شكل المثلث يعتبر واحدا من أهم الأشكال الهندسية المغلقة، ويتكون من ثلاثة رؤوس تشكل ثلاث زوايا قد تكون متطابقة في بعض الأحيان، وعند جمع هذه الزوايا الداخلية، يكون مجموعها 180 درجة. المثلثات تأتي بأنواع مختلفة بناء على قياسات الزوايا والأضلاع، ونظرا لأهميتها، تم إنشاء علم خاص بها ضمن علوم الرياضيات لدراستها بشكل مفصل، ويعرف باسم علم المثلثات.
تعريف المثلث
يعد المثلث واحدًا من الأشكال الهندسية المغلقة الأساسية، حيث يتكون من ثلاث نقاط تتصل بخطوط مستقيمة تسمى الأضلاع أو الأطراف، وبالتالي يمكن اعتبار هذه المثلثات ذات ثلاث زوايا داخلية إذا جمعنا قياساتها يصل إلى 180 درجة.
تتنوع المثلثات في أنواع مختلفة حسب قياساتها وزواياها وأطوال أضلاعها، ولقياس الزوايا المجهولة في المثلثات يجب أولاً التعرف على نوع المثلث والنسب المثلثية والعلاقات بينها.
قانون النسب المثلثية
تعد قوانين النسب المثلثية من أهم وأشهر القوانين التي يتم استخدامها في فرع حساب المثلثات وفي التطبيقات الفيزيائية، ومن أهم الأمثلة عليها قنون الانكسار والانعكاس وتحليل القوي وغيرها من التطبيقات الهامة للغاية التي يتم استخدام قوانين وتطبيقات النسب المثلثية فيها، ومن أشهر وأهم قوانين النسب المثلثية:
قوانين النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية
- جا α = المقابل / الوتر
- جتا α = المجاور / الوتر
- ظا α = المقابل / المجاور
متطابقات وقوانين النسب المثلثية العامة
- جا (α – β) = (جا α جتا β) – (جتا α جا β)
- جتا (α – β) = (جتا α جتا β)–(جا α جا β)
- ظا (α – β) = (ظاα – ظاβ) ÷ (1 + ظاα ظاβ)
- – “جا زاوية + جتا زاوية = 1
قوانين النسب المثلثية للفرق بين زاويتين أو الجمع بينهم
- جا(ب + جـ) = جا(ب)جتا(جـ) + جا(ب)جا(جـ)
- جا (ب – جـ) يساوي جا (ب) جتا (جـ) – جتا (ب) جا (جـ)
- جتا (ب + جـ) = جتا (ب) جتا (جـ) – جا (ب) جا (جـ)
- جتا (ب – جـ) = جتا (ب) جتا (جـ) + جا (ب) جا (جـ)
- ظا(ب+جـ) = (ظا(ب) + ظا(جـ)) / (1-ظا(ب)ظا(جـ))
- – ظا (ب – جـ) = (ظا (ب) – ظا (جـ)) / (1+ ظا (ب) ظا (جـ))
القانون العام للمثلثات وقانون فيثاغورس
يُعَدُّ قانونُ فيثاغورُسَ مِنَ الحالاتِ الخاصّةِ في القانونِ العامِّ للمثلثاتِ، والذي يُعرفُ (بقانونِ جيثِ التمامِ) حيثُ تمَّ استخدامُ قانونِ فيثاغورُسَ فقطَ على المثلثاتِ ذاتِ الزاويةِ القائمةِ ولكنَّ القانونَ العامَّ يتمُّ استخدامُهُ على جميعِ المثلثاتِ.
يستخدم فيثاغورث في العديد من التطبيقات العلمية والعملية بالإضافة إلى القانون العام، حيث يمكن استخدامه لإيجاد محصلة القوى التي تؤثر على جسم معين، كما يستخدمه الحرفيون في تصنيع بعض الأدوات وفي عمليات بناء المنازل.
يقوم قانون فيثاغورس والقانون العام على فكرة حساب قيمة أضلاع المثلث الأطول، ويتم ذلك من خلال العلاقات التالية:
لنفترض مثلاً أن لدينا مثلثًا ذو ثلاثة أضلاع هم (س، ص، ع)، وأن الزاوية المحصورة بين الضلعين (س) و(ص) تساوي β، في هذه الحالة، يتم حساب طول الضلع الثالث (ع) باستخدام القانون التالي: مربع (ع) = مربع (س) + مربع (ص) – (2 س ص جيما بيتا).
إذا كانت قيمة β تساوي 90 درجة، فذلك يعني أن الضلع الواقع على المثلث القائم يساوي صفر، وبالتالي نحصل على قانون فيثاغورس للمثلث القائم الذي ينص على أن مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين.
أنواع المثلثات
تنقسم أنواع المثلثات إلى فئتين وهما الزوايا والأضلاع، فمن الأمثلة على ذلك المثلث القائم الزاوية، والمثلث الحاد الزوايا، والمثلث المنفرج الزاوية، وبالنسبة للأضلاع، فهناك المثلث المتساوي الضلعين، والمثلث المتساوي الأضلاع، والمثلث المختلف الأضلاع.