حدسية بوانكاريه المستحيلة
تعد حدسية بوانكاريه من أهم المسائل الرياضية التي لم يتمكن أي شخص من حلها لفترة طويلة، وهي واحدة من مسائل الألفية التي يقدمها معهد كلاي للرياضيات، ويتم منح جائزة نقدية قدرها مليون دولار لأي شخص يحل أي من هذه المسائل التي حيرت علماء الرياضيات لعدة قرون، وقد تبرع رجل الأعمال الأمريكي ومؤسس المعهد (لندون كلاي) بهذه الجائزة.
علم الطوبولوجيا
يعتبر علم الطوبولوجيا، المعروف أيضا بعلم البني الهندسية، فرعا مهما من فروع الرياضيات. يركز هذا العلم على دراسة الخصائص المختلفة للأشكال عندما يحدث لها تغير مستمر دون تغير في محتواها الأساسي، ولكن تؤدي هذه التغيرات إلى إعادة تشكيلها. على سبيل المثال، إذا كان لدينا حبل بطول متر واحد، يمكن أن ينثني يسارا أو يمينا، ولكن مكونات الحبل الداخلية وطوله لن يتغيرا.
إذا قلنا إن هناك جسمين متساويان طوبولوجياً فهذا الأمر يعني أننا إذا قمنا بتشكيل الجسم الأول بطريقة معينة سنحصل على الجسم الثاني، وإذا قمنا بإحضار قطعة من الصلصال، وقمنا بتشكيلها على شكل كأس ماء، فهذه العملية تسمى التشكيل الطوبولوجي، وهناك العديد من الأمثلة على الأجسام الطوبولوجية، فمثلاً الدائرة والمستقيم هما جسمان طوبولوجيان يتكونان من بعد واحد، والدائرة والمربع من بعدين والكرة والمكعب من ثلاث أبعاد.
يختص الباحث في علم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص الطوبولوجية للأجسام المختلفة عند تحويلها من شكل رياضي معين إلى شكل رياضي آخر.
حدسية بوانكاريه
– بدأت قصة بوانكاريه في عام 1904 عندما قدمها الرياضياتي الفرنسي هنري بوانكاريه، الملقب بـ(أبو علم الطوبولوجيا).
لفهم معضلة هذه الحدسية سوف نطرح السؤال التالي، هل من الممكن أن نستدل على كروية الأرض عن طريق وضع نقطة معينة على سطح الأرض وانطلقنا منها للسير بطريقة مستقيمة ومستمرة إلى أن نصل إلى نفس النقطة التي انطلقنا منها، فإذا قلنا إن الأرض مثلاً على شكل قطعة الدونت أي أنها عبارة عن حلقة مستديرة ومفرغة في الوسط، فإننا سوف نصل إلى نفس النقطة التي انطلقنا منها أيضاً.
إذا قمنا بجلب حبل طويل جدا معنا أثناء الدوران حول الأرض، ومع استمرارنا في المشي نمد معا الحبل إلى أن نصل إلى نفس نقطة الانطلاق وقمنا بربط طرفي الحبل ببعضهم البعض أي أننا قد قمنا بتدوير الحبل حول كوكب الأرض، والآن إذا قمنا بشد الحبل باستمرار، فإن استطعنا سحب الحبل كله وجمعناه مرة أخرى في النقطة التي نقف عليها فهذا يعني أننا نقف على جسم كروي الشكل.
إذا وضعنا جسما على شكل دونات، فلن تستطيع سحب الحبل منه أبدا، ولذلك علينا أن نلاحظ أن سطح الكرة في حد ذاته ثنائي الأبعاد، ولكن إذا كان الفضاء مكونا من أربعة أبعاد مكانية أو إذا كان سطح الكرة ثلاثي الأبعاد، فكيف يمكننا سحب الحبل بنفس الطريقة؟ فعلى الرغم من أننا قد نجد صعوبة في تصور الأشكال في الفراغات ذات الأبعاد العالية، فإن حدس بوانكاريه يشير إلى أن هذه النتيجة صحيحة.
عندما يتأكد العالم من صحة فرضية ما ولكنه يعجز عن إثباتها، فإنه ينشرها كفرضية محتملة ويترك المجال لباقي العلماء لتحقيقها أو دحضها. قد قام العالم فريدمان في عام 1982 بحل هذا اللغز في البعد الرابع، وقد قام العالم زيمان في عام 1961 بحله في البعد الخامس، وقد قام ستالينغ في عام 1962 بحله في البعد السادس، وقد قام سمال في عام 1961 بحله في البعد السابع.
تم حل الحدسية في البعد الثالث بعد أن بقي غير قادرين على حلها لفترة طويلة، وذلك عن طريق العالم الروسي في علم الرياضيات، غريغوري بيريلمان، الذي قام بحلها سنة 2002.