قانون حجم الكرة بالتفصيل

تعريف الكرة

تعريف الكرة هو هندسة هندسة دائرية تماما في ثلاثة أبعاد في الفضاء، تتكون من مجموعة من النقاط على مسافة متساوية من نقطة ما في الفضاء، ويشار إلى المسافة بين النقطة الخارجية ومركز الكرة بمقدار نصف قطرها r، ويشار إلى المسافة الخطية القصوى بين أي نقطتين على الكرة مرورا بالمركز بالقطر d. سنتعرف فيما يلي على قانون حجم الكرة وسنقدم أيضا إثباتا لهذا القانون 

قانون حجم الكرة 

يمكن حساب حجم ومساحة الكرة بالاعتماد على معادلة الكرة

معادلة الكرة

تُعطى معادلة دائرة نصف القطر r بالصيغة التالية:

س 2 + ص 2 = ص 2

يمكن ربطه بالطريقة الجبرية لتطوير نظرية فيثاغورس.

إذا كان للمثلث الأيمن جوانب طول |س| و|ذ| ووتر طول r، فإن النقطة (س، ص) تقع على الدائرة فقط، ويمكن كتابتها على النحو التالي:

س 2 + ص 2 = ص 2

يمكن استخدام نظرية فيثاغورس مرتين في معادلة الكرة، حيث تكون O هي مركز الكرة وP(x، y، z) هي نقطة على مسافة r من مركز الكرة، وتكون المسافة من O إلى P تساوي r عندما تكون P على سطح الكرة.

بما أن مثلث OAB قائم الزاوية، فإن x2 + y2 = s2، ويعد مثلث OBP مثلثًا آخر قائم الزاوية، وبالتالي فإن s2 + z2 = r2، وبالتالي يمكن التعبير عن المسافة بين O و P عن طريق:

x 2 + y 2 + z 2 = | OP | 2

ومن ثم ، يمكننا أن نستنتج أن (x ، y ، z) تقع على الكرة بنصف قطر r فقط إذا ، س 2 + ص 2 + ع 2 = ص 2 والتي تسمى معادلة الكرة.

إذا كانت (a، b، c) هي مركز الكرة، وr هو نصف القطر، وx، y، z هي إحداثيات النقاط الموجودة على سطح الكرة، فإن المعادلة العامة للكرة هي (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

قانون حجم الكرة

يتم تعريف حجم الكرة بمقدار المساحة التي يشغلها الجسم الكروي الثلاثي الأبعاد 

تُعطى صيغة حساب حجم الكرة بواسطة المعادلة: حجم الكرة = 43π ص3

و ص هو نصف قطر الكرة.

قانون مساحة سطح الكرة

مساحة سطح الكرة هي المساحة الإجمالية التي يغطيها سطح الكرة في الفضاء الثلاثي الأبعاد، ويتم حساب صيغة سطح الكرة عن طريق:

تُعطى صيغة حساب مساحة سطح الكرة بواسطة:

مساحة سطح الكرة = ٤πص² بالوحدات المربعة.

أمثلة لحساب حجم الكرة 

المثال الاول: أكتب معادلة الكرة بالصيغة القياسية حيث يكون مركز الكرة ونصف قطرها (11، 8، -5) و 5 سم على التوالي

الحل :

• المعطى: موقع المركز = (11، 8، -5) = (أ، ب، ج)
• نصف القطر = 5 سم
• نعلم أن معادلة الكرة في الشكل القياسي مكتوبة على النحو التالي: (xa) 2 + (yb) 2 + (zc) 2 = r 2
• قم باستبدل القيم المعطاة في النموذج السابق ، نحصل على:
• (x-11) 2 + (y-8) 2 + (z – (- 5)) 2 = 5 2
• (x-11) 2 + (y-8) 2 + (z +5) 2 = 25

وبالتالي، فإن معادلة الكرة هي (x-11)2 + (y-8)2 + (z+5)2 = 25

المثال الثاني: أوجد حجم الكرة التي قطرها 10 سم؟

الحل :

• معطى ، القطر  د = 10 سم
• نعلم أن D = 2 r وحدة مكعبة.
• لذلك، يكون نصف قطر الكرة، r = d/2 = 10/2 = 5 سم
• للعثور على الحجم: حجم الكرة يساوي 4/3 πr 3 وحدة مكعبة.
• الخامس = (4/3) × (22/7) × 5^3

حجم الكرة هو V = 522 وحدة مكعبة.

المثال الثالث: ما هي مساحة سطح كرة نصف قطرها 7 سم

الحل :

• نصف القطر المعطى = 7 سم
• مساحة سطح الكرة = 4πr² وحدة مساحية
• SA = 4 × (22/7) × 7 2
• SA = 4 × 22 × 7
• SA = 616 سم 2

بالتالي، مساحة سطح الكرة = 616 وحدة مربعة.

