كيفية حل الطاقة من مشكلة الطول الموجي

يشير الطول الموجي إلى المسافة بين ذروة موجة تردد واحدة وذروة موجة تردد أخرى، ويتم حسابه عادة بالاعتماد على الطيف الكهرومغناطيسي، ويعتمد حساب الطول الموجي على المعلومات المتاحة، بما في ذلك سرعة وتردد الموجة، ويمكن استخدام الصيغة الأساسية لحساب الطول الموجي.

إذا كنت تريد حساب طول موجة الضوء بناءً على طاقة الفوتون، يمكن استخدام معادلة الطاقة المناسبة وسهل حساب طول الموجة إذا كانت المعادلة المستخدمة صحيحة.

حل الطاقة من مشكلة الطول الموجي

يوضح هذا المثال كيفية حساب طاقة الفوتون من خلال طول موجته.

طاقة شعاع الليزر

يبلغ طول الموجة الحمراء لليزر نيليوم-نيون 633 نانومتر، ولمعرفة طاقة الفوتون الواحد، يحتاج الشخص إلى استخدام معادلتين لحل هذه المشكلة

1- المعادلة الأولى معادلة بلانك

تأتي معادلة محول الطول الموجي من والد نظرية الكم ، الفيزيائي الألماني ماكس بلانك ، حوالي عام 1900 م ، وقدم فكرة الكم أثناء دراسة الإشعاع المنبعث من جسم أسود ، وهو جسم يمتص كل الإشعاع الحادث ، وساعد الكم على تفسير سبب انبعاث هذا الجسم للإشعاع في الغالب في منتصف الطيف الكهرومغناطيسي ، بدلاً من ذلك في الأشعة فوق البنفسجية كما تنبأت به النظرية الكلاسيكية.

افترض تفسير بلانك أن الضوء يتكون من حزم منفصلة من الطاقة تسمى الكم ، أو الفوتونات ، وأن الطاقة يمكن أن تأخذ فقط قيمًا منفصلة ، والتي كانت مضاعفات ثابت عالمي ، الثابت ، المسمى ثابت بلانك ، يتم تمثيله بالحرف h ، وله قيمة 6.63 × 10-34 م 2 كجم / ثانية ، أو ما يعادل 6.63 × 10-34 جول.

أوضح بلانك أن طاقة الفوتون E هي نتيجة لتردده، والذي يتم تمثيله دائمًا بالحرف اليوناني ν، وهذا الثابت الجديد يتم تمثيله رياضيًا بالصيغة E = hν.

بما أن الضوء هو ظاهرة موجية ، يمكنك التعبير عن معادلة بلانك من حيث الطول الموجي ، ممثلة بالحرف اليوناني لامدا (λ) ، لأنه بالنسبة لأي موجة ، فإن سرعة الإرسال تساوي ضرب ترددها في الطول الموجي. نظرًا لأن سرعة الضوء ثابتة ، يُشار إليها بـ c ، يمكن التعبير عن معادلة بلانك على النحو التالي:
E = hcλ E = frac {hc} {λ} E = λhc

تقترح معادلة بلانك التي ابتكرها ماكس بلانك والتي تصف كيفية نقل الطاقة في الكميات أو الحزم، وتمكن معادلة بلانك من فهم إشعاع الجسم الأسود والتأثير الكهروضوئي، وتأخذ المعادلة الصيغة التالية:

E = hν
E = الطاقة
h = ثابت بلانك = 6.626 × 10-34 J·s
ν =  التردد

2- المعادلة الثانية معادلة الموجة

تتيح لك الصيغة البسيطة لإعادة ترتيب معادلة بلانك آلة حاسبة فورية لحساب طول الموجة لأي إشعاع معروفة طاقته، حيث يمكن استخدامها لحساب الطول الموجي وفقًا للصيغة المحددة
λ = Ehc
تُعَدّ ثوابت c و h ثوابتًا، وبالتالي، يتناسب طول الموجة في معادلة تحويل الطاقة بشكل أساسي مع عكس الطاقة. وبعبارة أخرى، فإن الإشعاع طويل الموجة، والذي يقع باتجاه الطرف الأحمر من الطيف، يتمتع بطاقة أقل من ضوء الطول الموجي القصير الذي يقع باتجاه الطرف البنفسجي من الطيف.

المعادلة الثانية التي تصف سرعة الضوء بالنسبة للطول الموجي والتردد، يمكن استخدامها لحل التردد وإدخاله في المعادلة الأولى، ومعادلة الموجة هي:

c  =   λν
c = سرعة الضوء = 3 × 108 م / ثانية
λ = الطول الموجي
ν = التردد

إعادة ترتيب المعادلة لحل التردد:

ν = c/λ

بعد ذلك، يتم استبدال التردد في المعادلة الأولى بـ c/λ للحصول على الصيغة التي يمكنك استخدامها
E = hν
E = hc/λ

بشكل آخر، تتناسب طاقة الصورة مباشرة مع ترددها، وتتناسب عكسيًا مع طول موجتها، وبعد ذلك يتم توصيل القيم والحصول على الإجابة

E = 6.626 x 10-34 J·s x 3 x 108 m/sec/ (633 nm x 10-9 m/1 nm)
E = 1.988 x 10-25 J·m/6.33 x 10-7 m E = 3.14 x -19 J

الإجابة: يحتوي فوتون واحد من الضوء الأحمر، المستخدم في ليزر النيونيوم النيليوم، على طاقة تبلغ 3.14 × 19 جول.

