شرح درس المتتابعات
التعريف العام للمتتابعات :
يُقصد بكلمة متتابعة هى مجموعة من الأعداد التى تتبع نمطاً معيناً من الترتيب ، وتُطلق كلمة (حد) على كل عدد فى المجموعة ، وهناك متتابعات منتهية أى مُحددة بعدد معين من الأرقام ومتتابعات غير منتهية أى أنها مفتوحة وغير مُحددة ، وتُستخدم المتتابعات فى جدولة الديون المتبقية والأقساط وغيرها من العمليات البنكية ، وتنقسم المتتابعات إلى نوعين متتابعات حسابية ومتتابعات هندسية.
أولا : المتتابعة الحسابية
يمكن تعريف المتتابعة الحسابية بأنها نمط عددي يزداد أو ينقص بمقدار ثابت، مثل: (3، 5 ، 7 ، 9 ، 11، …..)، وتسمى هذه المتتابعة حسابية لأن الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابت. ويطلق على هذا الفرق مصطلح “أساس المتتابعة”، فنقول أن أساس المتتابعة هنا هو (+2). في بعض الأحيان، تنقص المتتابعة الحسابية دون أن تزداد، مثل: (8 ، 6 ، 4 ، صفر ، -2 ، -4 ، ….)، ونلاحظ أن أساس هذه المتابعة يكون سالبا لأنه ينقص بقيمة (-2). وكما فهمنا، المتتابعة تزيد أو تنقص بمقدار ثابت. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى هذه الأرقام (21 ، 26 ، 31 ، 36 ، 40 ،….)، هل يمكن اعتبارها متتابعة حسابية؟ الإجابة هي لا، لأنها لا تزيد بمقدار ثابت.
نستطيع كتابة المتتابعة الحسابية باستعمال (الحد النونى) وهو الذى يربط بين رقم الحد وقيمته مثل (6 – ن) ، وإذا اردنا إثبات ما إذا كانت هذه متتابعة حسابية أم لا ، فإننا نقوم بالتعويض عن (ن) بأعداد تمثل رقم الحد و نقوم بحساب النواتج ، ثم معرفة ما إذا كانت أرقام النواتج تزيد أو تنقص بمقدار ثابت أم لا. فمثلا فى هذه المتتابعة :
– عندما ن=1 (6-1=5)
– عندما ن=2 (6-2=4)
– عندما ن=3 (6-3=3)
– عندما ن=4 (6-4=2)
يتضح من هذا النمط العددي (5، 4، 3، 2 …) أنه ينقص بمقدار ثابت وهو (-1)، مما يشكل متتابعة حسابية.
يمكن استنتاج الصورة العامة للمتتابعة الحسابية من المعطيات السابقة وهي (أ + أ + د، أ + 2د، …، ل) حيث أ هو العدد الأول، ود هو الفرق بين الأعداد، أما الحد العام للمتتابعة الحسابية فهو (ح ن = أ + (ن-1) د) .
تمرين :
إذا كانت (ح ن) = (1، 4، 7، …) متتابعة حسابية، فإن قيمة ح 10 تساوي كذلك يجب تحديد رتبة الحد الذي يساوي 22
الإجابة :
بما أن ح ن = أ + (ن-1) د
اذاً ح ن = 1 + (10-1) × 3
= 1 + 9 × 3 = 1 + 27 = 28 # أولاً
بما أن ح ن = 22
22 = 1+ (ن-1) × 30
22 = 1 + 3ن – 3 = 3ن-2
إذاً 3ن=24 إذاً ن = 8
وتعني هذه القيمة (22) أن رتبة هذا الحد هي الثامنة
الوسط الحسابي :
إذا أفترضنا أن أ ، ب ، ج ثلاثة حدود لمتتابعة حسابية ، فإن ب يسمى الوسط الحسابي بين أ ، ج ويكون 2ب = أ +ج وبذلك فإن ب = (أ + جـ) ÷ 2 ، وإذا كانت (أ ، س ، ص ، ….، ع ، ل) متتابعة حسابية ، فكلاً من س ، ص ،….، ع يطلق عليهم أوساطاً حسابية بين أ ، ل ويكون عدد الأوساط = عدد حدود المتتابعة – 2.
