قانون ضعف الزاوية

يعد قانون ضعف الزاوية واحدًا من القوانين الهامة في حساب المثلثات، ويتمثل في ثلاثة أشكال وهم جا وجتا وظا، حيث يتم تطبيق قوانين مختلفة على كل شكل، وفهم صيغة قانون ضعف الزاوية مهم في علم المثلثات، ويساعد دراسته على فهم الروابط بين النسب المثلثية وعلاقتها بصيغة الزاوية المزدوجة.

ما هو قانون ضعف الزاوية

يرتبط المفهوم المعروف لضعف الزاوية بالنسب المثلثية المشتركة الثلاثة: وتشمل هذه النسب جيب الزاوية (جا)، وجيب تمام الزاوية (جتا)، وظل الزاوية (ظا). وتظهر هذه النسب على العلاقة بين جوانب المثلث الأيمن وزوايا معينة في المثلث.

ضعف الزاوية يعني زيادة حجم الزاوية إلى ضعف حجمها ، يمكننا تحقيق ذلك بطريقتين ، عن طريق الضرب أو عن طريق الإضاف  مثال إذا كانت الزاوية 100 درجة عند مضاعفة الزاوية ، تصبح 200 درجة ،  في علم المثلثات مضاعفة الزاوية متشابهة في المفهوم ، ومع ذلك يجب توخي الحذر بشأن ما نضاعفه بالضبط.

لنفترض أن لدينا جتا 60 درجة = 0.5. إذا أردنا تضاعفية الزاوية، يمكننا القيام بأحد الإجراءات التالية

•  2 * جتا x ستعطي 2 * 0.5 = 1
•  جتا 2 × ستعطي جتا 2 × 60 = جتا 120 = -0.5

في المثال الأول، لا نضاعف الزاوية، بل نضاعف جيب الزاوية، وفي الجزء الثاني، نضاعف الزاوية فقط.

مضاعفة الزاوية يعني ضرب الزاوية في 2، والطريقة الأخرى لمضاعفة الكمية هي إضافة الكمية إلى نفسها، فمثلاً إذا كان لديك 10 تفاح وقمت بمضاعفة الكمية، فيمكنك إضافة 10 تفاح إضافية لتصل الكمية إلى 20 تفاحة، وهذا يعادل ضرب العدد في 2.

ينطبق هذان المفهومان على مضاعفة زاوية النسب المثلثية، وبالتالي فإن مضاعفة الزاوية تعني الآتي:

Sin (x + x) = Sin 2 x

Cos (x + x) = Cos 2 x

Tan (x + x) = Tan 2 x

صيغة قانون ضعف الزاوية 

• جا (2س) = 2 جا (س)، جتا (س) = 2 ظا (س) / (1 + ظا² (س)).
• جتا (2 س) = جتا² (س) – جا² (س) = 2 جتا ²(س) – 1 = 1 – 2 جا ²٠(س) = (1 – ظا²(س)) / (1 + ظا² (س)).
•  ظا (2س)=2 ظا (س) / (1-ظا² (س)).

جيب زاوية مزدوجة

sin 2 α = 2 sin α cos α

دليل إثبات

جيب مجموع زاويتين :

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

سيتم استخدام هذا الجهاز للحصول على زاوية مزدوجة.

إذا أخذنا الجانب الأيسر (LHS):

( α + β )

واستبدال β مع α ، نحصل على:

sin ( α + β ) = sin ( α + α ) = sin 2 α

خذ بعين الاعتبار RHS:

sin α cos β + cos α sin β

نظرًا لاستبدالنا β في الجانب الأيسر بـ α ، فإننا بحاجة إلى القيام بنفس العملية على الجانب الأيمن للمعادلة، وبعد القيام بذلك نحصل على:

sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α

بجمع نتائجنا في الجانب الأيسر والجانب الأيمن، نحصل على النتيجة الهامة

sin 2 α = 2 sin α cos α

تسمى هذه النتيجة جيب الزاوية المزدوجة، وتستخدم لتبسيط التعبيرات في وقت لاحق.

جيب التمام لضعف الزاوية

من خلال استخدام عملية مشابهة، يمكننا الحصول على جيب تمامًا بصيغة مزدوجة الزاوية

cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α

دليل إثبات

هذه المرة نبدأ بجيب التمام لمجموع زاويتين :

cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β ،

يتم استبدال β بـ α في كل من الجانب الأيسر والأيمن، كما يلي:

LHS = cos ( α + α ) = cos (2 α )

RHS = cos α cos α – sin α sin α = cos 2 α – sin 2 α.

أشكال مختلفة من نتيجة ضعف الزاوية جيب التمام

باستخدام نتيجة sin 2 α + cos 2 α = 1، التي تم العثور عليها في هويات المثلثات، يمكننا كتابة RHS للصيغة أعلاه على النحو التالي:

cos 2 α – sin 2 α

= (1− sin 2 α ) – sin 2 α

= 1− 2 sin  2 α

بالمثل، يمكن استخدام (1 – جتا 2 α) بدلاً من 2 α في موقع RHS الخاص بنا والحصول على:

cos 2 α – sin 2 α

= cos 2 α – (1 – cos 2 α )

= 2cos 2 α – 1

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية 

المثال الأول: إذا كانت زاوية س في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س) = -3/5، فجد قيمة جا(2س)، جتا(2س)، وظا(2س)

الحل:

• عندما نقوم برسم مثلث قائم الزاوية ونمثل الأرقام المتعلقة به، ونستخدم قانون فيثاغورس، فإننا سنعرف أن الجيب التمام سالب في الربع الثالث
• يتم الحصول على جتا(س) =-4/5 وظا(س) =3/4. بتطبيق قانون جا(2س) =2جا(س)جتا(س) =2×-3/5×-4/5=24/25.
•  بتطبيق قانون جتا(2س) =1-2جا²(س) =1-(2ײ(3/5))=0.28.
•  بتطبيق قانون ظا(2س) =2ظا(س)/(1-ظا²(س)) =2×(3/4)/(1-²(3/4)) =24/7.

