قياس الانحراف المعياري هو معيار إحصائي يوضح مدى تشتت مجموعة البيانات مقارنة بمتوسطها، ويتم حسابه عن طريق حساب التباين بين كل نقطة من البيانات والمتوسط. إذا كانت النقاط بعيدة عن المتوسط، فإن هناك انحرافا أعلى داخل المجموعة؛ وبالتالي، كلما زاد انتشار البيانات، زاد الانحراف المعياري. يستخدم في حساب معدل العائد السنوي للاستثمار.
خصائص الانحراف المعياري
يعد الانحراف المعياري أداة مفيدة بشكل خاص في استراتيجيات الاستثمار والتجارة حيث يساعد في قياس تقلبات السوق والأمن، ويفيد في التنبؤ باتجاهات الأداء فيما يتعلق بالاستثمار، فعلى سبيل المثال يمكن للمرء أن يتوقع أن يكون مؤشر الانحراف المعياري لصندوق ما منخفض مقابل مؤشره القياسي، حيث أن هدف الصندوق هو تكرار المؤشر.
من ناحية أخرى، يمكن للمرء أن يتوقع أن يكون لدى صناديق النمو القوية انحراف معياري مرتفع عن مؤشرات الأسهم النسبية، حيث يقوم المساهمين بالرهانات القوية لتحقيق عوائد أعلى من المتوسط، ولا يفضل بالضرورة أن يكون الانحراف المعياري أقل، حيث يتوقف هذا على قيمة الاستثمارات التي يقوم بها المرء واستعداده لتحمل المخاطر.
كما يعد أحد مقاييس المخاطر الأساسية الرئيسية التي يستخدمها المحللون ومديرو المحافظ الاستثمارية والمستشارون، وتقوم شركات الاستثمار بالتبليغ عن الانحراف المعياري لصناديقها المتبادلة والمنتجات الأخرى، حيث تظهر مقاييس التشتت الكبيرة مدى انحراف العائد على الصندوق عن العوائد العادية المتوقعة.
معادلة الانحراف المعياري
يستخدم الانحراف المعياري كمقياس لتحديد مدى توزيع الأرقام.
رمزها هو σ (الحرف اليوناني سيجما)
σ = [(Σi (yi – ȳ) ⁄ n] ½ = [(Σ i yi 2 ⁄ n) – ȳ 2] ½
يتم تعريف الاختلاف بصيغة جذر التربيع له، وللوصول إلى المعادلة، يجب إجراء بعض التعريفات أولًا
التباين
يتم تعريف التباين على النحو التالي: بأنه متوسط الفروق المربعة من المتوسط.
ويساعد اختلاف القيم في تحديد انتشار البيانات عند مقارنتها بالمتوسط، وكلما زاد الاختلاف حدث تباين أكبر في القيم، وقد تكون هناك فجوة أكبر بين قيمة بيانات وأخرى، إذا كانت جميع قيم البيانات متقاربة فسيكون الاختلاف أصغر، مما يصعب فهم هذا أكثر من الحساب بالانحراف المعياري، لأن هذه الاختلافات تمثل نتيجة تربيعية قد لا يتم التعبير عنها بشكل معنوي على نفس الرسم البياني للبيانات الأصلية.
كيفية حساب التباين
اتبع الخطوات التالية:
احسب الوسط (المتوسط البسيط للأرقام)
ثم لكل رقم: يتضمن الحل الحسابي لطرح الوسيط وتربيع النتيجة.
ثم احسب متوسط تلك الاختلافات المربعة.
مثال عن الانحراف المعياري
ومع ذلك، إذا كانت البيانات عينة (أي مأخوذة من عددأكبر من السكان)، فإن الحساب يتغير عندما يكون لديك قيم بيانات “N”، وهي:
السكان: عند حساب التباين، يتم القسمة على N كما فعلنا
عينة: اقسم على N-1 عند حساب التباين
يتم الاحتفاظ بجميع الحسابات الأخرى كما هي، بما في ذلك طريقة حساب المتوسط.
تباين العينة = 108،520 / 4 = 27،130
نموذج الانحراف المعياري = √27،130 = 165 (إلى أقرب مم)
عندما تكون بياناتك مجرد عينة، فكِّر فيها على أنها بحاجة إلى “تصحيح.
الصيغ
فيما يلي الصيغتان الموضحتان في صيغة الانحراف المعياري إذا كنت تريد معرفة المزيد
“الانحراف المعياري السكاني”:
تمثل الجذر التربيعي لـ [(1 / N) مجموع Sigma i = 1 إلى N من (xi – mu) ^ 2
“نموذج الانحراف المعياري”: الجذر التربيعي لـ [(1 / (N-1)) مرات مجموع مربّعات الانحرافات المعيارية (xi – xbar) للأعداد N]
تبدو معقدة، ولكن التغيير المهم هو
يستخدم القسمة على N-1 (بدلاً من N) عند حساب تباين العينة.
