تعريف دوال كثيرات الحدود وخصائصها

تعريف الدالة كثيرة الحدود

عند إجراء بحث حول الحدود الكثيرة، يمكن العثور على تعبيرات جبرية يتم إنشاؤها باستخدام الإضافة والطرح للمصطلحات التي تحتوي على متغيرات أحادية الحدود أو أكثر، مثل 3x^2، حيث تكون الأسس فيها أعدادا صحيحة فقط. والدوال هي نوع معين من العلاقات، حيث تعطي قيمة إخراج واحدة فقط لكل قيمة إدخال، وتتكون من مصطلحين جبريين أو أكثر، ويكون دائما مجموع المصطلحات التي تحتوي على قوى مختلفة للمتغيرات. وتستخدم الدوال كثيرا في حياتنا.

تُبنى كثيرات الحدود عن طريق عمليات الطرح والضرب والجمع، بالإضافة إلى الأسس الصحيحة غير السالبة، مثلاً   x²-4x+7 تعتبر متعددة الحدود ونطلق عليها اسم الدالة التربيعية، بينما x²-4/x+7x^3/2 فهذه الدالة ليست متعددة الحدود لأن الحد الثاني يتضمن قسمة على المتغير x، ولوجود حد يحتوي على أس ليس بعدد صحيح وهو 3/2.

يمكن استنتاج أن كثيرة الحدود هي دالة رياضية بسيطة أو تركيب جبري، حيث لا يحتوي على عمليات سوى الضرب والجمع، ويمكن التعديل عليه بلا نهاية، بالإضافة إلى أنه يحتوي على مشتقات من جميع الرتب في جميع النقاط.

الخصائص العامة لكثيرات الحدود

• يعبر المتغير الأحادي عن النموذج بواسطة عدد صحيح ثابت وغير سالب، وهو ثابت يمكن أن يكون على سبيل المثال عددًا صحيحًا أو منطقيًا أو حقيقيًا أو معقدًا.
• الحد الكبير هو مجموعة كبيرة جدًا من العبارات الأحادية، ويعني ذلك أنها تمثل نموذجًا. وإذا كانت اثنتان أو ثلاثة فقط من هذه العبارات غير الصفرية، يمكن تسميتها بالحد الثنائي أو الثلاثي على التوالي.
• الثوابت هي معاملات كثيرة الحدود، فهي تشير إلى مجموعة معاملات الحدود مع المجموعة، ومثلاً يمكننا القول إنها مجموعة متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
• يُطلق على الأس درجة كثيرة الحدود ويُرمز إليها على وجه الخصوص، تُسمى كثيرات الحدود من الدرجة الأولى والثانية والثالثة الخطية والتربيعية والمكعبية، فإن كثير الحدود الثابت الغير الصفري له درجة 0 ، بينما يتم تعيين كثير الحدود الصفري الدرجة لأسباب أخرى. مثال f (x)=x³(x+1)+x، g(x)=2x⁴-x³-2x²+1  فهذا المثال يعتبر  كثير الحدود مع معاملات عدد صحيح من الدرجة 4، أما f(x)=0x²-2^1/2+3   فهو كثير حدود خطي مع معاملات حقيقية.
• يُمكن إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب بين أي اثنين من الكثيرات الحدود، وسيكون الناتج كثيرة الحدود.

جذور التوابع كثيرة الحدود

نذكر أنه عندما يكون (x – a) (x – b) = 0، فإننا نعلم أن a و b هما جذران للدالة f(x) = (x – a) (x – b)، ولكن الآن يمكننا استخدام العكس والقول إنه إذا كانت a و b جذورا، فيجب أن تكون الدالة الكثيرية الحدود مع هذه الجذور هي المعادلة f(x) = (x – a) (x – b) أو مضاعفة لها.

أمثلة على جذور التوابع كثيرة الحدود

مثال1: إذا كانت للمعادلة التربيعية جذور x = 3 و x = -2.

• فيجب أن تكون الدالة (f(x)=(x-3) (x+2
• يمكن تعريف الدالة بمضاعف ثابت وتمديد ذلك لحدود كثيرة، بما في ذلك الجذور كثيرة الحدود مثل x=1، x=2، x=3، x=4، حيث يجب أن تأخذ الدالة هذه الصيغة: f(x)=(x-1) (x-2) (x-3) (x-4) أو بمضاعف ثابت .
• دعونا نتأمل أيضاً هذه المعادلة f (x) = (x – 2)² يمكننا أن نرى على الفور أن x – 2 = 0 ، بحيث x = 2، فإن لهذه الدالة  جذر واحد فقط هذا ما نسميه الجذر المتكرر، ويمكن تكرار الجذر بأي عدد من المرات.

مثال2:  f (x) = (x – 2)³(x+4).

