تعريف خاصية التعدي وانواعها بالأمثلة

تعريف المجموعات

المجموعة هي مجموعة من العناصر وتسمى أيضًا عناصر المجموعة، ويتم تعبير عن عناصر المجموعة باستخدام الرمز € ويسمى “ينتمي إلى”، على سبيل المثال إذا كانت س مجموعة وص أحد عناصر المجموعة، فإننا نقول أن ص ينتمي إلى س (ص € س)، وإذا كان ص ليس أحد عناصر س، فإن ص لا ينتمي إلى س (ص ∉ س).

وتوجد طريقتين للتعبير عن المجموعات في الرياضيات:

الأولى: يتم استخدام قوسين معقوفين وكتابة عناصر المجموعة بينهما ووضع علامة فاصلة بين كل عنصر وآخر، على سبيل المثال {1، 2، 3} هي مجموعة عناصرها 1 و2 و3 .

يتم التعبير عن المجموعة من خلال الصفة المميزة، على سبيل المثال، المجموعة الأصلية الأربعة الاتجاهات، وتتألف عناصر تلك المجموعة من الشرق والغرب والشمال والجنوب

يمكن التعبير عن المجموعة الفارغة باستخدام الرمز ∅ أو {}، وتعتبر المجموعة الفارغة هي المجموعة الفريدة التي لا تحتوي على أي عناصر، وتسمى بـ “فاي.

تحتوي المجموعة المفردة على عنصر واحد فقط، على سبيل المثال، {a} و {∅} و {{a}} هي جميعًا مجموعات فردية (حيث يكون العنصر الوحيد في المجموعة {{a}} هو {a})

العمليات على المجموعات

يمكن إجراء عدد من العمليات على المجموعات منها  :

يشار إلى الاتحاد بالرمز ᵁ، ويتم جمع جميع العناصر غير المتشابهة معًا في الاتحاد لتشكيل مجموعة جديدة

على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة أ = {1،2} والمجموعة ب = {2،3،4}، فقم بحساب ناتج اتحاد المجموعتين.

أ  ᵁ ب= {1،2،3،4}.

التقاطع

عند تقاطع مجموعتين، يكون الناتج هو جميع العناصر المشتركة بين المجموعتين فقط .

مثال:

على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة أ = {1،2} والمجموعة ب = {2،3،4}، فما هو تقاطع المجموعتين؟.

أ  ∩ ب= {2}.

الفرق بين مجموعتين

تمثل المجموعة المختلفة بين مجموعتين مجموعة العناصر الموجودة في المجموعة الأولى والتي لا توجد في المجموعة الثانية.

مثال : إذا كانت المجموعة أ = { 1، 2، 3، 4 }

المجموعة ب = {1، 3، 4، 5، 6} .

• فإن أ – ب = { 1 ، 2 }
•  ويكون ب – أ = {  6، 5 }

حاصل الضرب الديكارتي

عملية الضرب الديكارتي (أ × ب) هي عملية تتم على مجموعات، حيث يتم تكوين أزواج مرتبة من الأعضاء في كل مجموعة بحيث يكون الأول من الزوج من مجموعة أ، والثاني من الزوج من مجموعة ب، ويتم تجميع هذه الأزواج في مجموعة جديدة.

تُمثّل عملية الضرب في النظام الديكارتي بطرق مختلفة، منها المخطط السهمي، وهي كما هو موضّح في الصورة التالية

في المخطط السهمي أو مخطط التطبيق الأول، تمثل العلاقة باسم تخرج من الشكل الذي يحتوي على عناصر المجال، للشكل الذي يحتوي على عناصر المدى.

تتمثل العلاقة في المخطط العددي على خط الأعداد، حيث يتم بدء الخط بسهم من المجال وينتهي عند المدى، ويمثل الزوج (1، 10) جزءًا من نتيجة الضرب الديكارتي.

يجب مراعاة اتجاه الأسهم عند إجراء حاصل الضرب الديكارتي، وكتابة الأزواج الناتجة بالترتيب، حيث يختلف الزوج (1،2) عن الزوج (2،1).

تعريف العلاقات

العلاقة بين قيم س وص يعبر عنها في صورة زوج مرتب، وتسمى مجموعة قيم س بالمجال وتسمى قيم ص بالمدى، ويمكن عرض تلك العلاقات في عدة صور، إما على خطوط الأعداد أو في صورة جدول أو بالتمثيل البياني.

أنواع العلاقات على المجموعات

العلاقة الثنائية بين مجموعتين أ وب هي مجموعة فرعية من حاصل الضرب الديكارتي أ × ب، وبالتالي فإن العلاقة تتألف من مجموعة من الأزواج.

هناك بعض العلاقات المحددة بين عناصر ، حيث تكون العلاقة:

• إما متعدية
• أو معكوسة
• أو متناظرة
• أو علاقة تكافؤ

لتحديد نوع العلاقة يجب توفر عدة شروط في تلك العلاقة.