المثال الثاني: قم بحساب جميع القيم الممكنة للزاوية س، إذا كانت المعادلة 2جتا(س) + جا(2س) = 0 صحيحة، حيث 360≥س≥0

الحل:

• باستبدال جا(2س) با 2جا(س) جتا(س) هيكون الناتج : عند استخدام عامل المشترك، فإن معادلة 2جتا(س) + 2جا(س) يصبح الناتج 2جتا(س) (1+جا(س)) = 0 
• عند استخدام قانون الضرب بالصفر، إذا كان أ وب عددين وأ×ب = 0، فإن أ = 0 أو ب = 0، أو كلا العددين أ وب يساويان الصفر
• – يتمثل النتيجة في 2جتا(س) =0 ، 1+جا(س) =0 ، وأيضًا جتا(س) =0 ، وجا(س) =-1
• يتم بعد ذلك تحديد زاوية الجيب المعاكس للصفر والمساوية لـ 90 و 270 درجة، ويتم أيضًا تحديد زوايا الجيوب المساوية للرقم -1 والتي تكون 270 درجة، وينتج عن ذلك الحل المكوّن من 90 و 270 درجة.

المثال الثالث: أوجد قيمة جا ( 2×ظا-1 (3/4 )).

 الحل: 

• عند تطبيق قانون جا(2س) = 2جا(س)جتا(س)، ينتج لنا جا(2×ظا-1 (3/4))= 2جا(ظا-1 (3/4)جتا(ظا-1 (3/4)) 
• يتم تمثيل الأرقام باستخدام المثلث القائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس للحصول على جتا(ظا-1(3/4)) = 4/5 وجا(ظا-1(3/4)) = 3/5.
• ونقوم لتعويض الأرقام في القانون السابق لينتج أن: جا(2×ظا-1 (3/4) =2×3/5×4/5 =24/25.

 المثال الرابع: إذا كانت قيمة جتا(س)= 3/3√2 وكانت الزاوية س في الربع الأول، فما قيمة جا(2س) + جتا(2س)؟.

الحل: 

• يعادل جتا(س) 1/جا(س) = 3/3√2 ، وبالتالي جا(س) = 3√3/2 .
• يتم رسم مثلث قائم الزاوية وتمثيل الأرقام عليه، ثم تطبيق قانون فيثاغورس الذي ينتج عنه: جتا (س) = 1/2
• ثم نستخدم قانون جا(2س) = 2جا(س)جتا(س) = 2 × ( 3√3/2 ) × (1/2) = 3√3/2 
• يتم تطبيق قانون جتا(2س) = 2جتا²(س) – 1 = 2 × جذر(1/2) – 1 = 1/2، مما يوضح أن جتا(2س) = -1/2، ونظرًا لأنه يقع في الربع الثاني، فإن قيمته سالبة
• يتم حساب قيمة (2س جا) + (2س جتا) = 3√3/2 + 1/2 = 3√2/(3√-3)

المثال الخامس: أثبت أن (1-ظا²(ٍس)) / قا²(س)= جتا(2س).

الحل:

• من خلال تبسيط الصيغة، يتم الحصول على (1-ظا²(ٍس)) /قا²(س)= (1-(جا²(س)/جتا²(س)) × (1/قا²(س)). (1-(جا²(س)/جتا²(س)) × جتا²(س)= جتا²(س)-جا²(س)= جتا²(2س).

المثال السادس : إذا كانت قيمة زاوية س حادة وكان جا(س) = 0.6 ، فما قيمة جا (2س).

 الحل:

• – يتم تحويل قيمة جا (س) إلى كسر عن طريق تقسيم البسط على المقام لتكون جا(س) = 6/10 
• ثم ترسم مثلث ونقوم بوضع الارقام ونطبق قانون فيثاغورس لنكتشف أن: جتا(س) = 8/10.
• بعد ذلك، يتم تطبيق قانون جا (2س) = 2جا(س) جتا(س)، وتنتج جا(2س) =2×6/10×8/10=48/50=0.96.

المثال السابع:احسب القيمة الدقيقة لجا بزاوية 105 درجة باستخدام قانون نصف الزاوية.

الحل

• في البداية، نتذكر أن درجة الحرارة تبلغ 105 درجة في الربع الثاني، وأن وظائف الجيب إيجابية في الربع الثاني.
• أيضا، سجلت درجة الحرارة 210 في الربع الثالث، وسجلت مبيعات جيب التمام في الربع الثالث بأرقام سلبية
• عند استخدام المثلث المرجعي، المثلث المرجعي 210 درجة في الربع الثالث يتكون من زوايا 30 درجة – 60 درجة – 90 درجة، لذلك تكون الجا 210 درجة مساوية للجا 30 درجة.