تعريف المتجهات وخصائصها

تعريف المتجهات

– المتجهات هي تمثيلات هندسية للحجم والاتجاه، وتمثل عادة بأسهم مستقيمة تبدأ من نقطة واحدة على محور إحداثيات وتنتهي عند نقطة مختلفة، ولدى جميع المتجهات طول أو مقدار، الذي يمثل فائدة في مقارنة المتجه مع متجه آخر، كما أن المتجهات لها اتجاه، مما يميزها عن الأرقام العادية التي هي مجرد أرقام بدون اتجاه، ويتم استخدام المتجهات في العديد من التطبيقات مما يجعلها مهمة في حياتنا

يتم تحديد الفيكتور من خلال حجمه واتجاهه فيما يتعلق بمجموعة من الإحداثيات، وعادة ما يكون ذلك مفيدا في تحليل الفيكتورات لتقسيمها إلى مكوناتها المكونة، بالنسبة للفيكتورات ثنائية الأبعاد، تكون هذه المكونات أفقية ورأسية، بالنسبة للفيكتورات ثلاثية الأبعاد، يكون العنصر المقداري هو نفسه، ولكن يتم التعبير عن مكون الاتجاه بواسطة xx و yy و z.

وبالتالي من حيث التعريف ، فإن المتجه هو كمية تتميز بالحجم والاتجاه ، ومن أشهر الأمثلة على ذلك هي القوة ، السرعة ، والوزن ، وتعتبر القوة متجه لأن القوة هي مقدار الشدة أو القوة المطبقة في اتجاه ما ، والسرعة هي المتجه حيث تكون سرعته هي المقدار الذي يتحرك فيه كائن في مسار معين.

خواص المتجهات 

المتجهات ثنائية الأبعاد

يمكن تمثيل المتجهات ثنائية الأبعاد في شكل هندسي من اثنين.

جمع وضرب المتجه

يتم إضافة متجهين عن طريق إضافة العناصر المقابلة لكل متجه، وعندما يتم ضرب المتجه بعدد، يتم ضرب كل عنصر في المتجه بالعدد القياسي 

معيار المتجه

|| x || هو مقياس لحجم المتجه، ويُشار إليه بـ x.

حاصل الضرب النقطي لمتجهين

يُعرف حاصل الضرب القياسي أو الناتج النقطي لمتجهين بأنه مجموع حاصل ضرب المكونات الفردية لكل من المتجهين x و y

X.Y= x1y1 + x2y2 + …..

العلاقة بين القاعدة والمنتج النقطي

من خلال تعريف حاصل الضرب النقطي والقاعدة، يمكن الاستنتاج بسهولة أن حاصل ضرب متجه بنفسه يساوي مربع القاعدة.

الاستقلال الخطي للمتجهات

نطلق على مجموعة المتجهات (v1، v2، …، vn) اسم “مستقلة خطيًا” إذا لم يوجد أي متجه في المجموعة يمكن تمثيله كمجموعة خطية فقط باستخدام الضرب الرقمي وإضافة المتجهات للمتجهات الأخرى، وإذا كان بإمكاننا تمثيلهم بهذه الطريقة، فسيتم تسميتهم بـ”المتجهات المستقلة خطيًا.

أنواع المتجهات

المتجه الصفري

المتجه الصفري هو متجه يكون حجمه صفرًا وتتزامن نقطة بدايته مع نقطته النهائية، وبالتالي فإن حجم المتجه الصفري يساوي الصفر واتجاهه غير محدد.

المتجهات الأولية المشتركة

تسمى المتجهات التي لها نفس نقطة البداية متجهات أولية مشتركة.

المتجهات المتشابهة 

تسمى المتجهات التي لها نفس الاتجاه بالمتجهات المتشابهة، بينما يطلق اسم المتجهات غير المتشابهة على المتجهات التي لها اتجاه معاكس بالنسبة لبعضها البعض.

المتجهات  المشتركة المستوية

يشار إلى ثلاثة نواقل أو أكثر تقع في نفس المستوى أو موازية لنفس المستوى باسم المتجهات المشتركة المستوية.

المتجهات الخطية

تعرف المتجهات التي تقع على نفس الخط أو الخطوط المتوازية باسم متجهات خطية، وتسمى أيضًا المتجهات المتوازية.

المتجهات المتساوية

يقال إن متجهين أو أكثر يكونون متساوين إذا كان حجمهم متساوياً وكذلك اتجاههما هو نفسه.

