تعتبر المصفوفة من الأساسيات الرياضية حيث تشمل الكثير من العمليات مثل الضرب، القسمة، الطرح والجمع وبعض العمليات الأخرى حيث تساعد في الكثير من الحلول للمعادلات التي تحتوي على أكثر من مجهول ولكن بشروط معينة وعن طريق طريقة الحل يمكن التوصل لقيم المجاهيل بأبسط الخطوات وللمصفوفة أنواع كثيرة جدا تعمل على تسهيل الحل.
ما هي المصفوفة
أثناء البحث عن المصفوفات، يمكن تعريف المصفوفة على أنها عبارة عن بعض الأرقام التي يتم ترتيبها على شكل صفوف وأعمدة وفق المعادلات، وتحدد بأقواس، ويتم إدخال كل جزء من الأرقام في قوس منفرد، ويتم إجراء العديد من العمليات عليها للحصول على قيم المجاهيل باستخدام طرق مختلفة.
تطبيقات المصفوفات
تستخدم المصفوفات في العديد من التطبيقات العملية، مثل العمليات الكهرومغناطيسية في الفيزياء والبصريات وميكانيكا الكم والعديد من المجالات الفيزيائية الأخرى. كما تستخدم في:
- تشمل حلول الخوارزميات الرسومات على الكمبيوتر وترتيب الصفحات.
- يتعلق فهم المفاهيم الخاصة بالتحليل الكلاسيكي مثل الدالات الأسية والمشتقات بأبعاد عالية.
- تستخدم هذه التقنية في معالجة العديد من التحويلات الخطية لعرض الصور.
- الكثير من المجالات الأخرى المهمة.
اساسيات المصفوفات
يمكن تبديل صفوف وأعمدة المصفوفة للحصول على مصفوفة جديدة وتسمى بطريقة أخرى للوصول إلى الحل بطريقة أسرع.
يمكن إضافة المصفوفات إلى بعضها البعض من خلال القيام بإضافة الأعداد الصحيحة فتتم هذه العملية عن طريق الادخال المقابل لكل مصفوفة على حدا ويجب التأكد من أن المصفوفتين لهما نفس الأبعاد وبالترتيب للصفوف والأعمدة مثل: 2 x 3 و2 x 3 وليس العكس كما يمكن أن تتم عملية الإضافة للمصفوفات التي لها أبعاد مربعة مثل 2 x 2.
خصائص المصفوفات
قانون التبادل
إذا كان A = [a ij]، B = [b ij] لهما نفس الترتيب والحجم هو m × n، ثم A + B = B + A. فيمكن أن يتم التبادل بين المصفوفات في الجمع.
قانون الجمع
لدينا ثلاث مصفوفات A = [a ij]، B = [b ij]، C = [c ij] لهما نفس الترتيب وهو m × n، (A + B) + C = A + (B + C).
الهوية المضافة
لنفترض أن A = [a ij] مصفوفة m × n وO تكون مصفوفة m × n صفرية، ثم A + O = O + A = A. فتعتبرO هي الهوية المضافة لجمع المصفوفة.
المعكوس الإضافي
مثلا لدينا A = [a ij] m × n أي مصفوفة، ومصفوفة أخرى مثل – A = [–a ij] m × n بحيث تكون A + (–A) = (–A) + A = O. – A هو المعكوس الجمعي لـ A أو سالبA.
أنواع المصفوفات
توجد أنواع مختلفة للمصفوفات التي تستخدم في الحل ومنها:
مصفوفة الصف
تتألف مصفوفة الصف من صف واحد على الأقل، وليس مشروطًا أن يكون لديها عدد معين من الأعمدة، بحيث يمكن أن تحتوي على عدد كبير من الأعمدة، مثل مصفوفة من الرتبة 1 × 5. يتم تحديد عدد الصفوف أولاً، ثم عدد الأعمدة.
مصفوفة العمود
تحتوي مصفوفة العمود على عمود واحد فقط من الأرقام وعدد غير محدود من الصفوف. وعلى سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة من الرتبة 5 × 1، فإن العدد 5 يمثل عدد الصفوف والعدد 1 يمثل العمود الواحد.
المصفوفة المربعة
في المصفوفة المربعة، يكون عدد الأعمدة مساويًا تمامًا لعدد الصفوف، حيث تكون الرتبة متساوية، لذلك يجب أن يكون n = m، ويمكن القول إنها من الرتبة m.
