المكعب هو واحد من أهم الأشكال الهندسية المعروفة، حيث يتكون من عدة وجوه وكل وجه منه يتألف من مربع، وحجم المكعب يتساوى مع (ل³)، حيث (ل) يعني طول أحد أضلاع المكعب، وعند حساب الفرق بين مكعبين، يمكن استخدام القانون المعروف (س³ – ص³).
قانون الفرق بين مكعبين
يعد هذا القانون من أشهر القوانين المستخدمة في الرياضيات بسبب استخداماته الكثيرة، فالفرق بين مكعبين هي حالة خاصة ضمن حالات ضرب كثيرات الحدود، والصيغة المعبرة عن هذه الحالة هي عبارة عن حدين مكعبين تفصل بينهم علامة طرح، كما هو موضح في القانون التالي: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
يعد هذا القانون واحدا من أكثر القوانين المستخدمة في الرياضيات نظرا لاستخداماته العديدة في حل مسائل رياضية مختلفة. ومن الممكن تحليل الفرق بين مكعبين كما هو واضح في القانون السابق إلى جزئين. في هذه الحالة، يعد الجزء الأول مجموعة التربيع الجذري للحد الأول (س) منقوصا منه التربيع الجذري للحد الثاني (ص). أما الجزء الثاني، فيتم تحليل الجزء الأول الذي يعد مربع الحد الأول (س) جمعا مع الحد الأول مضروبا في الحد الثاني جمعا مع مربع الحد الثاني (ص).
تحليل الفرق بين مكعبين
لكي نقوم بتحليل الفرق بين مكعبين، يجب التأكد أولاً من صحة كتابة القيمة في الشكل الصحيح وبالترتيب الصحيح داخل صيغة الفرق بين مكعبين (س³ – ص³)، وبعد ذلك يتم تحليلها باستخدام بعض الخطوات اللازمة
- تم فتح قوسين للضرب، حيث يتم ضرب القوسين في بعضهما البعض () × ().
- في القوس الأول نضع إشارة الطرح، وفي القوس الثاني نضع إشارتي الجمع.
- يتم كتابة الحد الأول في القوس الأول بمفرده، بدون إشارة التكعيب قبل إشارة الطرح، ليصبح الشكل كالتالي: (س-) × (++).
- يتم كتابة الحد الثاني بدون تكعيب بعد وضع علامة الطرح في القوس الثاني، ليصبح الحد بهذا الشكل: (س-ص) × ( + + ).
بهذا ننتهي من الشق الأول في تحليل القانون، أما الشق الثاني أو القوس الثاني، يتم تطبيع الخطوات التالية
- يتم تربيع الحد الأول ليصبح (س²) ويتم كتابة مربع الحد الأول (س²) قبل علامة الجمع في القوس الثاني، ليصبح التعبير بهذا الشكل: (س- ص) × (س²+ + ).
- يتم ضرب الحد الأول في الحد الثاني (س × ص) ، ثم يتم كتابة ناتج الضرب بين علامتي الجمع الموجودتين في القوس الثاني، ليصبح شكل المعادلة كالتالي: (س-ص) × (س² + (س × ص) + ).
- في الخطوات الأخيرة لتكوين القانون، يتم وضع مربع الحد الثاني (ص²) بعد إشارة الجمع بالحد الثاني، ليصبح الشكل النهائي هو (س – ص) × (س² + (س × ص) + ص²).
- وبهذا يكون شكل القانون النهائي لحساب الفرق بين مكعبين وتحليله كالآتي: (س³ – ص³) = (س – ص) × (س² + (س × ص) + ص²).
يمكن التعبير عن قانون الفرق بين مربعين باستخدام الكلمات على النحو التالي: (مربع الحد الأول – مربع الحد الثاني) يساوي (الحد الأول – الحد الثاني) مضروباً في (الحد الأول + الحد الثاني + الحد الأول مضروباً بالحد الثاني).
أمثلة محلولة عن الفرق بين مكعبين
المثال الأول
حَلّل المقدار التالي إلى عوامله:(64- 216ص³)
الحل
نلاحظ أن الحد الأول وهو 64 عبارة عن مكعب كامل، أي يساوي 4^3
يمثل الحد الثاني أيضًا مكعبًا كاملًا بحجم 216 ص³، ويمكن تمثيله باستخدام (6ص³)
64 – 216ص³= (4)³ – 6ص³.
نحلل كالآتي: (4)³- 6ص³= (4-6 ص)×((4)²+(4×6 ص)+ (6 ص)²).
(4)³- 6ص³= (4-6 ص)×((16)+(24 ص)+ (36ص²)).
المثال الثاني
حلل المقدار س³ -125؟
الحل
س³ – 125= (س-5) (س² +5س+25).
المثال الثالث
حلل 40 س3-5 ص³ ؟
الحل
40 س3-5ص³ = 5(8 س3- ص³)= 5 ((2 س-ص) (4 س² -2 س ص+ ص²)).