تمرين :
أدخل 5 أعداد وسطية بين -13 و 245
الإجابة :
بإدخال 5 أوساط حسابية بين الرقمين -13 و245، يتم الحصول على متتابعة حسابية مكونة من 7 حدود، حيث يكون أ = -13 وحـ7 = 245
اذاً أ + 6د = 245
-13+ 6د = 245
6د = 258 اذا د = 43
إذاً الأوساط الحسابية هى : حـ2 ، حـ3 ، حـ4 ، حـ5 ، حـ6
-13 + 43، -13 + 2 × 43، -13 + 3 × 43
-13 + 4 × 43 ، -13 + 5 × 43
أى 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202
مجموع ن حداً الأولى من متتابعة حسابية :
القانون الاول : يستخدم القانون: جـ ن = ن/2 (أ + ل) في حالة معرفة القيمة الثلاثة لـ (ن، أ، ل)
القانون الثانى : جـ ن = ن/2 (2 أ + ( ن – 1 ) د) ويستخدم هذا المعادلة عندما تكون القيم المعروفة (ن ، أ ، د) .
تمرين :
احسب مجموع الأعداد الحسابية المتتابعة (3،5، 7، …، 41)
الإجابة :
أ = 3 ، ل = 41
نظرا لأن الحد الأخير هو عدد الحدود المتتالية
إذاً حـ ن = أ + (ن – 1) د
41= 3 + (ن – 1) × د
41 = 3 + 2ن – 2
2ن = 40 ، إذاً ن = 20
إذًا، حـ 20 = 20/2 (3 + 41) = 10 × 44 = 440
تمرين :
إذا كانت (1، 9، 17،…) تتابع حسابيا، احسب العنصر العاشر منها
الإجابة :
أ = 1 ، ن = 10 ، د = 8
إذا كان حـ10 = 10/2 (2 × 1 + (10-1) × 8)
= 5 ( 2 + 9 × 8 ) = 5 (74) = 370
تمرين :
متتابعة حسابية تبدأ بالحد الأول 12 وتنتهي بالحد الأخير -26، ومجموع حدودها يساوي -140، فما هي المتتابعة؟
الإجابة :
مجموع التسلسل = ن/2 × (الحد الأول + الحد الأخير) = ن/2 × -14 = -140
ن = 20 حدا
الحد الأول = أ = 12
الحد الأخير = أ + (ن – 1) × د = 12 + 19 × د = -26
ومنها : الأساس = د = – 2
المتتابعة : 12 ، 10 ، 8 ، ….. ، – 26
ثانيا : المتتابعة الهندسية
تسمى المتتابعة الهندسية عندما يكون لكل عنصر فيها قيمة تساوي ناتج ضرب العنصر السابق في عدد ثابت، ويعرف هذا العدد بمعدل المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة، وإذا كان معدل المتتابعة الهندسية إيجابيا، فإن المتتابعة تكون متزايدة، أما إذا كان سالبا، فتتغير حدود المتتابعة من إيجابية إلى سالبة تباعا، أو من سالبة إلى إيجابية تباعا. على سبيل المثال (16، 8، 4، 2، 1، …)، نلاحظ في المتتابعة السابقة أن قيمة كل عنصر تساوي العنصر السابق مقسوما عليه بمقدار ثابت.
إذا كانت النسبة بين (ح ن +1) و ح ن عددًا ثابتًا، فإن المتتابعة ستكون هندسية بأساس العدد الثابت، مع العلم بأن ح ن لا يساوي الصفر .
نقول أن (حـ ن) متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت (ر) حيث ر = حـ ن + 1 ÷ ح ن ، وذلك لجميع قيم ن وتسمى (ر) أساس المتتابعة . ويجب ملاحظة أن الحد النونى للمتتابعة الهندسية هو : حـ ن = أ رن – 1حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة ، وعندما تكون الأعداد أ ، ب ، جـ فى تتابع هندسى فإن ب هو الوسط الهندسى حيث أ / ب = ب/جـ ، وبذلك ب يساوى زائد أو ناقص الجذر التربيعى لـ أ × جـ .
تمرين :
احسب الوسط الهندسي للعددين 16 و 9؟ .
الإجابة :
الوسط الهندسي بين العددين = جذر 144 مضافاً إليه أو مطروحاً منه = زائد أو ناقص 12
تمرين :
الوسط الحسابي لعددين موجبين 50، والوسط الهندسي لهما 40. احسب العددين
الإجابة :
بفرض أن العددين هما أ ، ب
(أ + ب) ÷ 2 = 50
أ + ب = 100 (1)
أ = 100 – ب
جذر أ ب = 40
أب = 1600 (2)
بالتعويض فى (1) و (2)
( 100- ب ) ب = 1600
100 ب – ب2 = 1600
ب2 – 100 ب + 1600 = 0
(ب- 80) ( ب – 20 ) = 0
ب = 80 ، إذاً أ = 20
ب = 20 ، إذاً أ = 80
إذاً العددين هما 20 ، 80