اثبات قانون حجم الكرة بالتكامل 

يمكن حساب حجم الكرة بسهولة باستخدام طريقة التكامل، حيث يُفترض أن حجم الكرة يتألف من العديد من الأقراص الدائرية الرفيعة التي يتم ترتيبها بشكل متتالي، وتحتوي الأقراص الدائرية على أقطار متغيرة باستمرار ويتم وضعها بشكل خطي مع المراكز الأخرى 

يمكنك اختيار أي قرص من هذه الأقراص، وهو عبارة عن قرص رفيع نصف قطره “r” وسمكه dy، حيث يقع على مسافة y من المحور x، وبالتالي يمكن كتابة الحجم على أنه حاصل ضرب مساحة الدائرة بسمكها 

يمكن التعبير عن نصف قطر القرص الدائري (r) بالبعد الرأسي (y) باستخدام نظرية فيثاغورس 

وبالتالي، يمكن التعبير عن حجم عنصر القرص، dV، من خلال:

فولت = ( πr 2 ) دى

dV = π (R 2 -y 2 ) دى

وبالتالي ، يمكن تحديد الحجم الكلي للكرة من خلال:

الخامس=∫ذ+ + رذ= – صدالخامس

الخامس=∫ذ+ + رذ= – صπ(ر2-ذ2) دذ

الخامس= π[ر2ذ-ذ33]ذ= + صذ= – ص

استبدل القيم :

الخامس= π[ (ر3-ر33) – ( -ر3+ر33) ]

ويمكن تبسيط التعبير السابق ، نحصل على:

الخامس= π[ 2ر3-2ر33]

الخامس=π3[ 6ر3- 2ر3]

الخامس=π3( 4ر3)

وبالتالي، يكون حجم الكرة الخامس = 43π ر3 وحدة مكعبة.

حساب مساحة الكرة الأرضية

تتضمن المواد الصلبة ثلاثة أبعاد مختلفة مثل الطول والعرض والارتفاع، ونعلم أن الأشكال ثلاثية الأبعاد لا يمكن تمثيلها بقطعة من الورق، ويتم الحصول على معظم الأشكال ثلاثية الأبعاد بتدوير الأشكالات ثنائية الأبعاد.

تعتبر الكرة أحد أفضل الأمثلة على الشكل الثلاثي الأبعاد، حيث تم الحصول عليها من دوران شكل ثنائي الأبعاد المعروف باسم الدائرة، وتعد الأرض مثالًا جيدًا على الكرة الكروية.

تُعد الأرض من الأمثلة الجيدة على نصف الكرة الأرضية، حيث تتكون من نصفين هما نصف الكرة الجنوبي ونصف الكرة الشمالي.

حجم نصف الكرة الأرضية

تمثل نصف الكرة بالضبط نصف كرة، ويتميز بسطح منحني وسطح مستوٍ 

يُمكن بسهولة حساب حجم نصف الكرة لأن قاعدتها دائرية، وقد اشتق أرخميدس حجم نصف الكرة الأرضية.

حجم نصف الكرة يساوي (2/3) πr 3 وحدات مكعبة.

حيث أن ثابت الرياضيات π يساوي حوالي 3.14.

نصف قطر النصف الأرضي للكرة هو `r`.

قانون حجم نصف الكرة الأرضية

عندما يتم تحويل نصف القطر “R” في المعادلة، يتم إعطاؤه بواسطة

س 2 + ص 2 + ع 2 = ر 2

يتم كتابة الصيغة أو المعادلة الديكارتية لنصف الكرة، مع نصف القطر “ر” في النقطة (x0، y0، z0) 

(xx 0 ) 2 + (y- y 0 ) 2 + (z- z 0 ) 2 = R 2

لذلك، يتم تعيين الإحداثيات الكروية لنصف الكرة على النحو التالي

x = r cos θ sin ∅

y = r sin θ cos ∅

ض = ص كوس ∅

أمثلة لحساب حجم نصف الكرة 

سؤال: احسب حجم نصف الكرة التي يبلغ نصف قطرها 6 سم

الحل :

• المعطى: نصف القطر r = 6 سم 
• حجم نصف الكرة يساوي (2/3) πr 3 وحدات مكعبة.
• عوّض بقيمة r في الصيغة

V = (2/3) × 3.14 × 6 × 6 × 6

V = 2 × 3.14 × 2 × 6 × 6

الخامس = 452.16

لذلك يبلغ حجم نصف الكرة 452.16 وحدة مكعبة.

خصائص الكرة

• الكرة متناظرة ومستديرة الشكل. 
• إنها مادة صلبة ثلاثية الأبعاد.
• لها مساحة وحجم يعتمد على نصف قطرها 
• ليس لها أي وجوه أو زوايا أو حواف.
• تقع جميع النقاط على سطح مسافة متساوية من الوسط.
• ليس لديها سطح من المراكز.
• لديها انحناء متوسط ​​ثابت.
• لها عرض ومحيط ثابتان.