ما هي المساحة في الرياضيات وقوانينها

ما هي المساحة

المساحة هي قياس للمنطقة المحيطة بإطار معين على سطح ما، وتعتبر جميع أشكال المساحة مشتقة من مساحة المربع، وهو أبسط أشكال المساحة. يتم حساب مساحة المربع من خلال قياس المساحة المحصورة بين أربعة خطوط ذات طول متساو، حيث يكون اثنان منها متوازيين والآخران متعامدين على خطين متوازيين. عندما يكون طول هذه الخطوط وحدة واحدة، فإن المساحة المحصورة بينها تكون مساحة واحدة. لذا، إذا كان لدينا مربع بطول متر واحد، فإن مساحته تكون متر مربع واحد.

صيغة المساحة والمحيط هما الصيغتان الأساسيتان لأي شكل ثنائي الأبعاد في الرياضيات والهندسة. ستصادف العديد من الأشكال مثل الدائرة والمثلث والمربع وما إلى ذلك في الحياة الواقعية أيضا. ستواجه أنواعا مختلفة من الكائنات ذات الأشكال والأحجام المختلفة، والتي تحتل بعض المساحة في المكان. يتم تحديد الطول الإجمالي لهذه الكائنات من خلال المساحة والمحيط في المخطط التفصيلي الخاص بها.

كل الأشكال لها خصائصها الخاصة، بناءً على هيكلها وجوانبها وزواياها، والسمتان الرئيسيتان هما المساحة والمحيط، على سبيل المثال، يتم حساب كمية الطلاء المطلوبة لطلاء جدار مستطيل الشكل من خلال مساحته ولإعداد حدود الحقل المربع علينا حساب محيطه لمعرفة الطول الإجمالي للحقل، كما أن لكل شكل هندسي له مساحته ومحيطه، فهناك صيغ مختلفة لمساحة ومحيط كل شكل حيث أن له قياسًا مختلفًا.

مساحة المربع

قانون مساحة المربع

يمكن تعريف المساحة على أنها المساحة التي يغطيها شكل ثنائي الأبعاد، وهناك العديد من القوانين التي يمكن استخدامها لحساب مساحة المربع، وتشمل ذلك:

• باستخدام طول أحدى الأضلاع: المساحة = (طول الضلع)²، يمكن استبدال طول أي من الأضلاع الأربعة لأن أطوال المربعات متساوية، وفي الرموز: م = س²؛ حيث:
  م= مساحة المربع.
• س= طول ضلع المربع.
• باستخدام طول قطر المربع، يكون المساحة = 1/2 × مربع طول القطر، وفي الرموز م=1/2×ق²؛ حيث
• م= مساحة المربع.
• ق= طول قطر المربع.

أمثلة على حساب مساحة المربع

المثال الأول : مربع ضلعيه 5 سم، و 5 سم، ما مساحته

 الحل : مساحة المربع تساوي طول الضلع ضرب طول الضلع.

إذا مساحة المربع = 5×5= 25سم².

المثال الثاني: في حال كانت مساحة المربع 625 مترا مربعا، فما هو طول ضلع المربع

الحل:

• مساحة المربع= طول الضلع×طول الضلع.
• إذا: 625=(طول الضلع)²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين.
• فإن طول الضلع يساوي 25م.

المثال الثالث : إذا كان طول ضلع جدار مربع يساوي 75 مترا، فما هي تكلفة طلاء هذا الجدار بالدهان إذا كانت تكلفة المتر المربع الواحد ثلاث قطع نقدية

 الحل:

نظرًا لأن المساحة تساوي مقدار المساحة التي يغطيها الجدار، يمكن حساب الكمية المطلوبة من الطلاء لتغطية الجدار عن طريق ضرب مساحة الجدار في تكلفة المتر المربع الواحد، ويمكن حل المشكلة على هذا النحو

• حساب مساحة المربع = (طول الضلع)² = 75 م × 75 م = 5,625 م².
• حساب تكلفة الدهان=مساحة المربع×التكلفة.
• إذا تكلفة الدهان = 5625 × 3 = 16,875 عملة.

