مفهوم البديهيات

في مجالي الرياضيات والمنطق، تمثل البديهيات القاعدة التي لا يمكن إثباتها، حيث إنها صحيحة بشكل بديهي. وقد قيل: “لا شيء يمكن أن يكون أو لا يكون في نفس الوقت والمعنى نفسه”. ويمكن استخدام البديهيات بشكل تبادلي مع المفترض، والذي يستخدم في بعض التطبيقات الرياضية، مثل الافتراضات الإقليدية في الهندسة، والتي يجب أن تتعارض مع نظرية تفترض وجود إثبات صارم، مما يؤكد أهمية الرياضيات في حياتنا

إذا يمكن أن نقول أن البديهية (البديهة) هي افتراض مقدم لاستنتاج تصريحات منطقية أخرى، ويمكن أن يكون الافتراض تصريحا يتعارض مع البراهين، حيث لا يمكن استنتاج البديهيات باستخدام مبادئ الاستدلال أو إثباتها بواسطة البراهين الشكلية، لأنها تعتبر مقدمات افتراضية ولا يوجد شيء آخر يمكن استنتاجه منها بواسطة المنطق، وإلا فسيكون هناك افتراض يعرف بالنظريات وليس البديهيات، ويجب أن نوضح أنه يتم استخدام المسلمات والافتراضات بشكل متبادل.

من التعريف يتضح أن البديهية ليست بالضرورة حقيقة بذاتها، ولكنها عادة ما تعبر بشكل منطقي للوصول إلى أكبر قدر من النتائج. تعتبر هذه البديهيات صحيحة ولا تحتاج إلى إثبات، وهذا هو السبب في تسميتها بالبديهية. من أمثلة البديهيات الشهيرة هي “بديهيات إقليدس” التي تستخدم في الهندسة الإقليدية المستوية، وتختلف تماما عن هندسة ريمان وهندسة منكوفسكي التي تعتمد أنواعا أخرى من البديهيات. يتم استخدام مصطلحات مثل “بديهية” و”مسلمة” و”افتراض” بشكل متبادل في الكتب والنظريات.

نظام البديهيات

يتكون النظام البديهي من عدة مكونات، ومن أهم تلك المكونات التعاريف بالإضافة إلى مجموعة من البديهيات والمبرهنات، وسيتم شرح المقصود منه فيما يلي:

• التعاريف: يقصد بهذا التعريف تعريف أي مصطلح من مصطلحات الرياضيات بطريقة بسيطة وواضحة، ويجب وصف الكلمة المراد تعريفها بأسلوب موحد وغير رسماني.
  
• البديهية Axioms: تتألف العبارات الأساسية من مجموعة من العبارات البسيطة ذات العلاقة بالكلمات الأولية والتي تمثل أساسها، ويتم استنتاج غيرها من العبارات بالنظام من خلالها. تعرف هذه العبارات الأساسية بالبديهيات، وتعد حجر الأساس للبناء
• المبرهنة Theorem: المبرهنة هي النتيجة التي يتم الحصول عليها من البديهيات الموجودة في النظام أو الحصول عليها من تعبيرات ذلك النظام، ويجب الإشارة إلى أن الهندسة تعد نظاما بديهيا حيث يتم استخدام مجموعة من البديهيات والتعاريف والمبرهنات، ومثال جيد على النظام البديهي هو الهندسة الإقليدية التي تعتمد المستقيم والنقطة ككلمات أولية، وتختلف مكونات النظام البديهي من حيث كونها كلمات أولية أو مفاهيم معرفية، والبديهيات والمبرهنات

الكلمات الأولية

يشير هذا المصطلح إلى الكلمات التي لم يتم تعريفها (Undefined terms)، وهي عبارة عن مجموعة من كلمات النظام البديهي التي يتم قبولها بدون تعريف والتي تأتي مع تحديد قائمتين:

• الكلمات التقنية Technical Terms: المصطلحات الأساسية، مثل الخط والنقطة والتطابق وغيرها، هي مجموعة من الكلمات التي تستخدم في تعريف النظام البديهي، والتي تشكل أساس هذا النظام، وعادة ما تكون عددها قليلا 
• الكلمات المنطقية  Logical Terms: وهي عبارة عن الكلمات المشتركة بين أغلب الأنظمة البديهية والتي تستند إلى أساس منطقي رياضي ومن الأمثلة عليها (على الأكثر، على الأقل، يوجد، كل)