حافظ على استقامة وحداتك

يقيس الفيزيائيون الطاقة الكمية في مجموعة متنوعة من الوحدات ، في نظام SI ، فإن وحدات الطاقة الأكثر شيوعًا هي الجولات ، ولكنها أكبر من اللازم للعمليات التي تحدث على المستوى الكمي ، والإلكترون فولت (eV) هو وحدة أكثر ملاءمة ، وإنها الطاقة المطلوبة لتسريع إلكترون واحد من خلال فرق جهد 1 فولت ، وهي تساوي 1.6 × 10-19 جول.

وحدة القياس الشائعة لطول الموجة هي ångstroms (Å)، حيث 1 Å = 10-10 متر. إذا كنت تعرف طاقة الكم بالفولت، يمكنك الحصول على الطول الموجي بسهولة عند تحويل الطاقة أولا إلى الجول، ومن ثم استخدام المعادلة البلانكية مع ثابت بلانك (h) بقيمة 6.63 × 10-34 متر مربع كيلوغرام في الثانية وسرعة الضوء (c) بقيمة 3 × 108 متر في الثانية، يمكنك حساب الطول الموجي.

طاقة مول واحد من الفوتونات

على الرغم من أن المثال الأول يوضح كيفية العثور على طاقة فوتون واحدة ، إلا أنه يمكن استخدام نفس الأسلوب للعثور على طاقة مول من الفوتونات، وفي الأساس، يتم العثور على طاقة فوتون واحدة وضربها بعدد أفوجادرو.

عندما يصدر الإشعاع بطول موجة 500.0 نانومتر، فإن طاقة مول واحد من الفوتونات المنبعثة تحدد بوحدات كيلوجول.

من الطبيعي أن تحتاج إلى تحويل قيمة الطول الموجي إلى وحدة قياس أخرى لتستخدمها في المعادلة. لتحويل النانومتر إلى المتر، يجب ضرب القيمة بـ 10^-9، وبالتالي يتم نقل الفاصلة التي تحوي على تسعة أرقام إلى اليمين أو قسمة القيمة على 10^9.
500.0 نانومتر تساوي 5.000 × 10-7 متر
القيمة الأخيرة هي الطول الموجي، والتي تُمثل برموز علمية وأرقام صحيحة مهمة، ويتم الجمع بين معادلة بلانك ومعادلة الموجة للحصول على هذه الالقيمة
E = hc / λ
E = (6.626 x 10^-34 J·s) (3.000 x 10⁸ m/s) / (5.000 x 10^-17 m)
E = 3.9756 x 10^-19 J
هذه هي طاقة فوتون واحدة، ويمكن ضرب القيمة في عدد أفوجادرو للحصول على طاقة مول واحدة من الفوتونات
طاقة مول من الفوتونات = (طاقة فوتون واحد) × (رقم أفوغادرو).
طاقة مول من الفوتونات = (3.9756 × 10-19 جول) (6.022 × 1023 مول -1)
ملاحظة : يتم ضرب الأعداد العشرية ثم طرح مقام الأس من البسط للحصول على قوة 10

الطاقة = 2.394 × 105 جول/مول
بالنسبة لحبة واحدة، تبلغ طاقتها 2.394 × 105 جول.
يلاحظ كيف تحتفظ القيمة بالعدد الصحيح للأرقام الهامة، ويتطلب الحصول على الإجابة النهائية تحويل القيمة من وحدة J إلى وحدة kJ

الطاقة = (2.394 × 105 جول) (1 كيلوجول / 1000 جول)
الطاقة = 2.394 × 102 كيلوجول أو 239.4 كيلوجول
وتذكر، إذا كنت تحتاج إلى تحويل وحدة إضافية، يجب عليك مراقبة أرقامك المهمة.

مثال آخر على مشكلة الطول الموجي والطاقة

التساؤل : يحتاج العصب البصري في العين البشرية إلى طاقة قدرها 2 × 10-17 جول لتحفيز سلسلة من النبضات لإرسال إشارة إلى الدماغ. ويمكن رؤية الضوء الأزرق ذي الطول الموجي 475 نانومتر، فكم عدد الفوتونات اللازمة لتوليد هذه الاستجابة؟
الحل : تتم معرفة كمية الطاقة المطلوبة لتحفيز العصب البصري وطول موجة الضوء.
أولاً، سنحدد كمية الطاقة في فوتون واحد من الضوء الأزرق، وسنستخدم لذلك طول الموجة البالغ 475 نانومتر، وقبل الاستمرار، سنحول هذا القياس إلى أمتار.

1 نانومتر = 10-9 متر، وباستخدام هذه العلاقة، يمكن تحويل 475 نانومتر إلى متر.
س م = 4.75 × 10-7 م
يمكننا الآن استخدام صيغة الطاقة E = hc / λ من الأعلى، ثم نقوم بتوصيل المتغيرات:

E = (6.626 x 10-34 m2kg/s)(3 x 108 m/s) / 4.75 x 10-7 m
حل من أجل E
E = 4.18 x 10^-19 J
هذه هي طاقة فوتون واحد من الضوء الأزرق بطول موجي 475 نانومتر، وتحتاج العملية إلى 2 × 10-17 جول من الطاقة للبدء.

X الفوتونات = 2 × 10-17 ج.
1 فوتون = 4.18 × 10-19 جول.

قسّم معادلة إلى أخرى لتحصل عليها
نسبة الفوتون
حل ل x
X = 47.8 الفوتون.

نظرًا لأنه لا يمكنك امتلاك جزئيات الفوتون، فإننا بحاجة لتقريب الإجابة إلى أقرب عدد صحيح من الفوتونات بالكامل. ونظرًا لأن 47 فوتونًا لا يكفي، فإنه يتعين علينا الحصول على فوتون آخر للوصول إلى طاقة العتبة.
X = 48 الفوتون.
الجواب: يحتاج 48 فوتون من الضوء الأزرق بطول موجة موجية 475 نانومتر لتنشيط العصب البصري.