تطبيقات على نظرية ديموافر

سبب تسمية نظرية ديموافر

تعتبر نظرية ديموافر أهم النظريات الرياضية التي تعمل على تطوير الهندسة التحليلية، وهي مفيدة في الحصول على العلاقات بين الدوال المثلثية ذات الزوايا المتعددة.

نلاحظ أن سبب تسمية هذه النظرية يعود إلى العالم الفرنسي أبراهام دي موافر وهو عالم رياضيات شهير، وكان له علاقات وطيدة مع الكثير من العلماء مثل العالم جيمس ستيرلينج وكريستيان هينجز، وعمل ديموافر بالعمل على نظريات هؤلاء العلماء وتطويرها، وكان ديموافر شغوف بالعلم حيث أنه منذ صغره التحق بأكاديمية سومر وبعدها التحق بكلية تدعى دي هاركورت الكائنة في باريس، وظل ديموافر متواصلاً في دراسة الرياضيات، وقد كتب كتاب سماه مذهب الفرص الذي كان يتضمن نظرية الاحتمالات، اشتهر ديموافر بصيغة نظريته ديموافر بالإضافة إلى اشتهاره بالأعمال المرتبطة بالأعداد المركبة وحساب المثلثات.

نبذة عن حياة ديموافر

ولد إبراهام ديموافر في 26 مايو 1667 في عائلة بروتستانتية، وهاجر من فرنسا عندما كان عمره 18 عاما، واستقر في لندن. وبعد وصوله إلى لندن قريبا، حصل على نسخة من كتاب العالم نيوتن وأصبح خبيرا في نظرية نيوتن.

تم انتخاب ديموافر في الجمعية الملكية عام 1697 وتعيينه في لجنة عام 1712 التي عملت على حسم المعركة بين نيوتن وليبنيز حول من يمتلك حق الادعاء بأنه مخترع التفاضل والتكامل، وقد حسمت اللجنة الأمر لصالح نيوتن، ثم قدم ديموافر العديد من المساهمات في مجال الرياضيات وخاصة في نظرية الاحتمال والجبر وعلم المثلثات.

ظل الفرنسي في إنجلترا حتى توفي فيها في السابع والعشرين من نوفمبر عام ١٧٥٤، ودفن في كنيسة في منطقة ويست منستر. وفترة لاحقة، تم نقل جثمانه من تلك الكنيسة إلى منطقة أخرى وفقا للسجلات التاريخية. تناقلت الصحف أنباء وفاته، حيث تنبأ بتاريخ وفاته وشعر بالإرهاق المستمر في آخر أيام حياته، وكان ينام فقط خمس عشرة دقيقة في اليوم. تنبأ بأنه سيموت عندما يصل إجمالي ساعات النوم في الأيام إلى أربع وعشرين ساعة، وهذا يعني أن مجموع الدقائق التي ينامها في كل ليلة ستصبح أربع وعشرين ساعة، وعندها سيموت.

صيغة ديموافر

يُعدُّ تعبير ديموافر بيان رياضي حيث لدينا أي عدد حقيقي ممثل بالحرف X والصيغة هي:

(cos x + i sin x) ^ n = cos (nx) + i sin (nx)

حيث أن n هو عدد صحيح موجب  و i هو الجزء التخيلي و i = √ (-1) وافترض أيضاً أن i² = -1 ، ويمكن إظهار النتيجة صحيحة عندما تكون n عدداً صحيحاً سالباً، وإن صيغة ديموافر تكون نتيجة مباشرة لصيغة أويلر والتي تكون بالشكل التالي:

Exp (i=x)= cos(x)+ l sin(x)

استخدامات نظرية ديموافر وتطبيقاتها

تُستخدم هذه النظرية في مجال الرياضيات وتتجلى تطبيقاتها في:

• تستخدم هذه النظرية للبحث عن القوى النونية للأعداد التي تكون في شكل مثلثي، وتأتي بالصيغة التالية: Z^= r^(cos(nx)+l sin (nx) K. يمكن أيضًا الحصول على الأشكال المثلثية cos(nx) وsin(nx) بتعويض sin(x) وcos(x).
• وتستخدم نظرية ديموافر لتوقع عمر الشخص حيث أن ديموافر عمل على وضع إحصائيات تتعلق بالوفاة بعد أن تم الحصول عليها من بيانات المدينة، وهذه من أحد تطبيقات هذه النظرية حيث أنها تفيد في توقع وحساب عمر الفرد خاصة في حالة التأمين على حياته، فلعب دوراً رئيسياً في نشر فكرة التأمينات على الحياة بين الناس.
• تتمتع هذه النظرية بمكانة كبيرة في المدارس والجامعات، حيث يتم تدريسها إلى يومنا هذا كجزء هام من مادة الرياضيات، ويستفيد منها الطلاب بصورة كبيرة خلال فترة تعليمهم.
• تستخدم هذه النظرية للعثور على جذور الأعداد المركبة.
• يتم تطبيق هذه النظرية للحصول على العلاقات بين قوى الدوال المثلثية وزوايا المثلثية.