المثال الرابع: ما هي مساحة المربع الذي طول أحد أضلاعه 10 سم؟

 الحل: مساحة المربع = 1/2 × مربع الطول من القطر = 1/2 × 10² = 50 سم².

مساحة المستطيل

قانون مساحة المستطيل

يمكن قياس مساحة المستطيل بعدة طرق مختلفة حسب الحالة المحددة، وبشكل عام يمكن حساب مساحة المستطيل من خلال معرفة طوله وعرضه باستخدام الصيغة التالية:

مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز: م=أ×ب، حيث أن:

• م= مساحة المستطيل.
• أ= طول المستطيل.
• ب= عرض المستطيل.

عندما يتم معرفة القطر وأحد الأبعاد، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون التالي:

يتم حساب مساحة المستطيل بالطول أو العرض مضروبًا في الجذر التربيعي لفرق مربع القطر ومربع الطول أو مربع العرض، ويتم تمثيل ذلك بالرموز م=أ×(ق²-أ²)√ أو م=ب×(ق²-ب²)√، حيث:

• م= مساحة المستطيل.
• أ=  طول المستطيل.
• ب= عرض المستطيل.
•  ق= قطر المستطيل.

أمثلة على حساب مساحة المستطيل

لنفترض مثالا أن يكون طول مستطيل معين 7 سم وعرضه 4 سم، فما هي مساحته.

الحل بحسب القانون، م= الطول×العرض=7×4=28 سم².

عندما يكون مساحة إطار الصورة المستطيل 56 سم² وطولها 7 سم، فما هو عرضها

حسب القانون، مساحة المستطيل = الطول × العرض، ومنها العرض = 8 سم إذا كان الطول = 7 سم، لذلك م = 56 سم².

في حال كانت لديك أرضية مستطيلة بطول 50 مترا وعرض 40 مترا، ويرغب أحمد في تغطيتها ببلاط مستطيل بطول 2 متر وعرض متر واحد، فيجب عليك البحث عن عدد البلاط اللازم لتغطية الأرضية بالكامل.

الحل بحسب القانون:

•  مساحة الأرضية=الطول×العرض=50×40=2000م².
•  مساحة البلاطة الواحدة=الطول×العرض=2×1=2م².
• يتطلب تغطية الأرض بالبلاط عدد 1000 بلاطة، ويتم حساب ذلك بتقسيم مساحة الأرض على مساحة البلاطة الواحدة والتي تبلغ 2.

في هذا المثال، إذا كان طول المستطيل (2 × +1) وعرضه (2 × -1)، ومساحته 15 سم²، فاحسب قيمة الأبعاد.

الحل بحسب القانون:

• المساحة=الطول×العرض=(2س+1)×(2س-1)=15، 4س²-1=15، ومنه: س=2سم.
• تعويض قيمة س لحساب الطول، حيث طول المستطيل: 2س+1= 2×2+1=5سم.
•  تعويض قيمة س لحساب العرض، حيث عرض المستطيل: 2س-1= 2×2-1=3سم.

مساحة الدائرة

قانون مساحة الدائرة

يمكن تعريف الدائرة على أنها مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة ثابتة من نقطة مركزية، وهذه النقطة تسمى مركز الدائرة. والمسافة التي تربط النقطة المركزية بأي نقطة على الدائرة تسمى نصف القطر، ويتم تمثيلها بالرمز (نق). وبالنسبة لقطر الدائرة، فهو الخط الذي يمر عبر مركز الدائرة ويتم تمثيله بالرمز (ق)، ويساوي ضعف نصف القطر: ق = 2 × نق. وعند قسمة محيط الدائرة على قطرها، نحصل على الثابت العددي، والذي يتم تمثيله بالرمز (π)، ويساوي تقريبا 3.14 أو 22/7. ويشير هذا الثابت العددي إلى المساحة التي يحتلها جسم دائري على سطح مستو، ويمكن تعبير عن هذه المساحة باستخدام إحدى العلاقات الرياضية التالية:

• مساحة الدائرة = π×نصف القطر²، وبالرموز: م = π×نق².
•  مساحة الدائرة=(π/4)×القطر²، وبالرموز: يتم حساب القطر بالتالي: م = (π/4)×ق².
• مساحة الدائرة=محيط الدائرة² /(4×π)، وبالرموز: مساوي تربيع القطر مقسوما على 4 مضروبا في العدد باي.

