التشتت هو حالة الاختلاف أو الانتشار، ويعني التشتت الإحصائي مدىاحتمالية اختلاف البيانات العددية حول المتوسط، وبعبارة أخرى، يساعد التشتت على فهم توزيع البيانات.
تعتبر مقاييس التشتت مهمة لأنها تساعد في فهم مدى انتشار البيانات واختلافها حول القيمة المركزية. يمكن حساب التشتت باستخدام مقاييس مختلفة مثل المتوسط والانحراف المعياري والتباين .
ما هو التشتت
التشتت في علم الإحصاء يعد وسيلة لوصف انتشار مجموعة من البيانات، حيث يتم تفريق القيم في المجموعة على نطاق واسع عندما تكون قيم المجموعة كبيرة، وعندما تكون العناصر صغيرة في المجموعة، تكون منسجمة تماما. وبشكل أساسي، تكون قيمة هذه المجموعة من البيانات صغيرة
1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 3 ، 4
وهذه المجموعة لها مجموعة أوسع:
0 ، 1 ، 20 ، 30 ، 40 ، 100
يمكن وصف انتشار مجموعة البيانات من خلال مجموعة من الإحصاءات الوصفية التي تشمل التباين والانحراف المعياري والمدى الرباعي .
أنواع مقاييس التشتت
هناك نوعان رئيسيان من طرق التشتت في الإحصائيات وهما:
- المقياس المطلق للتشتت .
- المقياس النسبي للتشتت .
معامل التشتت
يتم استخدام معامل التشتت لحساب تشتت البيانات عند مقارنة سلسلتين تختلفان بشكل كبير في متوسطاتهما، حيث يتم استخدام مقياس التشتت لهذا الغرض ويشار إليه بـ (C.D) عند مقارنة سلسلتين بوحدة قياس مختلفة.
خصائص مقاييس التشتت
- يجب تحديد مقياس التشتت بدقة .
- يجب أن يكون من السهل حسابه وفهمه .
- لا يتأثر كثيرًا بتقلبات الملاحظات .
- بناء على جميع الملاحظات .
تصنيف مقاييس التشتت
يتم تصنيف مقياس التشتت على النحو التالي:
مقياس مطلق للتشتت (ط)
تتضمن التدابير التي تعبر عن تشتت الملاحظة من حيث المسافات، مثل المدى والانحراف الربعي.
المقياس الذي يعبر عن الاختلافات في متوسط الانحرافات بين الملاحظات هو متوسط الانحراف والانحراف المعياري.
مقياس نسبي للتشتت
يتم استخدام مقياس نسبي للتشتت لمقارنة توزيعات مجموعات البيانات ولمقارنة الوحدة المجانية، ويشمل هذا المقياس معامل النطاق ومعامل الانحراف المتوسط ومعامل الانحراف الرباعي ومعامل التباين ومعامل الانحراف المعياري.
مقاييس التشتت الشائعة الاستخدام
يظهر مقياس التشتت تشتت البيانات، ويوضح تنوع البيانات بين بعضها البعض ويعطي فكرة واضحة عن توزيع البيانات، ويظهر مقياس التشتت التجانس أو عدم التجانس في توزيع الملاحظات.
الفكرة الرئيسية حول مقياس التشتت هي معرفة كيفية انتشار البيانات ، يوضح مدى اختلاف البيانات عن متوسط قيمتها ، وبالتالي ، لوصف البيانات ، يحتاج المرء إلى معرفة مدى التباين ، هناك أربعة مقاييس شائعة الاستخدام للإشارة إلى التباين (أو التشتت) ضمن مجموعة من المقاييس، وهي: المدى ، الانحراف الربعي ، متوسط الانحراف ، الانحراف المعياري.
المدى
النطاق هو الفاصل الزمني بين أعلى وأدنى قيمة، وهو مقياس لتغير المتغيرات أو الملاحظات داخله، ولكنه لا يعكس انتشار الملاحظات حول القيمة المركزية.
النطاق هو مؤشر للتغير، عندما يكون النطاق أكثر ، تكون المجموعة أكثر تغيرًا ، كلما كان النطاق أصغر ، كانت المجموعة أكثر تجانساً ،النطاق هو المقياس الأكثر شيوعًا لـ “انتشار” أو “مبعثر” الدرجات (أو المقاييس) ، عندما نرغب في إجراء مقارنة تقريبية للتنوع بين مجموعتين أو أكثر ، فقد نحسب النطاق.
Hs هي “أعلى درجة” و Ls هي أدنى درجة.
حساب النطاق (البيانات غير المجمعة) :
مثال 1:
درجات عشرة أولاد في الاختبار هم:
17 و 23 و 30 و 36 و 45 و 51 و 58 و 66 و 72 و 77.
مثال 2:
عشرات الفتيات في الاختبار هم:
48، 49، 51، 52، 55، 57، 50، 59، 61، 62.
في المثال الأول، الدرجة الأعلى 77 نقطة والأقل 17 درجة.
لذا فإن النطاق هو الفرق بين هاتين الدرجات:
النطاق = 77-17 = 60 .
مزايا المدى
- إنه أبسط مقياس للتشتت .
- سهل الحساب .
- سهل الفهم .
- مستقل عن تغيير المنشأ .
عيوب المدى
- تؤثر التقلبات بسبب اعتمادها على ملاحظتين متطرفتين .
- النطاق ليس مقياسًا موثوقًا للتشتت .
- يعتمد على تغيير المقياس .