لماذا تربيع الفروق
إذا جمعنا فقط الاختلافات عن المتوسط فإن السلبيات تلغي الإيجابيات:
لماذا يساوي الانحراف المعياري 4 + 4 – 4 – 44 = 0؟
لذلك، لن يعمل. ماذا عن استخدام القيم المطلقة؟
لِمَاذَا الانحراف المعياري لمجموع (|4| + |4| + |-4| + |-4|) يساوي 4؟
يبدو ذلك جيدًا (وهو متوسط الانحراف)، ولكن ماذا عن هذه الحالة:
ما السبب وراء الانحراف المعياري لـ | 7 | + | 1 | + | −6 | + | −2 | 4 = 7 + 1 + 6 + 24 = 4؟
يمكن أن تعطي قيمة 4 رغم انتشار الفروق أكثر.
لذا دعونا نحاول تربيع كل فرق (وأخذ الجذر التربيعي في النهاية):
تساوي الانحراف المعياري لـ √(42 + 42 + 42 + 424) 4
لماذا يكون الانحراف المعياري لـ √ (72 + 12 + 62 + 224) = √ (904) = 4.74 …؟
يزيد الانحراف المعياري عندما تتفاوت القيم أكثر مما نرغب فيه.
في الواقع، هذه الطريقة تشبه فكرة حساب المسافة بين النقاط، لكن يتم تطبيقها بطريقة مختلفة.
يعتبر استخدام الجبر على المربعات والجذور المربعة بديلاً ميسرًا للاستخدام من القيم المطلقة، مما يجعل استخدام الانحراف المعياري أسهل في مجالات أخرى من الرياضيات.
ما هي مقاييس التشتت
تشير معايير الانتشار إلى تشتت البيانات، وتعد درجة الانتشار هي فرق القيم في التوزيع عن المتوسط، كما تعطينا فكرة عن اختلاف العناصر الفردية عن بعضها البعض وعن القيمة المركزية .
المدى الربيعي (IQR)
يوضح أين يقع الجزء الأكبر من البيانات (منتصف الخمسين في المائة).
المدى المتبادل
الفرق بين العشر الأول (10٪) والعشر الأخير (90٪).
النطاق
الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.
الفرق أو الاختلاف في الوسائل
يُستخدم لقياس الفرق المطلق بين متوسط قيمة مجموعتين مختلفتين في التجارب السريرية.
الأرباع الربعية
تم تقسيم البيانات إلى أربعة أرباع (الربع الأول والثاني والثالث والرابع) باستخدام الأرقام.
في بعض العمليات مثل التصنيع أو القياس، يترتب التشتت المنخفض على دقة عالية، بينما يترتب التشتت العالي على دقة منخفضة.
خصائص المقياس الجيد للتشتت
- يجب أن تكون الأمور سهلة الحساب وفهمها بسهولة.
- يجب أن يستند إلى جميع ملاحظات الحلقة.
- يجب تعريفها بدقة.
- لا ينبغي أن تتأثر بالقيم المتطرفة.
- لا ينبغي أن تتأثر بتقلبات العينات.
- ينبغي أن يتمكن من الحصول على المزيد من العلاج الرياضي والتحليل الإحصائي.
اهداف حساب قيمة التشتت
- توفر مقاييس التشتت قيمة واحدة لدرجة اتساق أو توزيع متماثل، وتساعد هذه القيمة على مقارنة التوزيعات المختلفة.
- يعني تشتت التباين المنخفض بين المشاهدات والمتوسط الصغير أن المتوسط يمثل بشكل جيد الملاحظات وهو مناسب للغاية.
- تعني القيمة الأعلى للتشتت اختلافًا أكبر بين الملاحظات، وفي هذه الحالة لا يمكن اعتبار المتوسط ممثلًا جيدًا ولا يمكن الاعتمادعليه.
كيف يمكن التحكم في التباين
توفر لنا المقاييس المختلفة للتشتت بيانات حول التباين من زوايا مختلفة، وخاصة في التحليل المالي للأعمال التجارية والطبية. يمكن أن تكون هذه المقاييس للتشتت مفيدة جدا وتطبق في تمارين على المقاييس للتشتت.
توفر مقاييس التشتت أساسًا لتحليل إحصائي متعدد مثل حساب الارتباط، الانحدار، اختبار الفرضية، وما إلى ذلك، ويمكن حساب التشتت باستخدام المدى، وهو أسهل طريقة لقياس التشتت.
يعد استخدام الانحراف المعياري ضروريا جدا لقياس المخاطر المرتبطة بأدوات الاستثمار، حيث يوفر للمستثمرين أساسا رياضيا لاتخاذ قراراتهم المتعلقة بالاستثمار في السوق المالية، ويستخدم هذا المصطلح بشكل شائع في الصفقات المتعلقة بالأسهم وصناديق الاستثمار وصناديق الاستثمار المتداولة وغيرها، ويعطي فكرة عن مدى تشتت البيانات في العينة المدروسة.