ماهو التباين في الإحصاء وخصائصه

ماهو التباين في الإحصاء

التباين هو قياس لتوزيع نقاط البيانات عن الوسط، حيث يشير التباين المنخفض إلى أن نقاط البيانات متشابهة بشكل عام ولا تختلف كثيرا عن الوسط، ويشير التباين الأعلى إلى أن قيم البيانات لها تشتت أكبر وتنتشر على نطاق واسع من الوسط. ويمكن استخدام حاسبة التباين لحساب التباين والانحراف المعياري وحجم العينة والوسط ومجموع المربعات، كما يمكن عرض العملية الحسابية المنظمة فقط بإدخال مجموعة بيانات مفصولة بمسافات أو فواصل أو فواصل أسطر، ويمكن نسخ ولصق البيانات من مستند أو جدول بيانات، وهذا يساعد على فهم مميزات وعيوب التباين

يعد التحكم في التباين أمرا ضروريا للإنتاج والجودة؛ حيث يزيد تقليل تباين العملية من الدقة ويقلل من العيوب. على سبيل المثال، يتم إنتاج مسامير أعمال خشبية بطول 50 مم في المصنع، وتلبي المسمار المواصفات إذا كان طوله في حدود 2 مم من القيمة المستهدفة، ويستخدم المصنع نوعين من الآلات لإنتاج المسامير، وتنتج كلتا الآلتين مسامير بطول متوسط يبلغ 50 مم بأطوال موزعة بشكل طبيعي.

و مع ذلك ، فإن مسامير كل آلة لها اختلافات مختلفة: تنتج الماكينة أ مسامير متباينة في الحجم بقطر 9 ملم مع توزيع خط مستقيم، في حين تنتج الآلة بمسامير متباينة في الحجم بقطر 2 ملم وتوزيع خطوط منقطة، وتتم صناعة المسامير بفروق حجم 1 ملم بحدود المواصفات العلوية والسفلية لكل آلة، ويتم تطبيق توزيعات الطول بشكل محدد

يتفاوت طول الأظافر من آلة أ إلى آلة ب، وبالتالي فإن أي مسمار يأتي من آلة أ ربما يكون خارج المواصفات مقارنة بمسمار من آلة ب.

خصائص التباين بالامثلة

التباين هو إحصاء يستخدم لقياس انحراف التوزيع الاحتمالي، الانحراف هو ميل النتائج إلى الاختلاف عن القيمة المتوقعة، تسمح دراسة التباين للفرد بقياس التباين في توزيع الاحتمالات، سيكون للتوزيعات الاحتمالية ذات النتائج المتباينة اختلافًا كبيرًا، التجارب المحتملة ذات النتائج القريبة من بعضها البعض سيكون لها اختلاف بسيط، يختلف التباين الذي تم فحصه في هذه الصفحة عن تباين العينة ، و هو التباين في عينة البيانات.

تتوافق بعض خصائص التباين مع العديد من خصائص القيمة المتوقعة، ومع ذلك، فإن بعض هذه الخصائص يمكن أن تؤدي إلى نتائج مختلفة

من أجل ثابت c
Var [c] = 0.
نحن لدينا
Var[c]=E[(c−E[c]) 2 ]=E[(c−c) 2 ]=0.

للمتغير العشوائي XX و أي ثابت c
Var[cX]=c 2 Var[X]. 2

بخصائص التوقع E[cX]=cE[X]=cμ. ثم

Var[cX] =E [(cX−cμ) 2]
=E[c 2(X−μ) 2]
=c 2E[(X−μ) 2]
=c 2 Var[X].

للمتغير العشوائي XX وأي ثابت c
Var[X+c]=Var[X].
Var[X+c]

=E[(X+c) 2]−(μ+c) 2
=E[X 2+2cX+c 2]−(μ 2+2cμ+c 2)
=E[X 2]+2cE[X]+(c 2−μ 2−2cμ−c 2)
=E[X 2 ]−μ 2=Var[X].

توضح النظريتان المذكورتان أعلاه كيفية ترجمة أو قياس المتغير العشوائي باستخدام ثابت يغير التباين، حيث توضح النظرية الأولى أن قياس قيمة متغير عشوائي بواسطة ثابت يقيس التباين وفقًا لـ c^2

هذا مفهوم منطقي بشكل تخميني، حيث يتم تعريف التباين من خلال الاختلاف عن المتوسط. توضح النظرية الثانية أن ترجمة جميع المتغيرات باستخدام ثابت لا يؤثر على التباين. وهذا أيضا يعتبر منطقيا، حيث أن ترجمة جميع المتغيرات باستخدام ثابت يعكس أيضا القيمة المتوقعة ويحافظ على تفاوت القيم المترجمة حول القيمة المتوقعة دون تغيير.

يتعلق الأمر بالخاصية الخطية للقيمة المتوقعة لأي متغيرين عشوائيين XXو Y

E (X + Y) = E (X) + E (Y).E ( X+Y )= E ( X )+ E ( Y ) .

