تعريف الدوال وانواعها

تُعرف الدوال بأنها علاقة تربط بين مُدخل ومُخرج معين، ويتم شرح مفهوم الدوال في الرياضيات بشكل أفضل من خلال فهمها بشكل جيد.

تعريف الدوال

يعتبر دراسة وإجراء بحث حول الدوال والمتباينات أمرا مهما جدا في الرياضيات، حيث تعد الدوال عبارة عن علاقة بين المدخلات والمخرجات المسموح بها، وتتميز بأن كل مدخل يرتبط بمخرج واحد فقط، وقد يكون المخرج مرتبطا بأكثر من مدخل. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن A و B هما مجموعتان غير فارغتان، فإن التعيين من مجموعة A إلى B سيكون دالة فقط عندما يكون لكل عنصر في مجموعة A مخرج واحد فقط وصورة واحدة في مجموعة B.

يمثل الدالة علاقة تربط” f ” بين عنصر من مجموعة “A” وعنصر واحد فقط من مجموعة “B”، ولا يمكن أن يكون هناك زوجان من عناصر “A” يتبعان نفس العنصر الأول، وهذا هو التعريف الآخر للدوال.

يجب عدم جعل المجموعة A والمجموعة B فارغتين، حيث يدخل الشخص مدخلاً محدداً للحصول على نتيجة معينة في الوظيفة، ولذلك فإن الدالة f: A->B تعني أن f هي دالة من المجال A إلى المجال B المشترك.

يشير العنصر الفريد b الذي يرتبط بالعنصر f إلى f(a) ويسمى f لـ a أو القيمة التي يأخذها f عند a أو صورة a تحت f.

• مدى f (صورة aتحت f)
• هي مجموعة جميع قيم f)x) مجتمعة.

الدالة ذات القيمة الحقيقية تحتوي على P أو أي من فروعها كنطاق لها، وإذا كان مجالها أيضًا P أو فرعًا من P ، فيتم تسميتها دالة حقيقية.

بحث عن الدوال

بعض الخطوات من أجل حل الدوال :

• سؤال: أجد الحل للدالة g(t)= 6t^2+5 عندما يكون t = 0 وعندما يكون t = 2

الحل: عندما يكون الرقم صفر ، فإن قيمة الدالة g(0) = (0)^2 × 6 + 5 والإجابة هي 5. وعندما تكون t = 2 ، فإن قيمة الدالة g(2) = (2)^2 × 6 + 5 والإجابة هي 29.

أنواع الدوال

يوجد أصناف متعددة من الدوال في الرياضيات، وينبغي تعلم هذه الأصناف لتطبيق الدوال في الحياة اليومية بسبب أهمية الدوال المثلثية في حياتنا

• الدالة متباينة .
• الدالة الشمولية .
• الدالة متعددة الحدود .
• دالة خطية .
• وظيفة المتطابقة .
• الدالة من الدرجة الثانية .
• الدوال الجبرية .
• دالة مكعب .
• دالة المعامل .
• دالة الجزء الكسري .
• دالة زوجية وفردية .
• الدالة الدورية .
• الدالة المركبة .
• الدالة الثابتة .

الدالة المتباينة

إذا كان كل جزء وعنصر من المجموعة له صورة مختلفة في المجموعة الأخرى، فإن هذه الدالة تسمى بالدالة المتباينة، على سبيل المثال، إذا كانت R مختلفة عن R` في الدالة f (x) = 3x + 5، فإن النتيجة ستكون واحد – واحد.

الدالة الشمولية

الدالة الشمولية هي الدالة التي تحتوي على عنصرين على الأقل وتكون صورهما متطابقة، ويمكن تمثيلها باستخدام صيغة رياضية مثل f(x) = x2 + 1، وتعرف أيضًا بأنها الدالة التي يكون لكل عنصر في المجال المشترك صورة واحدة على الأقل في المجال.

دالة متعددة الحدود

دالة ذات قيمة حقيقية f: P → P محددة بواسطة y = f (a) = h_{0} + h_{1} a +… + h_{n} a^{n} وتعرف باسم المتتالية الحسابية.

• N = عدد صحيح غير سالب.
• درجة دالة متعددة الحدود هي أعلى درجة.
• في حالة تساوي الدرجة بالصفر، يتم تسمية الدالة بالدالة الثابتة.
• إذا كانت الدرجة تساوي واحد، يسمى الدالة بالدالة الخطية، ومن أمثلة ذلك ب = أ +1.
• الرسم البياني: يمثل دائما بخط مستقيم.

