تمارين حول حجم الأسطوانة

حجم الأسطوانة

الأسطوانة هي هيكل ثلاثي الأبعاد لها قاعدة دائرية، ويمكن اعتبار الأسطوانة عبارة عن مجموعة دائرية من الأقراص المكدسة فوق بعضها، فلنتخيل وجود صندوق أسطواني لتخزين السكر، كيف يمكننا حساب كمية السكر التي نحتاجها لملء هذه الأسطوانة؟ ولتحديد ذلك، يجب أن نعرف سعة أو حجم الأسطوانة، فسعتها هي حجمها، وبالتالي يعتبر حجم الهيكل ثلاثي الأبعاد مساويا لمقدار المساحة التي يشغلها الهيكل .

الأسطوانة هي مجموعة من الأقراص المتعددة والمتطابقة والتي تتكدس فوق بعضها البعض ولكي نحسب المساحة التي تشغلها نقوم بحساب المساحة التي يشغلها كل قرص ثم نقوم بجمعهم سويًا وحجمها عبارة عن كثافة الأسطوانة التي تعني كمية المادة التي تستطيع حملها أو مقدار أي مادة يمكن غمرها فيها ويمكن أن تكون المادة سائلة مثلًا وهنا يمكن القول أننا نستطيع تحديد حجم الأسطوانة عن طريق حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع وهي الصيغة الرياضية  πr^2h والتي تعني :

• r هو نصف قطر القاعدة الدائرية = نق
• h هو ارتفاع الأسطوانة.
• باي .

حيث يمكن القول أن في الأسطوانة نق هو “r” وارتفاعها هو “h” وهنا سوف يكون الحجم عبارة عن حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع أي = منطقة القاعدة × ارتفاع الاسطوانة والقاعدة هنا هي الدائرة فسون يكون الحجم على هيئة المعادلة  = πr^2 × h إذن حجم الأسطوانة = πr^2h من الوحدات المكعبة. ،

حجم الاسطوانة المجوفة

فيما يتعلق بقياس حجم الأسطوانة المجوفة، نقوم بقياس نصفي القطرين للدوائر المحيطة، حيث يكون أحدهما نصف قطر الدائرة الداخلية والآخر نصف قطر الدائرة الخارجية التي تشكل قاعدة الأسطوانة المجوفة. لذلك، نقوم بتعريف نصف قطري الأسطوانة المجوفة بأنهما r1 و r2 بارتفاع h. في هذه الحالة، نحسب حجم الأسطوانة المجوفة باستخدام القانون التالي: (V = πh (r1^2 – r2^

مساحة سطح الاسطوانة

يمكن وصف مساحة سطح الأسطوانة على أنها كمية من الوحدات المربعة التي تغطي سطح الأسطوانة، ويمكن حساب مساحة سطح الأسطوانة عن طريق جمع مساحة سطح قاعدتي الأسطوانة مع مساحة جوانبها، ويتم التعبير عن ذلك في المعادلة التالتالية:

A = 2πr^2 + 2πrh

يجب أن نلاحظ الوحدات المستخدمة في هذه المسألة وكيفية التحويل بينها. لحساب حجم الأسطوانة باللتر عندما تكون المعطيات بالسنتيمتر المكعب، يجب تحويل القيمة عن طريق معرفة أن 1 لتر يساوي 1000 سم مكعب. وكمثال لعملية التحويل، إذا كان حجم الأنبوب الأسطواني هو 12 لترا، فإننا نقوم بكتابة الحجم بالشكل التالي: 12 × 1000 سم مكعب = 12000 سم مكعب

تمارين على حجم الأسطوانة

التمرين الأول : احسب حجم أسطوانة ذات ارتفاع 20 سم ونصف قطر قاعدتها 14 سم، وعلما بأن باي = pi = 22/7

الحل : المعطيات هي :

• الارتفاع = 20 سم
• نصف القطر أو نق = 14 سم

ـ ومن معادلة حساب حجم الأسطوانة التي تقول إن حجمها (V) = πr^2h وحدات مكعبة

حجم أذن الحل = v = (22/7) × 14 × 14 × 20

V = 12320 سم 3

إذن حجم الأسطوانة = 12320 سم مكعب

التمرين الثاني : احسب نصف قطر الدائرة العرضية لقاعدة وعاء اسطواني حجمه 440 سم3، علما بأن ارتفاع الحاوية الأسطوانية هو 35 سم وأن باي = pi = 22/7

الحل : المعطيات :

• الحجم = 440 سم مكعب
• الارتفاع = 35 سم

نعلم بالفعل من صيغة حجم الأسطوانة أن الحجم يساوي V = πr^2h بالوحدات المكعبة

عند استخدام القيم المعطاة في المعادلة، نجد أن 440 يساوي (22/7) × r^2 × 35

ثم يتم حساب r^2 = (440 × 7) / (22 × 35) = 3080/770 = 4

لذلك  r = 2 سم

إذن نصف قطر الأسطوانة = 2 سم.