المصفوفة المستطيلة
المصفوفة المستطيلة هي المصفوفة التي يكون فيها عدد الصفوف غير مساوي لعدد الأعمدة، ويمكن أن تكون الرتبة 2 × 3 أو 4 × 2 وهكذا.
المصفوفة القطرية
تحتوي المصفوفة القطرية على الأرقام فقط في القطر، بينما تتكون باقي المصفوفة من الأصفار، ويتم التعبير عنها باستخدام الرتبة m × n كما في باقي المصفوفات.
المصفوفة العددية
تعد المصفوفة العددية مصفوفة قطرية، ولكن يجب أن يحتوي القطر على عدد ثابت غير قابل للتغيير غير الصفر، وتعتبر المصفوفة القطرية مصفوفة عددية إذا كانت عناصر القطر متساوية مثل المصفوفة المربعة.
مصفوفة الصفر
تعتبر مصفوفة الصفر هي المصفوفة التي تحتوي على أصفار في جميع العناصر، مثل المصفوفة التالية: [000000000]
مصفوفة الوحدة
تُعد مصفوفة الوحدة هي المصفوفة المربعة التي تحتوي على جميع عناصرها على القيم الصفراء، ما عدا القطر الذي يحتوي على الرقم واحد، وتسمى أيضًا بمصفوفة الهوية.
المصفوفة المثلثية العليا
المصفوفة المثلثية العليا هي مصفوفة مربعة يكون جميع عناصرها تحت القطر أصفار، وتحتوي العناصر الأخرى على أرقام.
المصفوفة المثلثية السفلية
المصفوفة المثلثية السفلية هي مصفوفة مربعة مثل المصفوفة المثلثية العليا، ولكن العناصر الصفراء توجد فوق القطر.
المصفوفة المتماثلة والانحراف المتماثل
تعتبر المصفوفة المتماثلة هي المصفوفة التي لها أبعاد متساوية مثل المصفوفة المربعة، لذلك فهي مصفوفة متماثلة، ويمكن أن يكون لها انحراف في الشكل.
المصفوفة الابتدائية
تعتبر المصفوفة الأولية هي المصفوفة التي يتم إجراء التبديلات عليها من خلال الصفوف أو الأعمدة مثل عمليات الصف الأولية التي يمكن أن تتم على الأعمدة أيضا فتعتبر عمليات التبديل تتم للصفوف والأعمدة للمصفوفة والمصفوفة الأولية تختلف تماما عن مصفوفة الهوية التي تمتلك الرقم واحد في القطر.
المصفوفة المعكوسة
المصفوفة المعكوسة هي المصفوفة الأصلية المعكوسة، ويمكن الحصول عليها بسهولة عن طريق تبديل صفوفها بأعمدتها أو العكس، ويمكن الحصول عليها أيضا بالقسمة، فإذا قمنا بضرب رقم معين في مقلوبه، سنحصل على الواحد الصحيح، على سبيل المثال (5/8) × = 10، فيمكننا ذلك بضرب الطرفين في 8/5، ويسمى هذا التطابق، فعند ضرب شيء في 1، لا يتغير قيمته.
على سبيل المثال، إذا كانت لدينا معادلة للمصفوفة مثل AB = C، حيث A و C معروفان، فيمكن الحصول على قيمة B بالقسمة، ولكن القسمة للمصفوفات غير ممكنة.
عمليات المصفوفات
- الجمع والطرح للأرقام من وإلى المصفوفة.
- الضرب القياسي
- الحصول على المقلوب
- القسمة غير ممكنة، ولكن يمكن الوصول إلى النتيجة بطريقة عكسية.
تعد المصفوفات أحد الأجزاء الأساسية في مجال الرياضيات وعند القيام بأي بحث عن المصفوفات أو المواضيع الرياضية، تكون المصفوفات حلا مهما لحل مجموعة متنوعة من المعادلات الخطية، وتحتوي على العديد من العمليات الممكنة التي يمكن تنفيذها عليها بخطوات مرتبة. تتمتع المصفوفات بتطبيقات مفيدة في مجالات عديدة مثل الفيزياء في العمليات الكهرومغناطيسية وعلم البصريات، وتساعد أيضا في ميكانيكا الكم. كما يتم استخدام المصفوفات في حلول الخوارزميات على الحواسيب، وتساعد أيضا في ترتيب الصفحات وعرض الصور بتحويلات خطية، بالإضافة إلى العديد من التطبيقات الأخرى.