خريطة مفاهيم المتجهات في المستوى الاحداثي

تعريف المتجه

المتجه هو كائن هندسي له حجم واتجاه، ويمكن تصوره كقطعة مستقيمة تشير في اتجاه معين، ويكون طول المتجه مقداره والسهم يشير إلى الاتجاه، ويكون الاتجاه من ذيل السهم إلى رأسه .

يتميز المتجهان بالتماثل إذا كانا يتمتعان بنفس الحجم والاتجاه، وذلك يعني أنه في حال قمنا بتحريك أحدهما إلى موضع جديد دون تدويره، فإن المتجه الذي سيتم الحصول عليه سيكون متطابقًا تمامًا مع المتجه الأصلي الذي كان موجودًا في البداية .

تمثل المتجهات القوة والسرعة في اتجاه معين، ويتم الإشارة إليها باستخدام خط غامق مثل “أ” أو “ب”، وخاصةً عند الكتابة باليد .

في الحالات التي لا يمكن الكتابة بخط عريض بسهولة، يقوم الأشخاص أحيانًا بإشارة الاتجاهات باستخدام الأسهم مثل أ → أو ب → أو استخدام علامات أخرى .

يمكننا الإشارة إلى حجم المتجه باستخدام ∥ أ ∥ ∥ أ ∥، بدلاً من استخدام الأسهم، وعند الرغبة في الإشارة إلى العدد ، يمكننا تسميته بالعددية وإشارتها باستخدام خط مائل، كما في أ أو ب .
يوجد استثناء واحد مهم للمتجهات التي لها اتجاه، حيث ترمز ناقلات الصفر باستخدام حروف واضحة 0، وهو المتجه ذو الطول الصفر الذي لا يشير إلى أي اتجاه محدد، وهناك ناقل واحد فقط من الطول الصفر .

العمليات على المتجهات

تم إجراء بحث حول المتجهات في المستوى الإحداثي، حيث يمكننا تحديد بعض العمليات الهندسية على المتجهات بدون الحاجة إلى أي نظام إحداثيات، وذلك باستخدام تعريف الطرح والضرب العددي .

• إضافة نواقل

بناءً على متجهين أ و ب، يمكن تشكيل مجموعتهما أ + ب، ولتحقيق ذلك، نقوم بترجمة المتجه ب بحيث يتم توافق ذيله مع رأس المتجه أ، ثم يتم تحديد المتجه أ + ب بواسطة مقطع الخط الموجه من ذيل أ إلى رأس ب .

إضافة المتجه هي الطريقة التي تجمع فيها القوى والسرعات D، على سبيل المثال: إذا كانت السيارة تسير شمالًا بسرعة 20 ميلا في الساعة ويرمي الطفل شيئًا بسرعة 20 ميلا في الساعة باتجاه أخيه الجالس شرقًا منه في المقعد الخلفي وراء السائق .

في هذه الحالة، ستكون سرعة الجسم في اتجاه الشمال الشرقي، حيث تشكل متجهات السرعة مثلثًا قائمًا، لذلك فإن السرعة الكلية للجسم هي الوتر، وبالتالي فإن سرعة الجسم الإجمالية (أي مقدار متجه السرعة) هي 2√20 ميل في الساعة بالنسبة للأرض .

• إضافة نواقل تحقق خاصيتين مهمتين.

 لا يهم القانون التبادلي الذي ينص على ترتيب الإضافة:
أ + ب = ب + أ

يُعرف هذا القانون أيضًا باسم قانون متوازي الأضلاع، حيث تحدد حواف متوازية الأضلاع أ + ب، وتحدد الحواف الثانوية ب + أ، ولكن كلا الجمعين يساويان نفس القطر من المتوازي الأضلاع .

 يشير القانون الترابطي إلى أن مجموع القوى الثلاثة لا يعتمد على ترتيب المتجهات التي تم إضافتها في البداية:
( أ + ب ) + ج = ( ج + ب ) + أ

• الطرح المتجه

قبل تحديد الطرح، نحدد المتجه -أ، الذي يكون عكس المتجه أ، ويكون بمقدار نفسه، ويشير في الاتجاه المعاكس .

نحدد الطرح على أنه جمع بعكس المتجه:

ب-أ = ب + (-أ)، ويعني ذلك تحويل المتجه (أ) باستخدام قواعد الجمع المذكورة أعلاه .

