تعريف المتتالية
المتتالية أو المتسلسلة هي مفهوم يشير إلى مجموعة من العناصر المرتبة بشكل محدد ومتسلسل. يكون هذا الترتيب منظما، وتربط بين عناصر المتتالية وتعرف أيضا بحدود المتتالية رياضيا، حيث يتم إنتاج كل حد في الحدود بتطبيق هذه العلاقة. تسمى هذه العلاقة صيغة الحد العام للمتتالية، ويمكن أن تكون المتتالية محدودة، أي لديها عدد محدود ومعروف، أو تكون غير محدودة، وتستخدم حرف لاتيني كبير للإشارة إلى اسم المتتالية. ومع ذلك، تعرف حدود المتتالية باستخدام الصيغة “ai” أو “an”، حيث يشير هذا الحرف الفرعي إلى رقم الحد.
يمكن تعريف المتتالية ببساطة كتابع لمجموعة الأعداد الطبيعية، أو يمكن أن تشير إلى مجموعة جزئية غير منتهية من المتتالية بنمط { … n0 ، n0 + 1 ، n0 + 2 }، حيث n0 هو عدد طبيعي محدد والذي يختلف من متتالية إلى أخرى. وتكون مجموعة الأعداد الحقيقية {R} هي المستقرة للمتتالية والتي تمثل مجموعة عناصرها. ويمكن تحديد مجموع حدود المتتالية كمجموعة الأعداد الحقيقية.
ما هي المتسلسلة الهندسية
المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود المتتالية ويمكن اعتبارها مجموعة لا نهائية من الأشكال، وعادة ما تبدأ هذه السلسلة بالرقم 1، ويوجد دائمًا فجوة بين أي مجموع جزئي في المتسلسلة الهندسية.
ما هي المتسلسلة الهندسية النهائية
وهي مجموع متوالية هندسية وتكون لا نهائية، حيث أنه لا يوجد مصطلح أخير لهذه السلسلة لأن الشكل العام لها لانهائية وهو نوع العقدة الغير معروفة، ونستطيع أن نوجد مجموع السلاسل الهندسة المنتهية واللانهائية، ولكننا نجد أن في المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون النسبة العامة لها أكبر من واحد وبالتالي ستغدو حدودها أكبر، وإذا قمنا بجمع الأعداد الكبيرة لن نحصل على إجابة نهائية بينما الإجابة الوحيدة التي سنحصل عليها هي اللانهاية، ويستخدم تدوين سيجما لتمثيل السلسلة الهندسية اللانهائية.
قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية
يكتب قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية على أنه مجموع حدود المتتابعة، وتكتب هذه المتسلسلة الهندسية التي يكون لها عدد حدود ن بالشكل التالي: ج_ن = أ + أر + أر^٢ + أر^٣ + … + أر^(ن-١)، حيث يمثل “أ” الحد الأول في المتسلسلة، ويمثل “ر” النسبة الثابتة في التتابع الهندسي، والنسبة الثابتة هي العدد الذي يتم ضرب الحد السابق به للحصول على الحد التالي في التتابع، شريطة ألا يكون “ر” يساوي الواحد
حساب مجموع المتسلسلة الهندسية
بعد فهم قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية، سنشرح كيفية حساب مجموع هذه المتسلسلة الهندسية، ولكن أولا نرغب في التركيز على “ر” التي لا تساوي الواحد تماما؛ إذا كانت “ر” تساوي الواحد، فسيكون أساس المتسلسلة الهندسية يساوي واحد، وهذا غير ممكن؛ إذا كان الأمر كذلك، ستكون المتسلسلة على النحو التالي: 1، 1^2، 1^3، وبالتالي ستكون القيمة لكل عنصر في المتسلسلة تساوي واحد، وبالتالي فإنها لن تكون متسلسلة بل مجرد تكرار لعدد.
ولإيجاد مجموع الحدود الستة الأولى لمتسلسلة هندسية أ يكون مساوياً 24، و “ر” تساوي نصفاً، فلحل هذه المسألة يجب أن نستخدم الصيغة التي تنص على أن مجموع أول عدد “ن” من الحدود جـ ن يساوي أ(1-رن) 1-ر، مع العلم أن “ر” لا يمكن أن تكون مساوية للرقم واحد، وبالنظر إلى المقام نجد أنه واحد ناقص ر سيكون مساوياً للرقم صفر، وهذا يدل أن هذا غير ممكن ولن يعطينا حلاً حقيقياً، ولهذا عندما نريد حل هذه المسألة سنتبع الخطوات التالية:
- اكتب القيم الموجودة وفقا للمسألة وهي تساوي 24، إذا الحد الأول هو 24.