أمثلة على مساحة الدائرة

الدائرة التي لديها نصف قطر يساوي 3 سم، ما هي مساحتها؟

الحل:

 أدخل قيمة نصف قطر يساوي نق = 3 سم في قانون مساحة الدائرة.

 مساحة الدائرة = π × نق² = 3.14 × (3)² = 28.26 سم².

المثال الثاني: دائرة قطرها 8 سم ، ما مساحتها؟

الحل:

• يتم إدخال قيمة نصف القطر (ق=8 سم) في قانون مساحة الدائرة.
•  مساحة الدائرة = (π/4)×ق² =(3.14/4)×(8)² = 50.24 سم².

كل قوانين الأشكال الهندسية

• قانون مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع، وهو يمثل نصف طول قاعدة المثلث مضروبًا في ارتفاع المثلث.
• يتم حساب مساحة المستطيل بضرب طول القاعدة في ارتفاعه.
•  قانون مساحة شبه المنحرف = نصف مجموع قاعدتي شبه المنحرف المتوازيتين × ارتفاع شبه المنحرف = 1/2 × مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع.
• قانون مساحة الشكل البيضاوي (الإهليجي) = نصف قطر المحور الأكبر × نصف قطر المحور الأصغر × النسبة التقريبية ط = نق المحور الأكبر × نق المحور الأصغر × ط.
• مساحة المعين تساوي طول قاعدتها مضروبًا بارتفاعها.
• يتم تعريف مساحة سطح المنشور بأنها مجموع مساحات أوجه المنشور بالإضافة إلى مجموع مساحتي القاعدتين.
• قانون مساحة الجانبية للمنشور = محيط القاعدة × ارتفاع المنشور.
• يساوي مساحة الوجه الجانبي للأسطوانة محيط قاعدتها الدائرية مضروبًا بارتفاعها، أي يساوي 2 مضروبًا بنصف قطر الدائرة مضروبًا بطول الأسطوانة، أي يساوي 2πr × h.
• يتم حساب مساحة الأسطوانة الكلية باستخدام قانون يجمع بين المساحة الجانبية ومجموع مساحتي القاعدتين، حيث يساوي (2نق × الارتفاع) + (2×نق²×ط) .
  ينص قانون المساحة الجانبية للمخروط القائم على ضرب نصف قطر قاعدة المخروط في طول الراسم والنسبة التقريبية ط، وذلك يساوي نق × ل × ط.
• يتكون قانون المساحة الكلية للمخروط القائم من جمع المساحة الجانبية ومساحة القاعدة، ويمكن تمثيله بالصيغة (نق×ل×ط) + نق²×ط.
•  يتم حساب مساحة الجانب القائم للهرم باستخدام القانون التالي: نصف محيط قاعدة الهرم مضروبًا بالارتفاع الجانبي للهرم. أو بمعادلة أخرى: 1/2 × طول قاعدة المثلث × ارتفاع المثلث × عدد المثلثات.
• يتم حساب مساحة السداسي المنتظم بطول ضلعه مضروبًا في نصف جذر العدد 3 ثم مضروبًا في 3
•  يساوي مساحة سطح الكرة 4 ضرب نصف قطر الدائرة مربعًا مضروبًا في النسبة التقريبية للعدد ط، أي 4 نق²ط.
• مساحة جانب المكعب = 4 × طول ضلع المكعب × طول ضلع المكعب = 4 × (طول الضلع)².
• قانون مساحة المكعب الكلية يساوي 6 × طول ضلع المكعب × طول ضلع المكعب = 6 × (طول الضلع)².
• يتم حساب قانون المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات بضرب محيط القاعدة بالارتفاع.
•  قانون المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات يساوي مساحة الجانبيّة بالإضافة إلى مساحة قاعدتي المتوازيّ.
• مساحة سطح الشكل ذو الأضلاع الأربعة تساوي الجذر التربيعي للعدد 3 مضروبًا في مربع طول الضلع، أو الجذر التربيعي للعدد 3 مضروبًا في مربع طول الضلع مرتين.