تعريف العدد النيبيري

العدد e  أو العدد النيبيري هو ثابت رياضي يساوي تقريبًا 2.71828 وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي ، الرقم الفريد الذي يساوي لوغاريتمه الطبيعي واحدًا هذا هو الحد من (1 + 1 / n )  وهو التعبير الذي يطرح نفسه في دراسة الفائدة المركبة ، يمكن أيضًا حسابه على أنه مجموع السلسلة اللانهائية.

ما هو العدد النيبيري 

 النسبة الذهبية هي ثابت عددي يحدث عندما يتم تقسيم محيط الدائرة حسب قطرها، ويتم استخدام النسبة الذهبية في العديد من الصيغ الرياضية التي تصف النمو أو الاضمحلال غير الخطي، مثل الفائدة المركبة ومنحنى الجرس الإحصائي، ويتم تمثيلها في شكل قوس قائم أو كابل معلق.

 ويظهر العدد النيبيري أيضًا في بعض مشاكل الاحتمال ، وبعض مشاكل العد ، وحتى دراسة توزيع الأعداد الأولية ، في مجال التقييم غير المدمر يوجد في صيغ مثل تلك المستخدمة لوصف التوهين بالموجات فوق الصوتية في المادة ، تتحلل طاقة الصوت عندما تتحرك بعيدًا عن مصدر الصوت بعامل نسبي للعدد النيبيري.

تبلغ قيمتها تقريبا 2.718، وقد تم حسابها بواسطة سيباستيان ويدنيفسكي عن طريق تفريق العشري إلى 869,894,101 منزلة، وقد درس هذا الرقم لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر في القرن التاسع عشر، على الرغم من وجوده بشكل ما في عمل جون نابير، مخترع اللوغاريتمات، في عام 1614. وكان أويلر أول من استخدم الحرف “e” للإشارة إليه في عام 1727، ويعرف “e” أحيانا باسم رقم أويلر أو رقم أويلريان أو ثابت النبيبيري. وأثبت أويلر أن “e” هو رقم غير منطقي، لذا فإن توسعة العشري لهذا الرقم لا تنتهي أبدا

تاريخ العدد نيبيري

تم نشر الإشارات الأولى للثابت في عام 1618 في جدول ملحق عمل عن اللوغاريتمات بواسطة جون نابير، ومع ذلك لم يحتوي هذا الجدول على الثابت نفسه، وإنما كانت قائمة باللوغاريتمات المحسوبة من الثابت. يعتقد أن ويليام أووتريد هو من كتب الجدول، ولكن يعزى اكتشاف الثابت نفسه إلى يعقوب برنولي في عام 1683 حيث حاول العثور على قيمته.

تم استخدام الحرف b كأول استخدام معروف للثابت في المراسلات بين جوتفريد ليبنيز وكريستيان هيجنز في الفترة من 1690 إلى 1691. قدم ليونارد أويلر الحرف e كقاعدة للوغاريتمات الطبيعية، وذلك في رسالة إلى كريستيان غولدباخ في 25 نوفمبر 1731. استخدم أويلر الثابت في العام 1727 أو 1728 في ورقة غير منشورة عن قوة المتفجرات في المدافع، وظهر لأول مرة في منشور في كتاب أويلر ميكانيكا (1736).

استخدم بعض الباحثين حرف “c” في السنوات اللاحقة، ولكن الحرف “e” كان الأكثر شيوعًا وأصبح القياسي في النهاية 

المعيار المستخدم في الرياضيات هو كتابة الثابت باستخدام الرمز “e” بخط مائل، ويوصي ISO 80000-2 مستوى 2009 بتنسيق أسلوب الثوابت المستقيمة، ولكن ذلك لم يتم تصديقه من قبل المجتمع العلمي.

تطبيقات على العدد النيبيري

الفائدة المركبة

اكتشف جاكوب برنولي هذا الثابت في عام 1683 من خلال دراسة سؤال حول الفائدة المركبة

يتم فتح حساب بقيمة 1.00 دولار أمريكي ويتم دفع فائدة بنسبة 100٪ سنويًا. إذا تم حساب الفائدة مرة واحدة ودفعها في نهاية العام ، فسيصبح رصيد الحساب في نهاية العام 2.00 دولارًا، ولكن ماذا سيحدث إذا تم حساب الفائدة وإضافتها على الرصيد بشكل دوري خلال العام؟

إذا تمت إضافة الفائدة مرتين في العام، فإن معدل الفائدة لكل 6 أشهر يصبح 50٪، وبالتالي يتم ضرب 1 دولار بـ 1.5 مرتين ليصبح 2.25 دولار في نهاية العام. يبلغ العائد الربع سنوي المركب 2.4414 دولار، والعائد الشهري المركب 2.613035 دولار. إذا كان هناك n فواصل زمنية مركبة، فإن الفائدة لكل فاصل زمني تبلغ 100٪ / n، ويصبح القيمة في نهاية العام 1 دولار × (1 + 1 / n) .