المتجه السالب

إذا كان المتجهان متماثلين في الحجم ولكنهما معاكسان تمامًا في الاتجاه، فإن كلا المتجهين سيكونان سالبين لبعضهما البعض، فلنفترض أن هناك متجهين (أ) و (ب) وأن هذان المتجهان متماثلان تمامًا في الحجم ولكن في الاتجاه المعاكس، فيمكن تعبير هذه المتجهات بواسطة (أ = -ب).

جمع وطرح المتجهات

إحدى الطرق السهلة التي يمكن من خلالها تمثيل الكميات الفيزيائية كمتجهات في عمليات التحليل هي إضافة المتجهات بسهولة معًا، نظرًا لأن المتجهات هي تصورات رسومية، ويمكن إجراء الجمع والطرح الرسومي للمتجهات.

تعرف الطريقة الرسومية لإضافة المتجهات أيضا باسم طريقة الرأس إلى الذيل. للبدء، ارسم مجموعة من محاور الإحداثيات، بعد ذلك ارسم المتجه الأول مع ذيله (أي قاعدته) في أصل محاور الإحداثيات.

بالنسبة لإضافة المتجهات ، لا يهم أي متجه تبدأ برسمه أولا لأن الجمع هو تبادلي ، ولكن بالنسبة للطرح ، تأكد من أن المتجه الذي ترسمه أولا هو المتجه الذي تطرح منه ، الخطوة التالية هي أخذ المتجه التالي ورسمه بحيث يكون ذيله متصلا برأس المتجه السابق أي الجانب الآخر من السهم ، استمر في وضع كل متجه فوق رأس المتجه السابق حتى تتم ربط جميع المتجهات التي ترغب في إضافتها معا. أخيرا ، قم برسم خط مستقيم من الأصل إلى رأس المتجه الأخير في السلسلة ، وهذا الخط الجديد هو نتيجة إضافة هذه المتجهات معا.

مثال على المتجهات 

إذا كان لديك متجه A مع حجم واتجاه محددين، فإن ضربه بعدد قياسي بحجم 0.5 سيعطيك متجها جديدا بحجم نصف الأصلي. بالمثل، إذا أخذت العدد 3 وهو عدد قياسي بدون وحدات وضربته في المتجه، ستحصل على نسخة مكبرة من المتجه الأصلي بثلاثة أضعاف الطول. كمثال فيزيائي، تأخذ قوة الجاذبية على جسم ما. القوة تكون متجهة وتعتمد على الكتلة كمقياس واتجاهها نحو الأسفل. إذا تضاعفت كتلة الجسم، تتضاعف قوة الجاذبية أيضا.

استخدام الأرقام في ضرب النواقل ذو فائدة كبيرة في مجال الفيزياء، حيث إن معظم الوحدات المستخدمة في الكميات المتجهة تعتمد أساسا على قياسات مضروبة في المتجهات. على سبيل المثال، وحدة السرعة المستخدمة في الأمتار في الثانية هي متجهة وتتكون من قيمتين، وهما القيمة القياسية للطول بالأمتار والقيمة القياسية للزمن بالثواني. لتحويل هذه المقادير إلى سرعة، يجب على الشخص ضرب وحدة القياس باتجاه معين بواسطة هذه القيم.

معلومات هامة عن المتجهات في الفيزياء 

• يمكن تقسيم المتجهات إلى عنصرين هما الحجم والاتجاه.
• عند تحليل المتجه المراد، يمكن العثور على المكونات الأفقية والرأسية عن طريق استكمال مثلاثية قائمة، حيث تمثل الحافة السفلية للثلاثية المكون الأفقي والضلع المقابل للزاوية يمثل المكون الرأسي.
• يمكن حساب طول المكونين باستخدام الزاوية التي يشكلها المتجه مع المستوى الأفقي.
• المتجهات هي كميات مادية تتطلب معرفة كل من الحجم والاتجاه.
• لإضافة متجهات، يتم وضع المتجه الأول على مجموعة من المحاور بحيث يكون ذيله في الأصل، ثم يتم وضع المتجه التالي بحيث يتم وضع ذيله في رأس المتجه السابق، ويتم القيام بذلك حتى لا يتبقى متجهات، ثم يتم رسم خط مستقيم من الأصل إلى رأس المتجه الأخير، حيث يكون هذا الخط مجموع المتجهات.
• لطرح المتجهات، يتم الاستمرار في العملية كما لو كنت تضيف المتجهين، ولكن يتم انعكاس المتجه ليتم الطرح عبر المحاور، ثم يتم ربط ذيل المتجه برأسه كما لو كان يتم الجمع.