حساب حجم الاسطوانة
حساب حجم الأسطوانة يساعد في معرفة كمية الماء اللازمة لتعبئتها، كما يساعد في حساب وزن الماء حين تحويل الحجم إلى لترات، ويتم ذلك عن طريق حساب مساحة القاعدة الدائرية وضربها في المسافة بين طرفي القاعدة. يجب أن يكون الناتج باللتر المساوي لألف سنتيمتر مكعب، وتوجد العديد من الأشكال الأسطوانية المختلفة في الحياة اليومية، مثل أنابيب الغاز وأسطوانات المحرك
ويمكن تعريف الأسطوانة بأنها شكل ثلاثي الأبعاد مكون من اثنان من الدوائر المتقابلة يربط بين طرفيهما خطوط متوازية ومستقيمة، بينما حجمها فيعرف بأنه ما يحيط بتلك الدائرتين والخطوط المتوازية المستقيمة من فراغ من الممكن أن يتم ملؤه بأحد المواد مثل الماء، وعلى هذا فمن خلال التعرف على كيفية حساب حجم الأسطوانة يصبح من الممكن وبسهولة الوصول إلى مقدار كمية المادة المطلوبة لملء الشيء الأسطواني كالخزان، أو مقدار ما يتم وضعه في زجاجة من عصير، والغاز الذي يتم ملء الأنابيب الأسطوانية به. ،
مساحة الأسطوانة
تتكون مساحة الأسطوانة من مساحتين، واحدة جانبية والأخرى كلية، وفيما يلي توضيح للمعنى المقصود بكل منهما
المساحة الجانبية للأسطوانة
تعرف المساحة الجانبية للأسطوانة (Curved Surface Area) بأنها المساحة الكلية للأسطوانة فيما عدا مساحة القاعدتين، ومن الممكن أن يتم التعبير عنها من خلال تخيّل علبة ذات شكل أسطواني مرغوب في وضع غطاء بملصق من الورق عليها من الخارج لكي يلف حول جانبها بالمنطقة الواقعة بين القاعدتين بالكامل، على أن يمثل مقدار الورق المطلوب مساحة الجانبية الأسطوانة، وبناء على ما سبق ذكره من أن الأسطوانة عبارة عن مستطيل مُلتف فيما بين الدائريتين اللتان تمثل القاعدتين، فإن مساحتها الجانبية تتمثل في مساحة ذلك المستطيل، وهو ما يمكن إيضاحه فيما يلي:
- مساحة المستطيل تساوي طوله ضرب محيط واحدة من القاعدتين ذات الشكل الدائري، مضروبا بعرض المستطيل. ويمكن حساب عرض المستطيل بمعرفة ارتفاع الأسطوانة (الرمز: ع)، والذي يساوي ضعف القطر مضروبا بـ 3.14، أي
- مساحة السطح الجانبي للأسطوانة = (2 × π × نصف قطر قاعدة الأسطوانة) × الارتفاع، ورموز تلك العملية الحسابية هي: مساحة السطح الجانبي للأسطوانة = 2 × π × نق × ع.
المساحة الكلية للأسطوانة
تتكون الأسطوانة من قاعدتين لهما شكل دائري، ومستطيل مُلتف فيما بين تلك القاعدتين، وعلى ذلك فإن مساحتها الكلية هي إجمالي مساحة المستطيل مضافاً إليه القاعدتين الدائريتين، بمعنى أنها تساوي مجموع كل من مساحة القاعدتين والمساحة الجانبية، وهو ما يمكن إيضاحه من خلال القوانين الآتية:
- المساحة الكلية للأسطوانة” يتم حسابها من خلال جمع مساحة القاعدة الأولى ومساحة القاعدة الثانية والمساحة الجانبية. وتحسب مساحة القاعدة باستخدام النصف قطر “نق” والقيمة “π”، بينما تحسب مساحة الجانبية باستخدام النصف قطر والارتفاع “ع”. ويمكن تبسيط الصيغة عن طريق حذف العامل المشترك “2×π×نق
- يتم حساب المساحة الكلية للأسطوانة بالتالي: 2×π×نصف قطر الأسطوانة×(ارتفاع الأسطوانة + نصف قطر الأسطوانة)، وتعبر عن مساحة الأسطوانة الكلية بالرمز: 2×π×نق×(نق+ع).
قانون حجم الاسطوانة
من السهل أن يتم حساب حجم الأسطوانة حين التعرف على ارتفاعها إلى جانب التعرف على نصف القطر الخاص بكل من الدائرتين؛ وعلى ذلك يكون حجم الأسطوانة (ح=ط×نق2×ع) وبافتراض أنّ رمز الارتفاع هو ع، ويرمز لنصف القطر الأسطوانة بالرّمز نق، ويرمز لثابت الدائرة بالرّمز ط؛ وذلك الثابت معروف رياضياً باسم باي ويساوي تقريباً 3.14، فإن كان ارتفاع أسطوانة (ع) يساوي 7سنتيمتر، ونصف قطرها ورمزه نق يساوي 2سنتيمتر فإنّ حجمها يساوي(ح=ط×22×7≅87.96) سنتيمتر مكعب.
