معنى الأصفار التخيلية
الأصفار التخيلية هي نتيجة لدالة كثيرة الحدود، والتي تحتوي على جذور تربيعية سالبة، ويستخدم النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت الخاص بالجذور والأصفار لحل هذه الدوال .
تحديد عدد الأصفار التخيلية
يمكن تحديد عدد الأصفار التخيلية باستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت للإشارات .
مثال : د (س) = س^٦ + ٣س^٥ – ٤س^٤ – ٦س^٣ + س^٢ – ٨س + ٥
يُلاحَظ أن درجة الدالة هي ستة، وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر، لذلك سَتُعطي الدالة ناتجَ ستة أصفار (ومن الممكن أن تكون هذه الأصفار حقيقية أو تخيلية أو الاثنين). ثم يتم استخدام قانون ديكارت للإشارات لتحديد العدد الممكن للأصفار الحقيقية ونوعها.
- عند حساب عدد مرات تغيّر إشارة معاملات الدالة د(س)، نجد أن معامل س^6 إيجابي ومعامل س^5 إيجابي أيضًا، ولم يحصل أي تغيّر في الإشارة .
- ثم يتم إشارة معامل س^5 بالإيجاب، ومعامل س^4 بالسالب، أي تم تغيير الإشارة .
- بالنسبة لإشارة معامل س^٤، فهي سالبة، وكذلك إشارة معامل س^٣. أي أنه لا توجد أي تغييرات في الإشارة.
- ثم إشارة معامل س^٣ سالبة، وإشارة معامل س^٢ موجبة. أي تغير في الإشارة يحدث.
- يتم إشارة معامل س ^٢ بشكل موجب، ومعامل س بشكل سالب، ويحدث أي تغيير في الإشارة.
- ثم يتم تعيين العامل س بقيمة سالبة، ويتم تعيين العدد الثابت بقيمة موجبة. أي تغيير في الإشارة يعتبر حدثا.
- يلاحظ وجود أربع تغييرات في إشارة المعاملات، وعدد الأصفار الحقيقية الموجبة يتراوح بين أربعة واثنين وصفر.
- ثم نحسب عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة د (-س) = (-س)^٦ + (٣*-س)^٥ -(٤*-س)^٤ -(٦*-س)^٣ +(-س)^٢ -(٨*-س ) +٥ ويتم ذلك بحساب قيم الدالة عند نقاط مختلفة
- بعد ذلك، ندرس تغير إشارة معاملات الدالة د (-س)، ونلاحظ تغيرًا في إشارة المعاملات، ويكون عدد الأصفار الحقيقية السالبة اثنين أو صفر.
- نظرًا لأن دالة د(س) ينتج منها ستة أصفار، فإن عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يمكن أن يكون أربعة أو اثنان أو صفر، وعددالأصفار الحقيقية السالبة يمكن أن يكون اثنان أو صفر.
- أنشئ جدولًا لتوضيح عدد الجذور الحقيقية والخيالية الممكنة.
- فيما يتعلق بالجدول، يحتوي العمود الأول على عدد الأصفار الحقيقية الموجبة، والعمود الثاني يحتوي على عدد الأصفار الحقيقية السالبة، أما العمود الثالث فيحتوي على عدد الأصفار التخيلية، والذي يساوي عدد الأصفار الكلي ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.
- بالتالي، يمكن أن يصل عدد الأصفار الحقيقية الموجبة إلى أربعة أو اثنين أو صفر.
- عدد الأصفار الحقيقية السالبة يمكن أن يكون إما اثنين أو صفر.
- يساوي عدد الأصفار التخيلية ستة ناقص مجموع عدد الأصفار الحقيقية.
- بالمعنى إذا كان عدد الأصفار الحقيقية الموجبة = 3 وعدد الأصفار الحقيقية السالبة = 1، فإن عدد الأصفار التخيلية = 6 – 3+1 = 2
- إذا كان عدد الأصفار الحقيقية الموجبة يساوي ٤ وعدد الأصفار الحقيقية السالبة يساوي صفر، فإن عدد الأصفار التخيلية يساوي ٦ – ٤ + ٠ = ٢ .
النظرية الأساسية في الجبر
تستخدم النظرية الأساسية في الجبر لتحديد عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود ولإيجاد الجذور التخيلية في حالة ظهور جذور تخيلية في معادلة تربيعية عندما يكون التمييز (الجزء الموجود تحت علامة الجذر التربيعي) (b2-4ac) سالبًا.
إذا كانت هذه القيمة سالبة، فلا يمكنك بالواقع أخذ الجذر التربيعي والإجابات هنا غير حقيقية. بمعنى آخر، لا يوجد حل حقيقي. وبالتالي، لن يتقاطع الرسم البياني مع محور x.