يمكن التعبير عن الدالة بالشكل التالي: ​ f (a) = h_ {0} + h_ {1} a +… .. + h_ {n} a ^ {n} h

• تعرف أعلى درجة باسم الدالة كثيرة الحدود
• تُسمى الدالة التي تمتلك حدودًا كثيرة بالدالة الخطية إذا كانت درجتها تساوي الواحد فقط.
• تكون الدالة الكثيرة الحدود تربيعية إذا كانت الدرجة مساوية لاثنين.
• تكون الدالة كثيرة الحدود تكعيبية إذا كانت درجتها ثلاثة.

الدالة الخطية

عادةً ما يكون رسم البياني للدالة الخطية مستقيمًا، ويمكن وصف الدالة الخطية بأنها دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى، وتمثل بالعلاقة التالية f(x) = mx + c.

• مثال على ذلك: f(x) = 2x + 1 عندما تكون x = 1، يمكننا إيجاد الحل عن طريق تعويض قيمة x بالرقم 1، فنحصل على f(1) = 2.1 + 1 = 3، وبالتالي الإجابة تكون f(1) = 3.
• مثال آخر على الدالة الخطية أو الدالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى هي y = x + 3.

الدالة المتطابقة

يعتبران الدالتين متطابقتين إذا كانتا

• مجال f هو نفسه مجال g
• مدى f = مدى g

مثال على ذلك: f(x) = x)  بينما g(x) = 1÷ 1÷ x).

الحل: f(x) تعرف على جميع الأعداد باستثناء تلك التي تكون مجموعتها فارغة، بينما g(x) تعرف على جميع الأعداد باستثناء الصفر، وبالتالي تكون معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء الصفر .

الدالة من الدرجة الثانية

تشمل هذه الدوال والمتباينات جميع أنواع الدوال التي تأخذ الشكل y = ax2 + bx + c، حيث a، b، c ∈ R و a ≠ 0، وتسمى بالدالة التربيعية، وسيكون الرسم البياني متماثلًا.

تُعد الدالة التربيعية دالةً كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، ويمكن وصفها بالعلاقة التالية بأبسط العبارات:

F (x) = ax2 + bx + c، حيث لا تكون قيمة a تساوي الصفر. حيث تكون a و b و c ثوابت و x متغيرا.

• مثال: f (x) = 2×2 + x – 1 عند x = 2.

الحل: إذا كانت قيمة س تساوي 2، فإن (2) = 2.2^2 + 2-1 = 9

• مثال آخر: y = x2 + 1.

الدوال الجبرية

تُعرف المعادلة الجبرية أو الدالة الجبرية بأنها الوظيفة التي تتضمن عددًا محدودًا من المصطلحات التي تتكون من قوى وجذور المتغير المستقل x والعمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة

الدالة التكعيبية

الدالة متعددة الحدود أو الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، ويمكن التعبير عنها باستخدام العلاقة الرياضية التالية: F(x) = ax3 + bx2 + cx + d، حيث لا تساوي قيمة a الصفر.

• بشكل آخر، أي دالة من النمط التالي تعتبر دالة تكعيبية f(x) = ax3 + bx2 + cx + d، حيث a و b و c و d عناصر من مجموعة الأعداد الحقيقية و a لا تساوي الصفر.

 الدوال والمتباينات

المتباينات هي نوع من العلاقات الرياضية، ويمكن تمثيلها بشكل رياضي مثل أي علاقة أخرى، وتكون عبارة عن علاقة رياضية بين تعبيرين يتم تمثيلهما عادة على النحو التالي:

• ≤: “أقل من أو يساوي”
• <: “أقل من”
• ≠: “لا يساوي”
• >: “أكبر من”
• ≥: “أكبر من أو يساوي

قد تشمل المساواة المتباينة صارمة أو غير صارمة، وتتضمن علامات أكبر من، أو تساوي، أو أصغر من، وعند تبديل الجانبين المتباينين يجب تغيير إشارة المتباينة أيضًا، بمعنى أنه إذا كان الزوج 4 أقل من 5، فإنه من الممكن أيضًا أن يكون الزوج الآخر 5 أكبر من 4 .

في حالة وجود مساواة في المعادلة المبينة في المتباينة، يتم التعبير عنها من خلال الرمز =

يمكن تمثيل حلول المتباينات في متغير واحد باستخدام خط الأعداد، تماماً كحل المعادلات الشرطية.

عند التفكير في المواقع على طول خط الأعداد، يمكن تفسير رموز عدم المساواة على النحو التالي:

• ≤: “على اليسار أو يساوي
• <: “إلى يسار فقط
• ≠: لا يساوي
• >: “على يمين فقط”
• ≥: على يمين أو يساوي