التمرين الثالث : احسب حجم الأسطوانة التي يبلغ نصف قطرها 88 سم ويبلغ ارتفاعها 15 سم .

الحل : المعطيات

• الارتفاع = 15 سم
• نصف القطر أو نق = 8 سم

نحن نعرف بالفعل صيغة حجم الأسطوانة V = πr^2h بالوحدات المكعبة، لذلك سنقوم بتعويض القيم وسنجد أن

V = π (64) (15) ≈3016

يتبين من هذه المعادلة أن حجم الأسطوانة يقدر بحوالي 30163016 سم مكعب.

شرح تمرين عن حساب حجم الأسطوانة

في أسطوانة خاصة بالمناشف الورقية، أوضح كيفية حساب حجم الأسطوانة بالتقريب لأقرب جزء من المائة إذا كان الارتفاع يبلغ 30 سم، وقطر الأسطوانة الكبيرة يبلغ 16 سم، وقطر الأسطوانة الصغيرة الموجودة داخلها يبلغ 4 سم .

الحل :

يأتي لفاف المناشف الورقية على شكل أسطوانة فارغة من المناشف، وبالتالي مركزها مجوف، ويتم إدخال حامل المناشف الورقية داخلها. يمكن حساب حجم الأسطوانة بتحديد حجم الأسطوانة الكبيرة أولا، ثم طرح حجم الأسطوانة الصغيرة الموجودة داخلها لإيجاد حجم الأسطوانة الكلي، وهو الحجم الذي يحتوي على المناشف الورقية .

وحجم الأسطوانة يساوي مساحة القاعدة في الارتفاع أي ح = م × ف وهنا نلاحظ أن قاعدة الأسطوانة تكون دائرية الحجم لذا نقوم بتبديل نق ‏𝜋 تربيع بدلًا من م ونق يعبر عن نصف قطر الدائرة .

لحساب حجم أسطوانة المناشف الورقية، يتم طرح حجم الأسطوانة الصغرى من حجم الأسطوانة الكبرى، وهذا يعني أنه يجب تحديد نصف القطر والارتفاع لكل منهما بشكل منفصل .

‏‎ومن المعطيات نجد أن :

• ارتفاع الأسطوانة الكبيرة هو ٣٠ سم .
• يبلغ قطر الأسطوانة الكبيرة 16 سم (وهو أعرض خط يمكن أن يمر عبر الدائرة ويمر في مركزها، ومحيطها مار بالمركز) .
• نصف القطر هو خط ممتد من مركز الدائرة حتى نقطة على محيطها، وطوله يساوي نصف طول القطر، لذا يتم حساب نصف القطر عن طريق قسمة طول القطر على اثنين. في الأسطوانة الكبرى، يساوي نصف القطر 8 حيث يتم قسم طول القطر على 2 للحصول على هذا الرقم. لذلك، نق = 8 .
• ارتفاع الأسطوانة الصغرى هو ٣٠ سم .
• تتميز الأسطوانة الصغيرة بعدم وضوح النق عليها، ولكن يمكن حساب طول النق بتقسيم قطر الأسطوانة على النصف، أي أن النق يساوي نصف قطر الأسطوانة، وبالتالي النق يساوي 2 سم .

بعد تحديد البيانات، نعود إلى المعادلة ونقوم بتعويض المجهول فيها، ولتسهيل العملية نقوم بتربيع الأعداد في الأسطوانتين، أي ٨^٢ = ٦٤، و ٢^٢ = ٢

والمعادلة هي : v = πr^2h أي ح = باي × نق^٢ × ف

بالتعويض في المعادلة نجد أن : حجم الأسطوانة الكبيرة ح١ = ٦٤ × ٣٠ × باي = ١٩٢٠ باي

حجم الأسطوانة الصغيرة = ط × 4 × 30 = 120 ط

لحساب حجم أسطوانة المناشف الورقية بدون الأسطوانة المجوفة، يتم طرح ح٢ من ح١، أي حجم الأسطوانة = 1920 باي – 120 باي = 1800 باي .

فالناتج هنا هو حجم الأسطوانة يساوي ١٨٠٠ باي ولكن يجب إيجاد الناتج بعد تقريبه لأقرب جزء مم المائة وفي هذه الحالة نقوم بضرب ١٨٠٠ × باي ثم تقريب الناتج الظاهر لأقرب رقمين عشريين وفي هذا التمرين نجد أن الناتج هو  ٥٦٥٤٫٨٦٦٧٧٧ وعند تقريبه نلاحظ الرقم الموجود على يمين أول رقم بعد العلامة العشرية وإذا كان الرقم خمسة أو أكبر نقربه إلى الرقم الأعلى منه وهكذا .

ينتج عن هذا التمرين حجم أسطوانة المناشف الورقية اللازمة وهو ٥٦٥٤.٨٧ سم مكعب .