لاحظ برنولي أن هذا التسلسل يقترب من حد  قوة الفائدة  مع n أكبر وبالتالي فواصل مركبة أصغر ، ينتج عن التركيب الأسبوعي ( n = 52 ) $ 2.692597 … ، بينما ينتج عن المركب اليومي ( n = 365 ) $ 2.714567 … ، سنتان أكثر ، الحد الذي يكبر فيه n هو العدد الذي أصبح يعرف باسم e مع التركيب المستمر ، ستصل قيمة الحساب إلى $ 2.7182818.

محاكمة برنولي

يحتوي العدد “e” نفسه أيضًا على تطبيقات في نظرية الاحتمالات، حيث يتم إنشاؤه بطريقة غير واضحة الارتباط بنمو الأسي 

في هذا السياق، يفترض أن مقامرًا يلعب آلة سلوت تدفع لاحتمال واحد في n، ويستمر في اللعب n مرات. بالنسبة لـ n الكبيرة (مثل مليون)، فإن احتمال فوز المقامر بكل رهان يكاد يكون 1/e، وهو تقريبًا. على سبيل المثال، إذا كان n يساوي 20، فإن احتمال فوز المقامر بكل رهان يكون تقريبًا 1/2.79.

هذا مثال على تجربة برنولي، حيث يوجد فرصة واحدة في المليون للفوز في كل مرة يلعب فيها القماري في الفتحات. إذا لعبت مرة واحدة مليون مرة قبل توزيع الأرباح، فإن الفرصة مرة واحدة فقط للفوز. وترتبط هذه التجربة بشكل وثيق بنظرية برنولي ومثلث باسكال. ومن الممكن أن يفوز اللاعب بـK مرات من مليون تجربة

التشويش   

هناك تطبيق آخر لنيبيري، وقد اكتشفه جزئيا جاكوب برنولي جنبا إلى جنب مع بيير ريموند دي مونتمورت، في مشكلة التشوش، والتي تعرف أيضا باسم مشكلة فحص القبعة n. يتم دعوة الحضور للانضمام إلى الحفلة وعند الباب، يقوم جميع الضيوف بفحص قبعاتهم مع الخادم الشخصي، الذي يضعها في n مربعا، كل منها مكتوب باسم ضيف واحد. ومع ذلك، لم يتم سؤال الخدم عن هوية الضيوف، لذلك توضع القبعات في صناديق مختارة عشوائيا. مشكلة دي مونتمورت هي العثور على احتمالية عدم وضع أي من القبعات في المربع الصحيح. الجواب هو

عندما يميل عدد n من الضيوف إلى اللانهائية، فإن p_n يقترب من 1/e، وعدد الطرق التي يمكن بها وضع القبعات في المربعات بحيث لا يوجد قبعات في المربع الأيمن يكون تقريبًا n!/e إلى أقرب عدد صحيح، حيث n هو عدد موجب.

استخدامات  العدد النيبيري في الرياضيات

يتم استخدام العدد النيبيري أو العدد e في الرياضيات في العديد من المجالات، وهذه بعض الأماكن التي يظهر فيها:

• يعتبر e أساس اللوغاريتم الطبيعي، ومنذ اختراع نابير للوغاريتمات، يشار إلى e أحيانًا باسم ثابت نابير.
• في حساب التفاضل والتكامل، تتميز الدالة الأسية e x بخاصية فريدة لأنها لها مشتقة خاصة بها.
• تستخدم التعبيرات التي تحتوي على ex و e-x لإنشاء وظائف جيب الزاوية الزائدة وجيب التمام الزائد.
• عبر عمل أويلر، أصبح لدينا معرفة بأن الثوابت الرياضية الأساسية مترابطة بالمعادلة e iΠ + 1 = 0، حيث يمثل i العدد التخيلي وهو الجذر التربيعي للسالب السالب.
• يتم استخدام الرقم e في صيغ مختلفة طوال الرياضيات، وخاصة في مجال نظرية الأعداد.

قيمة  العدد النيبيري في الإحصاء 

ليست أهمية الرقم النيبيري مقتصرة على مجالات قليلة في الرياضيات، بل هناك العديد من الاستخدامات للرقم e فيالإحصائيات والاحتمالات، ومن بين أهم هذه الاستخدامات:

• تظهر الرقم e في صيغة دالة غاما.
• تتضمن صيغة توزيع الاحتمال الطبيعي القياسي العدد النيبيري في قوة سلبية، وتشمل أيضًا الصيغة قيمة باي.
• تشمل العديد من التوزيعات الأخرى استخدام الرقم (e)، على سبيل المثال، يتم استخدام الرقم (e) في صيغ توزيع (t) وتوزيع (γ) وتوزيع (χ²)