اثبات نظرية ديموافر

يستخدم الاستقراء الرياضي لإثبات هذه النظرية، ونعرف أن

(cos x + i sin x) n = cos (nx) + i sin (nx) … (i)

فإن لإثبات هذه المعادلة يجب أن نتبع:

• الخطوة الأولى والتي تكون قيمة n=1 فهنا لدينا:

                                                       (cos x + i sin x)¹ = cos(1x) + i sin(1x) = cos(x) + i sin(x)

• الخطوة الثانية هي افتراض أن الصيغة الصحيحة لــ n=k

                                                                        (cos x + i sin x)^k = cos(kx) + i sin(kx) ….(ii)

• تتم الخطوة الثالثة بإثبات صحة النتيجة لـ n=k+1

                                                    (cos x + i sin x)^k+1 = (cos x + i sin x)^k (cos x + i sin x)

                                                     = (cos (kx) + i sin (kx)) (cos x + i sin x) [Using (i)]

                                                     = cos (kx) cos x − sin(kx) sinx + i (sin(kx) cosx + cos(kx) sinx)

                                                    = cos {(k+1)x} + i sin {(k+1)x}

                                                    => (cos x + i sin x)^k+1 = cos {(k+1)x} + i sin {(k+1)x}

نظرًا لأن النظرية صحيحة لـ n = 1 و n = k + 1، فإنها صحيحة لأي n ≥ 1.

تمارين على نظرية ديموافر

• التمرين الأول :

إذا كانت z = (cosθ + i sinθ) وينطبق عليها zn + 1/zn = 2 cos nθ و zn – [1/zn] = 2i sin nθ

• الحل

z = (cosθ + i sinθ ) بحسب نظرية ديموافر 

zⁿ = (cosθ + i sinθ )ⁿ = cos nθ + i sin nθ 

• التمرين الثاني:

حل على طريقة نظرية ديموافر (1+ i)¹⁸

• الحل

إذا كان 1+ i = r (cosθ + i sinθ ) فسنحصل على

• التمرين الثالث 

مشكلة تقييم هذه  (2 + 2i)⁶

• الحل

إذا كان  z = 2 + 2i

عندما تكون r = 2√2 وθ = 45، فإنه يتم تعيين قيمة r بهذه الطريقة

ونظراً لأن الزاوية θ تقع في الربع الأول، فإن الدوال السائدة sinθ وcosθ تكون موجبة .

ويمكن تطبيق نظرية ديموافر على هذا التمرين كما يلي

z⁶ = (2 + 2i)⁶ = (2√2)⁶ [cos 45⁰ + i sin 45⁰]⁶

= (2√2)⁶ [cos 270⁰ + i sin 270⁰]⁶

= – 512i

• التمرين الرابع

عبر عن خمسة جذور لـ (√3 + i) بشكل مثلثي

• الحل

نعلم بأن z = a + ib = r(cos x + i sin x)

حيث أن قيمة r تساوي r = sqrt{a^2+b^2}a2+b2​ and tan x = (b/a)

حيث أن r يساوي العدد 2 والزاوية تساوي 30 درجة r = 2 و θ = 3

وبالتالي تكون قيمة الــ z تساوي   z = 2[cos(30⁰ + 360⁰ k) + i sin cos(30⁰ + 360⁰ k)]

إذا تم تطبيق نظرية الجذر للجذر n، سيكون الناتج كما يلي

z^1/5 = {2[cos(30⁰ + 360⁰ k) + i sin cos(30⁰ + 360⁰ k)]}^1/5

= 2^1/5 [cos((30⁰ + 360⁰ k)/5) + i sin cos((30⁰ + 360⁰ k)/5)] …(1)

حيث أن قيمة k تكون   k = 0,1,2,3,4

k = 0; (1)=> z₁ = 2^1/5 [cos 6⁰ + i sin 6⁰]

k = 1; (1)=> z₁ = 2^1/5 [cos 78⁰ + i sin 78⁰]

k = 2; (1)=> z₁ = 2^1/5 [cos 150⁰ + i sin 150⁰]

k = 3; (1)=> z₁ = 2^1/5 [cos 222⁰ + i sin 222⁰]

k = 4; (1)=> z₁ = 2^1/5 [cos 294⁰ + i sin 294⁰]