بحث عن متوازي الاضلاع

المقصود بمتوازي الاضلاع (Parallelogram) :
هو شكل هندسي رباعي مجموع زواياه 360 درجة ، فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ، فمثلاً إذا نظرنا إلى الشكل المقابل سنجد أن الضلع (AB) يوازي الضلع المقابل له (DC) ، والضلع (DA) يوازي الضلع المقابل له ((CB ،كما نلاحظ أن أى مستقيم يمرّ بمركز متوازي الأضلاع يقوم بتقسيمه إلى شكلين متطابقين.

خصائص متوازي الاضلاع :
– كل ضلعين متقابلين متطابقين : أي متساويين في الطول ،  بمعنى أن الضلع (AB) يطابق الضلع (DC) ، والضلع (DA) يطابق الضلع ((CB.
– كل زاويتين متقابلتين متساويتين : بمعنى أن الزاوية (A) تطابق الزاوية (C)  ، والزاوية (B) تطابق الزاوية  .(D)
– الزوايا المتحالفة متكاملة ، ويُقصد بالزوايا المتحالفة هي الزوايا التي تنتج من تقاطع مستقيمين متوازيين مع مستقيم آخر ، فمثلاً في الشكل السابق المستقيم (AB) يوازي المستقيم (DC) ويقطعهما المستقيم (DA) ، وينتج من هذا التقاطع زوايتين وهما (A) و (D) ، و یکون هاتان الزاويتان متحالفتين ومتكاملتين أى أن مجموعهما يساوي 180 درجة. وعلي نفس هذا الأساس ستكون الزاويتان ((B و  (A)متحالفتین ومتکاملتین ، وكذلك الزاويتان (B) و (C) ، والزاويتان (C) و (D).
إذا كانت إحدى زوايا المتوازي الأضلاع قائمة، فإن كل الزوايا الأربعة ستكون قائمة، وذلك لأن كل زاويتين متقابلتين متطابقتين، وبالتالي فإن وجود زاوية قائمة بزاوية 90 درجة يجعل جميع الزوايا التي تطابقها تكون أيضًا بزاوية 90 درجة.
– القطران ينصّف كل منهما الآخر ، فكل قطر يقسم القطر الثاني إلى قسمين متساويين. ففي الشكل لدينا قطران القطر الأول هو (AC) والثاني هو (BD) ، وبذلك يكون (AE) يساوي (EC) ، و (DE) يساوي (EB).

محيط متوازي الاضلاع :
يعلم الجميع أن محيط أي شكل مضلع يساوي مجموع أطوال أضلاعه. وبالنسبة للأشكال ذات الأضلاع المتوازية، تم دمج القاعدة العامة للأشكال المضلعة مع خصائصها لتصبح محيط الشكل يساوي مجموع طول الضلع الأكبر والأصغر ضربه في 2 .

إرتفاع متوازي الاضلاع :
يُقصد بإرتفاع متوازي الاضلاع هو طول العمود النازل من أحد رؤوسه على الضلع المقابل أو امتداده ، ففي الشكل الذى بالأسفل ، العمود (H1) هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة (AB) ، وأيضاً العمود (H2) هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة (BC) .

مساحة متوازي الاضلاع :
يمكن حساب مساحة متوازي الاضلاع من خلال ثلاثة أشياء : تعني الإشارة إلى القاعدة، الزاوية، ومساحة المثلث.
يتم حساب مساحة المتوازي الأضلاع عن طريق ضرب طول القاعدة بطول الارتفاع المتعلق بهذه القاعدة

يتم حساب مساحة المستطيل بضرب طول الضلع الأول في طول الضلع الثاني المجاور له وبضرب جيب الزاوية. ويتم حساب جيب الزاوية بقسمة طول الضلع المقابل للزاوية على الوتر في مثلث قائم الزاوية، حيث يعد الوتر هو الضلع المقابل لهذه الزاوية.

مساحة المستطيل متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة المثلث، علمًا بأن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع.

حالات خاصة لمتوازي الاضلاع :
يعتبر المربع والمستطيل والمعين كحالات خاصة من متوازي الأضلاع، حيث لهم خصائص مميزة قليلاً تميزهم عن غيرهم
– المربع : تتساوى جميع أضلاعه في الطول، وتكون جميع زواياه حادة، ولهأقطار متعامدة.
– المستطيل : جميع زواياه متساوية في الطول.
– المعيّن : كل أضلاعه متساوية ، وقطراه متعامدين.

تمارين :
تمرين (1):
متوازي اضلاع مساحته 36cm² وارتفاعه 4cm فما هو طول القاعدة؟
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
طول قاعدة المتوازي المستطيل = مساحته ÷ طول الارتفاع
طول القاعدة = 36÷4 =9 cm

تمرين (2) :
في الشكل الذي بالأسفل ، ABCD متوازي أضلاع فيه : AF=9cm ، CB=8cm ، AN=6cm
احسب طول DC

الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
المساحة = CB× AF = 9× 8
إذاً المساحة = 72 cm²
ومن قانون المساحة = طول القاعدة × الارتفاع
المساحة = DC × AN
72= DC× 6
DC = 72÷  6= 12 cm

تمرين (3) :
لدى متوازي أضلاع طول قاعدته 6سم وارتفاعه 4سم، فإن مساحته يساوي كما يبلغ طول ارتفاع الضلع الأطول إذا كان طول الضلع المجاور 5سم
الحل :
مساحة المتوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع
المساحة = 6×4= 24 cm²
الارتفاع الأقصى = المساحة ÷ القاعدة الصغرى
الارتفاع = 24 ÷ 5 = 4.8 cm