ومع ذلك، هذا لا ينطبق على التباين بشكل عام، ولكن ينطبق على حالات خاصة، ومن بينها:

دع XX و Y تكون متغيرات عشوائية مستقلة ثمَّ

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

نحن لدينا

Var(X+Y)=E((X+Y) 2 )−(E(X+Y)) 2
=E(X 2 +2XY+Y 2 )−(E(X)+E(Y)) 2
=E(X 2 )+2E(XY)+E(Y 2 )−(E(X) 2+2E(X)E(Y)+E(Y) 2)
=E(X 2 )+2E(X)E(Y)+E(Y 2 )−E(X) 2−2E(X)E(Y)−E(Y) 2
=E(X 2 )−E(X) 2 +E(Y 2 )−E(Y) 2
=Var(X)+Var(Y),

تتبع نظرية الحساب E(XY)=E(X)E(Y) في السطر الرابع استقلالية المتغيراتالعشوائية X و Y، ويتم تعميم هذه النظرية فيما يلي.

X 1,X 2,…,X k

تكون المتغيرات العشوائية المستقلة الزوجية. ثم

Var(X 1+X 2+⋯+X k
​
)=Var(X 1)+Var(X 2)+⋯+Var(X k).

XX وص هما متغيرات عشوائية غير مستقلة

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).

نحن لدينا

Var(X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)
=Cov(X,X)+Cov(Y,Y)+2Cov(X,Y)
=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).

خطوات حساب التباين

عادةً ما يتم حساب التباين تلقائيًا باستخدام البرنامج الذي تستخدمه لتحليل الإحصائيات. ومع ذلك، يمكنك حساب التباين يدويًا لفهم أفضل لكيفية عمل الصيغة. تتكون الخطوات الرئيسية الخمسارات لحساب التباين يدويًا من خمس خطوات، ويمكن استخدام مجموعة بيانات صغيرة تتكون من 6 خطوات لتوضيح الخطوات.

46 69 32 60 52 41 مجموعة البيانات

الخطوة 1

• ابحث عن السيارة
• يتم جمع جميع الدرجات معًا لحساب المتوسط ثم يتم قسمها على عدد النقاط.
• متوسط ​​(x̅)
• X̅ = (46 + 69 + 32 + 60 + 52 + 41) 6 = 50

الخطوة 2

• يجب البحث عن الانحراف لكل درجة عن المعدل
• يتم حساب الانحرافات عن المتوسط بطريقة حساب المتوسط لكل درجة وطرحها.
• طرح 50 من كل درجة لأن x̅ = 50.
• سجل هدفًا للخروج عن المتوسط
• 46 46-50 = -4
• 69-50 = 19
• 32 32-50 = -18
• 60 60-50 = 10
• 52 52-50 = 2
• 41 41-50 = -9

الخطوة 3

• قم بتربيع كل انحراف عن المتوسط
• يمكن ضرب كل انحراف عن المتوسط في ذاته، مما يؤدي إلى أرقام موجبة.
• مربع الانحرافات عن الوسط
• (-4) 2 = 4 × 4 = 16
• 19 2 = 19 × 19 = 361
• (-18) 2 = -18 × -18 = 324
• 10 2 = 10 × 10 = 100
• 2 2 = 2 × 2 = 4
• (-9) 2 = -9 × -9 = 81

الخطوة 4

• أوجد مجموع المربعات
• أضف كافة الأرقام المربعة. يُسمى هذا العمل بمجموع المربعات.
• مجموع المربعات
• 16 + 361 + 324 + 100 + 4 + 81 = 886

الخطوة 5

• قسّم مجموع المربعات على n – 1 أو N.
• يتم تقسيم مجموع المربعات على n-1 (على سبيل المثال) أو N (على سبيل المثال).
• نظرًا لأننا نعمل على مثال، سنستخدم n – 1، حيث n = 6.
• فرق
• 886 ÷ (6-1) = 886 5 = 177.2

كيفية عمل التباين

يتم حساب التباين عن طريق إيجاد مربع الانحراف المعياري للمتغير وتغاير المتغير مع نفسه، ويتم تمثيل ذلك بالدالة

σ2 = ∑ (x- μ) / 2 ن

• في الصيغة أعلاه، يمثل u متوسط نقاط البيانات، وتمثل x قيمة نقطة البيانات الفردية، وتمثل N العدد الإجمالي لنقاط البيانات
• من الأهمية أن نلاحظ أنه بسبب عمل الصيغة مع مربع الانحرافات
• سيكون التباين دائمًا عددًا موجبًا أو صفرًا. وإذا كان التباين يساوي صفرًا، فقد تكون جميع الإدخالات لها نفس القيمة.
• ويشير التباين الكبير إلى أن الأرقام في المجموعة بعيدة عن المتوسط وبعضها البعض، وهو ما يعبر عن فرق كبير بين القيم في المجموعة.
• بالإضافة إلى ذلك، يمكن تعديل معادلة التباين بحيث إذا تم قياس قيم مجموعة البيانات باستخدام ثابت، على سبيل المثال، فسيتم قياس التباين بمربع ذلك الثابت.
• يستخدم التباين في الإحصاء عادةً كطريقة لفهم توزيع مجموعة البيانات بشكل أفضل.
• – من عيوب التباين هو تركيزه على القيم البعيدة عن المتوسط، مما يمكن أن يحرف الاستنتاجات المستندة إلى البيانات الموجودة في هذا المربع.
• ومع ذلك، يمكن للفرد دائمًا تفسير التغاير، بسبب مبدأ التغاير غير السلبي، حيث يتم حساب جميع الانحرافات عن المتوسط بالتساوي، بغض النظر عن الاتجاه.