًا عن الأرقام التي تتوافق إلى حد ما مع الحدس، إلا أننا بحاجة إلى إثبات ذلك لجميع الأعداد الطبيعية.
- نشأت حدسية جولدباخ من رسائل عام 1742 التي كانت بين عالم الرياضيات الألماني الذي يدعى بكريستيان غولدباغ وعالم الرياضيات السويسري الذي يدعى ليونارد أويلر، وهذه الرسالة تعتبر واحدة من أعظم الرسائل في تاريخ الرياضيات، وقال أويلر أنه يعتبر تخمين جولدباخ نظرية مؤكدة تماماً على الرغم من عدم قدرته على إثباتها.
- حيث أن أويلر يشعر بأن تخمين جولدباخ هدفه التقليل من شأن الأعداد الكبيرة جداً، فعندما تنظر إلى الأعداد الكبيرة تجد أن لديها طرقاً أكثر لكتابتها كمجموعات أولية، مثل أن الرقمين 5+3 هما الطريقة الوحيدة لتقسيم الرقم ثمانية إلى مجموعتين أوليتين، لكن الرقم 42 نستطيع تقسيمه إلى 5 + 37 ، 11 + 31 ، 13 + 29 ، و 19 + 23.
- لا يزال إثبات تخمين جميع الأرقام بعيدًا عن العلماء في مجال الرياضيات حتى اليوم، ويعتبر حل لغز جولدباخ واحدًا من الأسئلة القديمة المفتوحة في علم الرياضيات.
التخمين الرئيسي التوأم-The Twin Prime Conjecture
تعتبر هذه الفرضية الأكثر شهرة في حقل نظرية الأعداد في الرياضيات، أو في دراسة الأعداد الطبيعية وخصائصها، وغالبا ما تتضمن الأعداد الأولية. عندما يكون الفرق بين اثنين من الأعداد الأولية هو 2، يطلق عليهما اسم الأعداد الأولية التوأم. وبالتالي، 11 و13 هما أعداد أولية توأم، وكذلك 599 و 601. هذا يتعلق بنظرية الأعداد حيث إنها تفترض أنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. والسؤال هنا هو: هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأم؟ التخمين يشير إلى ذلك.
إن علماء الرياضيات استطاعوا معالجة إصدارات أقرب من حدسية التوأم الأولي، حيث أن تم إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية بفارق 70.000.0000 بواسطة Yitang Zhang عام 2013 من جامعة نيو هامبشاير، وعمل علماء الرياضيات أيضاً على تحسين هذا الرقم في برهان تشانغ، فحُسِّن من الملايين إلى المئات، فحسب تخمين التوأم يجب أن يكون هذا الرقم ممتد إلى 2 أما العلماء فقد وصلوا بالنظر إلى بعض الافتراضات الفنية الدقيقة إلى 6، فهنا نحتاج إلى تحديد ما إذا كانت الخطوة من 6 إلى 2 قريبة تماماً، أو أن هذه الفكرة ستتحدى علماء الرياضيات لعقود أطول.
فرضية ريمان-The Riemann Hypothesis
يعتبر علماء الرياضيات فرضية ريمان من أهم المشاكل المفتوحة في الرياضيات، وتعد واحدة من مسائل الألفية السبع في الرياضيات الجائزة، ولها آثار عميقة في فروع الرياضيات، وسوف نشرح فكرتها بشكل مبسط.
فإن هناك دالة تسمى بدالة زيتا ريما و تقول هذه الدالة أن لكل s ، تعطي هذه الدالة مجموعًا لا نهائيًا ، والذي يتطلب بعض حساب التفاضل والتكامل الأساسي للوصول إلى أبسط قيم s، مثلاً إذا كانت s = 2 ، فإن( 𝜁 (s هي السلسلة المعروفة 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… ، والتي تضيف بشكل غريب إلى 𝜋² / 6 فعندما تكون s عددًا مركبًا يشبه a + b𝑖 ، باستخدام الرقم التخيلي 𝑖 يصبح العثور على( 𝜁 (s أمرًا صعبًا، ونظرية ريمان تدور حول متى 𝜁 (s )=0 فإن البيان الرسمي لها ينص على أن كل صفر غير بيديهي من دالة زيتا ريمان له جزء حقيقي 1/2على مستوى الأعداد المركبة، وهذا يدل أن وظيفها تتجلى على طول خط عمودي خاص.
تمتلك الفرضية ودالة زيتا أصلها من رياضياتي ألماني بالجنسية يدعى برنارد ريمان. وصف ريمان هذه الدالة والفرضية في عام 1859 أثناء دراسته للأعداد الأولية وتوزيعها. نتج عن تطويره لهما تقدم كبير في فهمنا للأعداد الأولية. ومع ذلك، لا يزال البحث جاريا لإيجاد حل لفرضية ريمان، وإذا تم حلها، ستفتح آفاقا جديدة في مجال الرياضيات، وستؤثر على نظرية الأعداد والتحليل. لذا، تعد فرضية ريمان واحدة من أكبر التحديات في مجال الرياضيات حاليا.