تعريف خاصية التعدي وأنواعها

العلاقة ع متعدية على المجموعة أ هي النوع الرابع من أنواع العلاقات، وذلك عندما يتحقق الشرط المحدد

إذا كان الزوج (س، ص) في ع وكذلك (ص، ل) في ع، فإن (ل، س) يجب أن يكون في ع أيضا.

بمعنى آخر، إذا وجدنا عند تمثيل حاصل الضرب الديكارتي خطًا يربط بين نقطتين (س،ص) وخطًا يربط بين ص ول، وخطًا يربط بين ل وس، فإن العلاقة تكون متعدية، أي أنها تتخطى نقطة ص.

أمثلة على خاصية التعدي

مثال 1

إِذَا كَانَتْ أ= { 1، 2، 3، 4 } .

أي العلاقات التالية معرفة تكون متعددة وأيها ليست كذلك:

1- مجموعة العناصر = { (1، 3) ، (3 ، 4 ) ، (2،2) ، (1 ، 4 ) }

2- العلاقة ك = {(1، 3) ، (3، 4) ، (2، 3) }.

الإجابة

العلاقة ع : علاقة متعدية لأنه:

 عند رسمها على خط الأعداد، ستلاحظ وجود سهم من 1 إلى 3 ، ثم سهم من 3 إلى 4 ، ثم سهم من 1 إلى 4 ، وهذا يدل على خاصية التعدي.

الزوج (2،2) يحقق خاصة التعدي.

نستنتج بالتالي أن العلاقة عدائية ومتعدية لأن جميع عناصرها تمتلك خاصية التعدي.

أما العلاقة ك : غير متعدية لأن جميع عناصرها لا تحقق خاصية التعدي، حيث (2، 3) ∈ ك و (3، 4) ∈ ك بينما (2، 4) ∉ ك.

مثال 2

إذا كانت أ = {1، 2 ، 3 ، 4}، فأي العلاقات التالية تعمل على أ وأيهما غير قابلة للتطبيق:

ع = { (1 ، 2 ) ، (2 ، 3 ) ، ( 3 ، 4 ) ، (2،3) ، (2، 4) ، (1، 4) }

المجموعة M = {(1، 2)، (2، 3)، (3، 4)، (2، 4)، (2، 4)}

عند تمثيل العلاقتين على خط الأعداد نجد أنهما سيكونان كالتالي:

إن العلاقة ع متعدية على أ.

العلاقة غير متعدية على أ، حيث أن (1، 2) ∈ م و (2، 4) ∈ م، ولكن (1، 4) ∉ م.

مثال3

إذا كانت أ={1 ، 2 ، 3 ، 4 }

فأي من العلاقات التالية هو معرفة على أ وأيها ليس كذلك

A = {(1، 2)، (2، 3)، (1، 3)، (4، 4)}

المجموعة ك = {(1، 1)، (1، 2)، (2، 1)، (2، 3)، (3، 4)}

الإجابة

العلاقة ع

• هناك علاقة بين 1 و 2 وعلاقة بين 2 و 3، ثم علاقة بين 1 و 3، وبالتالي يمكن تحقيق التعدي على الجزء الأول.
• توجد علاقة بين الأربعة والأربعة، ولا يوجد أزواج آخرين يحتوون على الرقم 4 .
• إذن ع تحقق شروط التعدي .
• إذن ع علاقة متعدية.

العلاقة ك

• هناك علاقة 1:1 وعلاقة 1:2 وعلاقة 1:2، لذلك يمكن أن يحدث التعدي في هذه الأزواج.
• هناك علاقة بين 2 و 3، ثم بين 3 و 4، ولكن لا يوجد علاقة بين 2 و 4، وبالتالي فإن التعدي غير ممكن .
• فإن العلاقة غير متعدية بسبب عدم توفر شروط التعدي.

مثال 4

إذا كانت أ= { 1 ، 2 ، 3 }

فإي العلاقات الأتية معرفة على أ متعدية وأيها ليست متعدية:

مجموعة عبارة عن { (1،1)، (1،2)، (2،1)، (2،2)، (3،3) }

ك = {(1، 1)، (1، 2)، (2، 2)، (2، 3)، (3، 3)}

الإجابة

العلاقة ع

• نجد علاقة من 1 إلى 1، وعلاقة من 1 إلى 2، ثم علاقة من 1 إلى 2، وبالتالي يتحقق أحد شروط التعدي .
• هناك علاقة من 2 إلى 2، وعلاقة من 2 إلى 1، ثم علاقة من 2 إلى 1، مما يشير إلى وجود شرط واحد للتعدي .
• هناك علاقة 3 إلى 3، ولا يوجد زوج آخر به 3 كمسقط أول، وبالتالي يتحقق شرط التعدي
• إذن ع تحقق شروط التعدي .
• إذن ع علاقة متعدية على أ

العلاقة ك

• هناك علاقة بين 1 و2 وعلاقة بين 2 و3، ولكن لا يوجد علاقة بين 1 و3، لذلك لا تتحقق أي شروط للتعدي .
• فإن العلاقة لا تتجاوز المجموعة.