عند استخدام الصيغة التربيعية، يكون لديك دائما حلين، لأن علامة الجمع أو الطرح تعني أنك تضيف أو تطرح وتحصل على اثنتين من الإجابات المختلفة تماما. عندما يكون الرقم الموجود تحت علامة الجذر التربيعي في الصيغة التربيعية سالبا، فإن الإجابات تعتبر مركبة. الأولى هي r + si والثانية هي r – si. تحتوي هذه الأرقام على أجزاء حقيقية (r) وأجزاء خيالية (si).
يتكون نظام العدد المركب من جميع الأرقام r + si حيث r و s هي أرقام حقيقية. لاحظ أنه عندما تكون s = 0 ، يكون لديك ببساطة الأعداد الحقيقية. لذلك فإن الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من نظام الأعداد المركبة. تقول النظرية الأساسية للجبر أن كل دالة متعددة الحدود لها جذر واحد على الأقل في نظام الأعداد المركبة.
عدد الجذور المتعلقة بمعادلة متعددة الحدود يرتبط بدرجة المعادلة متعددة الحدود، وهذا يعني أن المعادلة متعددة الحدود من الدرجة ن تحتوي على نفس عدد الجذور المركبة، على سبيل المثال
- تُعدُّ معادلةً كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، وتأخذ الصيغة س^٣ + ٢س^٢ +٦، ويكون حلها بالتالي ثلاث جذورٍ .
- المعادلة 4س^4 – 3س^3 + 5س_6 هي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة، ونتيجة حل هذه المعادلة تساوي أربعة جذور .
- المعادلة ٢س^٥ -٣س^٢ + ٨ هي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة ويتمثل حلها في خمسة جذور .
لذلك، الدالة ذات الحدود العديدة من الدرجة ن، لديها n أصفار مركبة.
قانون ديكارت للإشارات
يمثل هذا العلاقة بين إشارات معاملات الدالة والأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة، ويستخدم لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أو السالبة لدالة معينة .
الجذور الحقيقية الإيجابية
بالنسبة لعدد الجذور الحقيقية الموجبة، يمكن الرجوع إلى كثير الحدود المدون بترتيب تنازلي وحساب عدد المرات التي تتغير فيهاالإشارة من حد إلى آخر.
تمثل هذه القيمة الحد الأقصى لعدد الجذور الموجبة في كثير الحدود. على سبيل المثال ، في كثير الحدود f (x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 ، ترى تغييرين في العلامة من المصطلح الأول (+ 2×4 ) إلى الثاني (-9×3) ومن الحد الثالث (-21×2) إلى الحد الرابع (88x). هذا يعني أن هذه المعادلة يمكن أن تحتوي على حلين موجبين.
تنص قاعدة علامات ديكارت على أن عدد الجذور الموجبة يساوي التغييرات في علامة (f (x، أو بأقل من ذلك بعدد زوجي (مما يعني الاستمرار في طرح 2 حتى تحصل على 1 أو 0). لذلك، قد يكون لـ (f (x السابقة 2 أو 0 جذور موجبة.
الجذور الحقيقية السلبية
لحساب عدد الجذور الحقيقية السلبية لـ f(-x) يجب حساب f(x) مرة أخرى، حيث أن الأعداد السالبة المرفوعة لأس زوجي تعطي نتيجة موجبة، في حين أن الأعداد السالبة المرفوعة لأس فردي تعطي نتيجة سلبية، وبالتالي لا تؤثر هذه العملية إلا على الشروط ذات الأس الفردي.
هذه الخطوة مشابهة لتحويل كل عدد إلى عدده المعاكس وإحصاء التغييرات في الإشارات مرة أخرى، مما يوفر لك عددًا أكبر من الجذور السالبة.
يتحول المعادلة f (-x) = 2×4 + 9×3 – 21×2 – 88x + 48، مما يغير علامات الأعداد مرتين، وقد يكون هناك جذور سالبة على الأكثر.
ومع ذلك، وفقًا لقاعدة الجذور الموجبة، يساوي عدد الجذور السالبة تغييرات الإشارة لـ f (–x)، أو يجب أن يكون أقل بعدد زوجي. لذلك، يمكن أن يحتوي هذا المثال على جذور سالبة بقيمة 2 أو 0.
مثال : أن س^ن + ……………………+أس+أ
- وهي تعد دالة كثيرة الحدود
- إذا كان الناتج أصفارًا حقيقية موجبة أو سالبة، فإنه يساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات الدالة د (س) الموجبة أو د (-س) السالبة .
- ومن الممكن أن يقل العدد بعدد زوجي .