• نجد أن المعادلة لها جذر متكرر x = 2 وجذر آخر متكرر x = -4، ويمكننا القول إن جذر x = 2 له تكرار 3 مرات وجذر x = -4 له تكرار 4 مرات.
• الأمر المفيد في معرفة تعدد الجذر هو أنه يساعدنا في رسم الرسم البياني للدالة، فإذا كان تعدد الجذر فرديا، فإن الرسم البياني يقاطع محور الأفق (x) عند النقطة (x, 0)، ولكن إذا كان التعدد مزدوجا، فحينئذ يلامس الرسم البياني محور الأفق (x) في زاوية النقطة (x, 0).

مثال3: فإن الدالة: f(x)= (x-3)²(x+1)⁵(x-2)³(x+2)⁴

•  الجذر x = 3 له ضعفية 2، لذلك يلامس الرسم البياني المحور x عند (3،0)
•  للجذر x = 1 خمسة تعددات، لذا يتقاطع الرسم البياني للمعادلة مع محور x في (1,0)
•  الجذر x = 2 له ثلاثة تقاطعات، لذا يتقاطع الرسم البياني مع محور x عند (2,0)
•  جذر x = −2 له 4 أضعاف، لذا فإن الرسم البياني يلامس المحور x عند (-2, 0)

مثال4: افترض أن لدينا الدالة  (f(x)=(x-2)² (x+1

• نستطيع أن نرى أن أكبر قوة لـ x هي 3، وبالتالي فإن الدالة تكعيبية، وكمعامل x³ موجب يجب أن يزيد المنحنى بشكل عام إلى اليمين والنقصان إلى اليسار.
•  يمكن ملاحظة أن جذري الدالة هما x=2 و x=-1، ونظرًا لتعدد جذر x=2، فإن المنحنى يلامس المحور x فقط في هذا النقطة، بينما يتقاطع المنحنى مع المحور x في x=-1 لأنها لها تعدد فردي، وهذه هي الخطوات اللازمة لرسم الرسم البياني وفهم الدوال.

تحليل كثيرات الحدود

• نستطيع تحليل دوال كثيرات الحدود عن طريق أخذ العامل المشترك فمثلاً، 15x³+5x²+25x فنلاحظ هنا أن العامل المشترك الأكبر يكون 5x، ولهذ تقسم الحدود جميعها على هذا المقدار، فيصبح الناتج كالتالي 3x²+x+5.
• ويمكن تحليل أيضاً كثيرات الحدود عن طريق استخدام الفرق بين مربعين، حيث نكتب العبارة التربيعية بصورة أس ax²+bx+c بحيث أن a لا تساوي الصفر، ومنه إذا كانت a =1 وكان هناك عبارة تربيعية x²+bx+c فإنه عندما نحللها إلى عواملها يكون الناتج (x²+bx+c=(x-d)(x-h بحيث  d+h=b & d.h=c.
• يمكننا أيضًا تحليل الحدود المتعددة باستخدام عملية التجميع، وذلك عندما لا يوجد عامل مشترك بين جميع الحدود، وإنما يوجد عامل مشترك بين حدودين أو أكثر، ولكنه ليس بين كل الحدود، ولذلك نقوم بتجميع الحدود التي تحتوي على العامل المشترك ونأخذ العامل المشترك بنفس الطريقة.

تصنيف كثيرات الحدود من حيث الدرجة

يتم تصنيف الدوال اللوغاريتمية بناءً على قيمة الأس في المتغير، ويتم تصنيفها حسب الدرجة، ويمكن أيضًا تصنيفها بمجموع قيم أسس المتغيرات المشاركة فيها، شريطة وجود أكثر من متغير واحد.

في حال إذا وضعنا f(x)=ax⁰  بحيث a لا تساوي الصفر فتسمى الدالة الثابتة، أما عندما يكون 0a= الصفر نسمي هذه الدالة بالدالة الصفرية، وفي حالةa=1 نسميها كثيرة الحدود الواحدية.

تتميز دوال الحدود الكثيرة بالدرجة الأولى بالخطية، والدرجة الثانية بالتربيعية، وإذا كانت الدوال الحدودية من الدرجة الثالثة، فإننا نسميها دوال تكعيبية.

الشرط العددي لكثيرات الحدود

تشتهر أصفار كثيرات الحدود ذات الدرجة العالية بأنها حساسة للتغيرات في المعامِلات، مما يتسبب في حدوث مشكلات لبرامج البحث الصفرية المتاحة، فيجب أن نعتمد على تمثيل كثير الحدود لحل هذه المشكلة، نقوم أولاً بتوسيع التوصيف الجبري لمجموعات الأصفار الزائفة متعددة الحدود من أساس القوة إلى القواعد العامة، ثم نوضح أنه بالنسبة إلى كثير الحدود، ترتبط الشروط العددية لقيمها وأصفارها ارتباطًا وثيقًا، و تكشف قواعد Taylor و Chebyshev و Bernstein أن التمثيل المناسب لكثيرات الحدود يؤدي إلى ظهور أصفار محلية جيدة التكييف، مما يؤدي بعد ذلك إلى خوارزمية صقل متكررة تجمع بين الصياغة الرمزية والأرقام المعالجة لتقليل الأخطاء الحسابية للأصفار كثيرة الحدود الموجودة.