الكلمات المعرفة Defined terms

السؤال لماذا نتعلم الرياضيات يمكن الإجابة عليه عندما ندرك أنه من المستحيل استخدام مصطلح رياضي دون تعريفه، ولتعريفه يجب توفر بعض الشروط اللازمة، وهذه الشروط هي

• البساطة: يجب أن يحتوي التعريف (8334) على عناصر واضحة وبسيطة، ويستند إلى كلمات سبق تعريفها أو بعض الكلمات الأولية. وأعطى إقليدس تعريفا للنقطة بأنها الشيء الذي لا يوجد له بعد. وعرف المستقيم بأنه الشيء الذي ليس له عرض ولكن له طول. وهذا التعريف غير مقبول بسبب وجود كلمات غير معرفة مثل البعد والطول والعرض.
• غير دوري: بمعنى آخر، يجب ألا يتم تعريف الحرف (س) باستخدام الحرف (ص)، وعلى العكس، يجب تعريف الحرف (ص) باستخدام الحرف (س)؛ وعلى سبيل المثال، إذا قيل إن المستقيم يتكون من عدد من النقاط ويتم تعريف النقطة بأنها مكان اجتماع مستقيمين معا، فإن هذا التعريف غير صحيح لأنه متداول.
• الوحدانية: يجب أن يتم التعريف لأحد الكلمات بشكل جيد، بحيث لا ينطبق هذا التعريف على كلمات أخرى مثل تعريف المستقيم كونه عددا من النقاط، فإنه تعريف غير مقبول ينطبق أيضا على الدائرة والمثلث والمربع.

البديهيات Axioms

البديهيات عبارة عن مجموعة بسيطة التركيب من الفرضيات ذات البيان الواضح والعدد القليل، والتي دوماً ما تكون صادقة بالنظام البديهي لا تتطلب وجود برهان، حيث إن البديهيات تتكون من كلاً من الكلمات المعرفة والكلمات الأولية، وقد قام هلبرت بوضع تعريف للبديهية على أنها (فرضيه تدور حول الكلمات الأولية) في حين عرفها باسكال بأنها ( بلغت حداً من الوضوح بحيث يستحيل الحصول على جملة أوضح منها للبرهنة عليها)، وبذلك فإن البديهيات تتعلق بالنظام البديهي وقد تكون أحد البديهيات بنظام بديهي ما مبرهنة بنظام بديهي آخر.

المبرهنات Theorems

تعد بمثابة حقيقة في النظام البديهي تتطلب البرهان، ويتم ذلك باستخدام البديهيات أو المبرهنات السابقة التي تمت برهنتها، وذلك يعني أن المبرهنة هي مجرد استنتاج منطقي يتعلق بالنظام البديهي، وفي هذا السياق هناك ملاحظة تقول إن الهندسة تعد واحدة من الأمثلة على الأنظمة البديهية التي تم ذكرها وهي نظام محدود بشكل واضح بعدد محدود من النقاط.

البديهيات كأسس معرفية

تعد واحدة من القصص التي تروى منذ القدم عن المفاهيم الأساسية ودورها، وهي عبارات بديهية يمكننا استخدامها لإقامة نظريات ذات صلة باليقين المعرفي. استوحى فيفرمان تعريفا بديهيا للرياضيات من قاموس أكسفورد الإنجليزي، يصف الرياضيات بأنها “اقتراح بديهي لا يتطلب إثباتا رسميا لصحته، ويتم قبوله والموافقة عليه مباشرة عند ذكره.

تلك القصة تم دعمها بحقيقة أن البديهيات الأولى التأسيسية لم تنشأ إلى حين سنة 1879 ميلادية، وكانت هذه الحقبة الزمنية بالتحديد فترة من ضعف اليقين بالرياضيات والتي دعت الهندسة غير الإقليدية نحو التساؤل حول مدى الوضوح الذي من الممكن عرضه، والكثير مما يطلق عليه (النظريات) بالتحليل الحقيقي توضح مدى تعارضها فيما بينها.