الانحراف الرباعي
النطاق هو الفاصل الزمني أو المسافة على مقياس القياس الذي يشمل 100٪ من الحالات ، وتعود قيود النطاق إلى الاعتماد على القيمتين المتطرفتين فقط ، وهناك بعض مقاييس التشتت التي تكون مستقلة عن هاتين القيمتين المتطرفتين ، والأكثر شيوعا هو الانحراف الرباعي الذي يعتمد على الفاصل الزمني الذي يحتوي على 50٪ من الحالات في التوزيع .
يشير إلى الانحراف الربعي أو شبه الربعي
س = ½ × (Q3 – Q1)
مزايا الانحراف الرباعي
- يمكن التغلب على جميع عيوب النطاق باستخدام الانحراف الرباعي .
- يستخدم نصف البيانات .
- مستقل عن تغيير المنشأ .
- أفضل مقياس للتشتت في التصنيف المفتوح .
عيوب الانحراف الرباعي
- يتجاهل 50٪ من البيانات .
- يعتمد على تغيير المقياس .
- ليس مقياسًا موثوقًا للتشتت .
الانحراف المتوسط
يتم حساب متوسط الانحراف عن طريق جمع جميع الانحرافات الإيجابية لسلسلة محسوبة من بعض مقاييس النزعة المركزية (الوسط أو الوسيط أو الوضع)، ويطلق عليه متوسط الانحراف، حيث يتم حساب الانحراف عن متوسط التوزيع.
الانحراف المتوسط عن المتوسط A = 1⁄n [∑i | xi – A |]
بالنسبة للتردد المجمع ، يتم حسابه على النحو التالي:
متوسط الانحراف عن المتوسط A = 1⁄N [∑i fi | xi – A |]، N = ∑fi
هنا، xi و fi هما على التوالي المتوسط وتردد الفئة ith.
مزايا الانحراف المتوسط
- بناء على جميع الملاحظات .
- يوفر قيمة منخفضة عند انحراف القيم عن المتوسط .
- مستقل عن تغيير المنشأ .
عيوب الانحراف المتوسط
- لا يمكن فهمه بسهولة .
- حسابها ليس سهلًا ويستغرق وقتا طويلًا .
- يعتمد على تغيير المقياس .
الانحراف المعياري أو S.D. والتباين
الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب لمربعات الانحرافات القيم المعطاة عن المتوسط الحسابي الخاص بها، ويشار إليه بالحرف اليوناني سيجما (σ)، ويطلق عليه أيضًا مصطلح متوسط الانحراف التربيعي.
من بين العديد من مقاييس التشتت، يُعتبر المقياس الأكثر استخدامًا “الانحراف المعياري” والأهم لأنه المقياس الوحيد للتشتت القابل للمعالجة الجبرية.
في هذا القياس، يتم مراعاة انحرافات جميع القيم عن المتوسط، ويتميز هذا المقياس بأنه يتجاوز العقبات القليلة ويوفر نتائج دقيقة، ويتجاوز نقصًا في تجاهل الإشارات الجبرية أثناء حساب انحرافات العناصر عن المتوسط، وبدلاً من ذلك، يتم تربيع الانحرافات، مما يجعلها جميعًا إيجابية.
تمارين على مقاييس التشتت
أوجد الفروق والانحراف المعياري للأرقام التالية: 1، 3، 5، 5، 6، 7، 9، 10.
المتوسط = 46/8 = 5.75
الخطوة 1: القيم المعطاة هي (1-5.75)، (3-5.75)، (5-5.75)، (5-5.75)، (6-5.75)، (7-5.75)، (9-5.75)، (10-5.75)
-4.75 ، -2.75 ، -0.75 ، -0.75 ، 0.25 ، 1.25 ، 3.25 ، 4.25
الخطوة 2: يتم تربيع الأرقام التالية: 22.563، 7.563، 0.563، 0.563، 0.063، 1.563، 10.563، و18.063
الخطوة 3: 22.563 + 7.563 + 0.563 + 0.563 + 0.063 + 1.563 + 10.563 + 18.063
= 61.504
الخطوة 4: ن = 8، وبالتالي التشتت (σ2) = 61.504 / 8 = 7.69 (ثلاث ثواني)
حاليًا، الانحراف المعياري (σ) = 2.77 (3sf)
أحسب تفاوت الأرقام 3 ، 8 ، 6 ، 10 ، 12 ، 9 ، 11 ، 10 ، 12 ، 7.
سوف يكون التباين في الأرقام التالية 7.36.
مثال على مقاييس التشتت
فلنفترض أنه طلب منك مقارنة معايير التشتت لمجموعتي البيانات، حيث تحتوي مجموعة البيانات أ على العناصر 97، 98، 99، 100، 101، 102، 103، وتحتوي مجموعة البيانات بي على العناصر 70، 80، 90، 100، 110، 120، 130. من خلال النظر إلى مجموعات البيانات، فمن المحتمل أن تلاحظ أن القيم المتوسطة والوسيطية هي نفسها (100)، والتي تسمى تقنيا “معايير الاتجاه المركزي” في الإحصاء.
، عند المقارنة بين مجموعة البيانات A (6) ومجموعة البيانات B (60)، يتضح أن النطاق (الذي يمثل انتشار المجموعة بأكملها) لمجموعة البيانات B أكبر بكثير. فعلى سبيل المثال، ستكون جميع مقاييس التشتت تقريبا أكبر بعشر مرات لمجموعة البيانات B، وهذا أمر متوقع نظرا لاختلاف النطاق بنسبة عشرة أضعاف. يمكن أن نستنتج أن مجموعة البيانات B تتمتع بتشتت أكبر بكثير. لنلق نظرة على الانحرافات المعيارية للمجموعتين
الانحراف المعياري لـ A: 2.160246899469287.
الانحراف المعياري لـ B: 21.602468994692867.
الرقم لمجموعة البيانات B هو عشرة مرات الرقم A بالضبط.