تبسيط العبارات الجذرية

من أهم أهداف تدريس الرياضيات في الصف الثالث المتوسط هي غرس العقيدة الدينية في نفوس الطلاب، وجعل الوازع الديني أساسا للسلوكيات والأفعال، وتعزيز حب الله وتقوية الصلة بين الطالب وربه، وتزويد الطلاب بالمعارف والمعلومات المناسبة لعمرهم، وتشجيعهم على التأمل والبحث عن المعلومات والمعرفة، وتربيتهم على أسس اجتماعية دينية مبنية على الحب والتعاون والقدرة على تحمل المسؤوليات، وغرس روح حب الوطن والإخلاص له وخدمته، وتدريبهم على استغلال الوقت بشكل جيد للحصول على المعرفة من خلال القراءة، بالإضافة إلى تقوية الوعي والتأهيل للمراحل القادمة .

تتنوع الدروس والمواد وتختلف في التعامل مع هذا المفهوم لتنشئ جيلًا قويًا متسلحًا بالعلم والإيمان. ومن أهم الدروسالتي يبحث عنها الطلاب في مادة الرياضيات هو درس تبسيط العبارات الجذرية، الذي يتم شرحه في المقال التالي مع الأمثلة .

الجذور التربيعية

في الدروس السابقة من الجبر تعلمنا ذلك :

3^2- = 3- ، 3- = 9

3²=3⋅3=9

9 مربعة 3، و-3 مربعة هي 9 أيضًا .

 لذلك يمكن القول أن 3 و-3 هما الجذور التربيعية للرقم 9 .

جميع الأرقام الحقيقية لها جذرين مربعين، جذر مربع واحد إيجابي وجذر مربع واحد سالب. يشار في بعض الأحيان إلى الجذر التربيعي الموجب باسم الجذر التربيعي الرئيسي. تم توضيح سبب وجود جذرين مربعين أعلاه، ومعروف أنه إذا كانت الأرقام المضروبة لها نفس الإشارة، فإن نتيجة الضرب ستكون إيجابية، وهذا ينطبق على المربعات والجذور التربيعية .

أ²=أ⋅أ=(-أ)*(-أ) .

يتم كتابة الجذر التربيعي باستخدام رمز الجذر √، وتحته يتم وضع الرمز `أ` أو القيمة التي نريد إيجاد جذرها. على سبيل المثال، أ – √ = أ .

عندما نريد الإشارة إلى الجذر التربيعي الإيجابي والسالب معًا، نضع الرمز ± قبل الجذر، على سبيل المثال: ± 9-√ = ± 3 .

ملحوظات هامة 

• الصفر له جذر تربيعي يساوي 0، 0√= 0 .
• الأرقام السالبة لا تحتوي على جذور مربعة حقيقية، لأن المربع يكون إما موجبًا أو صفرًا .
• إذا كان الجذر التربيعي لعدد صحيح هو عدد صحيح آخر ، فإن المربع يسمى مربع مثالي ، على سبيل المثال 25 هو مربع مثالي لأن ± 25–√= ± 5 ، ±25=±²5 .
• إذا لم يكن المربع مربعا مثاليا، فإن الجذر التربيعي ليس عددا صحيحا، وبالتالي يجب عليك تقريب الجذر التربيعي إلى ± 3-√ = ± 1.73205 … تقريبا ± 1
• جذور الأعداد غير المربعة الكاملة تكتب على شكل أعداد عشرية، ولا يمكن كتابتها على شكل حاصل عددين صحيحين، وهذا يعني أنها ليست مربعةً مثاليةً .

خطوات تبسيط العبارات الجذرية

تبسيط الجذور التربيعية

يتم تبسيط العبارات الجذرية عن طريق كتابتها بطريقة أسهل للفهم والتطبيق في مسائل الرياضيات، ويتم ذلك عبر عدة خطوات

أولا : إذا كان العدد تحت الجذر زوجيا، يتم تقسيمه على أصغر عدد أولي ممكن وهو العدد (2)، أما إذا كان فرديا، فيجب محاولة تقسيمه على (3)، ولكن إذا لم يحدث عددا صحيحا في ناتج القسمة، يتم تجربة القسمة على الأعداد (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17) حتى يتم الحصول على عدد صحيح في ناتج القسمة .

مثال على ذلك هو 98 √ = (2 ×49)√ .

ثانيا : ثم يتم إعادة كتابة الجذر التربيعي كمسألة ضرب عادية، ففي المثال قسمنا العدد 98 على 2 وكان الناتج 49، وبالتالي تم تبسيط العدد 98 إلى 49 × 2 .

98 √ = (2 ×49) √= (2 ×7 ×7)√ .

ثالثا : نكرر عملية التبسيط مرة أخرى على أحد العددين السابقين تحت الجذر، وباستخدام الأعداد السابقة التي ذكرناها (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17)، سنجد أنه عند قسمة العدد على 2، على سبيل المثال، سيكون الناتج عددا غير صحيح، لأنه لا يمكن تقسيم 49 على 2 دون باق. ونفس الأمر ينطبق عند القسمة على 3 أو 5. ولذلك، يتم قسم العدد 49 على 7 للحصول على ناتج قسمة صحيح دون باق، ويتم تبسيط العدد 49 إلى 7 * 7، ويتم كتابة الجذر كالتالي:

98 √ = (2 ×49) √= (2 ×7 ×7)√ .

رابعا : عندما يكون لدينا عددان متساويان تحت علامة الجذر، يمكننا تحويل هذين العددين إلى عدد صحيح واحد خارج علامة الجذر، ويظل العدد الآخر تحت الجذر كما هو موضح في الشكل التالي:

98 √= (2 ×49 ) √ = (2 ×7 ×7) √ = 7 * 2√ .

خامسا : ليس من الضروري أن نستمر في تحليل العدد تحت الجذر إلى عدد أصغر، طالما حصلنا على عددان متماثلان من عوامل العدد، كما في مثال 16√ الذي يمكن تبسيطه إلى (4 × 4)√، وإذا استمررنا في تحليله إلى عوامل أصغر سيصبح (2 × 2 × 2 × 2)√، وسنحصل في النهاية على نفس النتيجة التي هي 4، ولكن سيتطلب ذلك زيادة الخطوات اللازمة للوصول إلىالنتيجة نفسها .

سادسا : يمكن تبسيط الجذر مرارا وتكرارا إذا كانت الأعداد أسفل الجذر كبيرة، عن طريق ضرب الأعداد الصحيحة التي تم استخراجها من تحت الجذر حتى يتم الحصول على الناتج النهائي كالتالي

180 √ = (2×90)√
180  √ = (2×2 ×45)√
180 √ = 2 * 45√
180 √ = 2 * (3×15)√
180√ = 2 * (3×3 ×5)
180√ = 2 ×3 * 5√
180 √ = 6  * 5 √

سابعا : إذا كان من غير الممكن إيجاد عوامل متشابهة في هذه الحالة، فإننا نقول إن هذا الجذر التربيعي لا يمكن تبسيطه. في هذه الحالة، يكون الجذر التربيعي هو أبسط شكل ممكن، ولا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. على سبيل المثال، عند تبسيط √70، يمكن تبسيطه كالتالي: 2 × 35 √. ثم يمكن تبسيطه مرة أخرى ليصبح 2 × 5 × 7 √. هذه الأعداد الثلاثة تحت الجذر هي أعداد أولية لا يمكن تبسيطها إلى أرقام أصغر والحصول على أعداد صحيحة عند القسمة عليها. وبالتالي، نقول إن √70 لا يمكن تبسيطه .

مربعات الارقام