- ثم لدينا “ر” يساوي النصف، أي أن أساس المتتابعة الهندسية مساوي للنصف.
- يجب حساب قيمة ن باستخدام الصيغة المتاحة لدينا، وبالتالي فإن قيمة ن تساوي العدد ستة، وتم حساب قيمة ن عن طريق حساب عدد الحدود للمسألة التي نحلها.
- نكتب مجموع الحدود الستة الأولى بالرمز ج (الذي يساوي 6)، وهذا ما نسعى إلى الوصول إليه في هذه المسألة.
- والآن بعد أن أوجدنا القيم جميعها نقوم بالتعويض بها في الصيغة حتى نوجد مجموع الحدود الستة الأولى، فيصبح لدينا جـ6 = 24 (1-21^6) 1-21، (فستكون هذه المعادلة جـ ستة تساوي 24 مضروبة بواحد ناقص نصف أس ستة على واحد ناقص نصف).
- ثم نحسب العدد 189 على 8 ثم على 1/2، ليصبح الناتج 189 ÷ 8 ÷ 1/2.
- نقوم في النهاية بتبسيط العدد عن طريق تحويله إلى كسر، حتى نتمكن من حساب مجموع الحدود الستة الأولى لهذه المتسلسلة الهندسية، والتي تساوي 47 وربع.
- نتج عدد 47 وربع بسبب تكرار الرقم 4 في العدد 189، فتم حذف 4 وحفظ الرقم 1، وهكذا حصلنا على النتيجة 47 وربع.
ما هي المتتالية الحسابية
إنها واحدة من أبسط أنواع التتابعات وأكثرها شهرة، ونقول عن تتابع أنه تتابع حسابي عندما يتم إنتاج كل عنصر فيه عن طريق إضافة أو طرح رقم ثابت إلى العنصر السابق له. على سبيل المثال، لدينا مجموعة من الأرقام (10، 13، 16، 19، 22، 25، 28)، ونقول عن هذه المجموعة أنها تتابع حسابي لأن كل عنصر فيها يتم إنتاجه عن طريق إضافة العدد ثلاثة إلى العنصر السابق له.
ما هي المتتالية الهندسية
وهي المتتالية التي تكون أعدادها أي حدودها طبيعية بحيث أن كل حد منها ينتج عن الحد السابق من خلال ضربه أو قسمته على عدد حقيقي ثابت، وإن هذا العدد الثابت يسمى بأساس المتتالية، فمثلاً لدينا مجموعة الأعداد التالية: (2، 6، 18، 54، 162) ونقول أن هذه الأعداد هي متتالية هندسية ويكون أساسها العدد ثلاثة حيث أن كل حد منها ينتج عن ضرب الحد الذي يسبقه بالأساس ثلاثة، ويمكن إيجاد الصيغة العامة للمتتالية الهندسية من خلال ملاحظة أن كل حد من حدود المتتالية ينتج عن الحد الأول وفق ما يلي:
- أ1=ر1
- أ2 =أ1 × ر
- أ3= أ2 × ر=( أ1× ر) × ر= أ1×ر2
- أ4 = أ3× ر = (أ1× ر2) × ر=أ1× ر3
بالتالي نستنتج أن:
- أن= أ1×رn-1
الفرق بين المتتالية الحسابية والهندسية
هناك بعض الفروق بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية وتتجلى ذلك في:
- تكمن الفرق الأساسي بين المتتاليتين الحسابية والهندسية في أن المتتالية الحسابية تنتج عن جمع أو طرح عدد ثابت من الحدود السابقة للتتابع، بينما تنتج المتتالية الهندسية كل حد منها عن ضرب أو قسمة الحد الذي يسبقه بعدد ثابت.
- تتغير المتتالية الحسابية بشكل خطي بين حدودها، بينما تتغير المتتالية الهندسية بشكل أسي بين حدودها.
- تتحرك المتتالية الحسابية في اتجاه واحد بين حدودها، حيث إما أن تزداد حدودها أو تنخفض، أما المتتالية الهندسية فلا تتبع اتجاهًا محددًا في تغير حدودها، حيث تتبادل قيم حدودها بين الزيادة والنقصان.