المستوى الاحداثي

يتكون مستوى الإحداثيات من خطي أرقام متعامدين وعادة ما يكون رقم السطر الأفقي والخط العمودي عدد ؛ حيث يتم استخدام خط الأعداد الأفقي ويسمى محور س ، وخط الأعداد الرأسي يسمى المحور الصادي ، وذلك وفقا لتصميم خرائط مفاهيم .

يتقاطع المحوران في نقطة تسمى الأصل، ويمكن تحديد أي نقطة على مستوى الإحداثيات باستخدام زوج مرتب من الأرقام (س، ص)، وتسمى هذه النقطة بالإحداثيات .

المتجهات في مستوى الإحداثيات

تشير هذه الجملة إلى مفهوم المتجهات في المستوى، حيث يمثل المتجه المستقيمة الموجهة في المستوى، وهذا محدد في هذا الموقع كما هو الحال في أي مستوى آخر .

في المستوى الإحداثي، يتم تعريف كل متجه بنقاطه الأولية والنهائية، وتكون إحداثيات النقاط P و Q في المستوى الإحداثي مع المتجه المتصل بين النقاط الأولية والنهائية .

بمعنى آخر، x1 و x2 هما إحداثيات x للنقطتين P و Q، بينما y1 و y2 هما إحداثيات y .

• لنفس النقاط

تُسمى الأرقام x2 – x1 و y2 – y1 إسقاطات المتجه في مستوى الإحداثيات، ويتم رسم خط على التوالي PR بالتوازي مع ax وعلى التوالي مع خط QR بالتوازي مع ax، مع نقطة تقاطع R .

(1)

(2)

المثلث PRQ هو مثلث أيمن، وطول ساقه PR يساوي x2-x1، بينما طول ساقه RQ يساوي y2-y1، وبالتالي فإن طول المتجه PQ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات إسقاطاته، وفقًا لنظرية فيثاغورث .

(3)

بالنسبة لاتجاه المتجه PQ، فإن الخط المستقيم الذي يحويه لديه ميل يصنع زاوية حادة مع محور الإحداثيات x، ويمكن للمتجه PQ أن يتجه في اتجاه واحد أو الاتجاه المعاكس على طول هذا الخط المستقيم .

لتحديد الزاوية الحقيقية بين ناقلات PQ وس – ax، يجب عليك حساب الزاوية بالطريقة التالية:

أولا: وفقًا للصيغة (2)، يتم التحقق وإجراء التعديلات اللازمة بناءً على علامات المكونين x2 – x1 و y2 – y1 .

• مثال على ذلك

إذا كانت الناقلات في تنسيق الطائرة متساوية (أي لها نفس الطول والاتجاه)، ثم توقعات المحاور س وذ لها قيم متساوية في المقابلة  .

في مستوى الإحداثيات، يتم تمثيل المتجهين PQ و MN بالنقاط الأولية والنهائية P و Q و M و N على التوالي، ويتم رسم خطان متوازيان على التوالي PR و QR بالتوازي مع محوري الـ s والـ z على التوالي، ويتم تحديد نقطة التقاطع R .

ثم نرسم الخط المستقيم MK بالتوازي مع المحور الأفقي x والخط المستقيم NK الموازي للمحور الرأسي y مع نقطة التقاطع K
PRQ وMKN هي المثلثات القائمة لتكون .

نظرًا لأن المتجهين PQ و MN متساويان، فإن المثلثين PRQ و MKN لديهما جوانب متطابقة في PQ و MN، وهو يساوي مجاور الوتر. وبالتالي، فإن الخطوط المقابلة لهذه المثلثات القائمة متطابقة، حيث يساوي PR = Mk و RQ = KN، وهذا ما تم إثباته .

تتساوى المتجهات في تنسيق الطائرة، وبالتالي فإن سجل PQ يعادل PQ بعد إسقاطه، ويحدد المتجه إسقاطاته بشكل فريد من خلال مكوناته x و y، وتحدد الإسقاطات المتجه بطريقة مختلفة باستخدام مكونات المتجه PQ الأخرى، والتي تسمى x- و y- .

يكون سجل PQ = PQ (x2-x1، y2-y1) نفسه، حيث x2-x1 و y2-y1 هما x- و y-، وهما مكونان المتجه PQ، ويُطلق على هذا الشكل الذي يتكون من المتجه PQ اسم المضلع المشكل من المتجه PQ .