كيف يحسب حجم الاسطوانة
تقوم الخطوة الأولى في حساب حجم الأسطوانة بمعرفة نصف قطرها وتمثيله بالرمز نق. يمكننا معرفة نصف القطر بواسطة المسطرة وقياس المسافة الأبعد بين أطراف إحدى الدوائر، ثم قسمتها على العدد 2. يمكن أيضا حساب نصف القطر بقسمة محيط الدائرة على (2×ط)، أو بقسمة القطر على العدد 2 إذا كان متاحا في بيانات المسألة. يمكن تعريف ارتفاع الأسطوانة (ع) بالمسافة بين حواف القاعدتين الدائريتين.
يمكن حساب حجم الأسطوانة عقب الوصول إلى جميع ما سبق إيضاحه من معطيات ويصبح الأمر يسير للغاية وذلك من خلال حساب مساحة واحدة من القاعدتين يليه القيام بضربها في الارتفاع، فإن كان نصف القطر نق= يساوي 8سنتيمتر فإنّ (م) أو مساحة القاعدة تساوي ط×82≅201سنتيمتر مربع وذلك يدل على أنّ حجم الأسطوانة تلك (ح=3015سنتيمتر مكعب)، وذلك حينما يساوي الارتفاع (ع) 15سنتيمتر، وهو حاصل عملية ضرب (15سم×201سنتيمتر مربع)، والجدير بالذكر أنه يجب أن يكون الحجم باللترات أو بالوحدات المكعّبة.
حساب حجم الاسطوانة باللتر
اللتر هو وحدة قياس الحجم التي يساوي طول ضلعه مكعبا عشرة سنتيمترات، ويمكن ملؤه بكمية من الماء المقطر بوزن كجم واحد عند درجة حرارة أربعة سيليسيوس، ويمكن حساب حجم الأسطوانة باللتر عن طريق تحويل المعطيات إلى وحدة سنتيمتر وقسمة الناتج على 1000 للتحويل من سنتيمتر مكعب إلى لتر، ويمكن تحويل الناتج إلى لتر مباشرة من خلال هذا الرابط https://www.metric-conversions.org/volume/cubic-centimeters-to-liters.htm
أمثلة على حساب حجم الأسطوانة
فيما يلي بعض الأمثلة والتمارين المتعلقة بحجم الأسطوانة، والتي يمكن استخدامها لفهم طريقة حساب حجم الأسطوانة
المثال الأول: يجب اتباع الخطوات التالية لحساب نصف قطر قاعدة أسطوانة حجمها 440 سنتيمتر مكعب وارتفاعها 35 سنتيمتر:
- ترتيب المتغيرات بقانون حجم الأسطوانة هو: ح=ط×نق2×ع على ذلك يكون 440سنتيمتر مكعب=ط×نق2×35سم.
- ترتيب المتغيرات مرة ثانية حتى تصبح كما في التالي: نق2=440سم3÷(ط×35سم)= 4سم مربع.
- حساب نصف القطر: نق=جذر نق2=2سم.
المثال الثاني: يتم حساب حجم الأسطوانة التي يبلغ قطرها 8 سم ويبلغ ارتفاعها 18 سم باللتر، وذلك عن طريق اتباع الخطوات التالية:
- حساب نصف قطر الدائرة: نق=ق÷2=8÷2=4سنتيمتر.
- حساب مساحة القاعدة: م=ط×24=50.26 سنتينتر مربع
- حساب الحجم: ح=50.26سم2×18سم=904.77سنتيمتر مكعب.
- تحويل النّاتج إلى وحدة اللتر: ل=سم3÷1,000≅0,904 لتر.
المثال الثالث: يمكن حساب حجم أسطوانة ومساحتها بتساوي طول محيط القاعدة الدائرية مضروبًا بارتفاعها (ع)، وقد كان ارتفاعها 125.66 سنتيمتر وفقًا للخطوات التالية:
- محيط قاعدة الأسطوانة يعادل ارتفاعها، ومن خلال ذلك يمكن تحديد نصف القطر كما هو موضح فيما يلي
- محيط قاعدة الأسطوانة الدائرية = 2×π×نق، وعلى ذلك فإن : 125.66= 2×3.14×نق، ومنه فإن: نق= 20سنتيمتر.
- مساحة الأسطوانة الكلية = 2 × π × نصف القطر × (نصف القطر + الارتفاع) = 2 × 3.14 × 20 × (20 + 125.66) = 18,304.18 سنتيمتر مربع.
- حجم الأسطوانة = π×نق²×الارتفاع = 3.14 × 20² × 125.66 = 157,909.01 سنتيمتر مكعب.