بحث عن ضرب المصفوفات

المصفوفات هي مجموعة مستطيلة تحتوي على أرقام أو كلمات أو رموز، ويطلق عليها المصفوفة لأن العناصر الموجودة بها ترتب بشكل مستطيلي في صفوف وأعمدة، وتتكون المصفوفات من نوعين، المصفوفة الحقيقية والمصفوفة المعقدة، والإدخالات في المصفوفة المعقدة غالبا ما تكون أرقاما حقيقية أو مركبة، وتتميز المصفوفة بترتيبها التقليدي المكون من صفوف وأعمدة .

تاريخ المصفوفات
و المصفوفات لها تاريخ عريق و الذي قد بدأ مع اكتشافها في العام 1800 م ، و ظلت عبر الزمان تستخدم في العديد من المعادلات الخطية و الرياضية حول العالم ، حتى وصلت إلى الصين و عبرت العالم أجمع حتى تعرف عليها العالم و أصبحت عامل أساسي و مهم في جميع المجالات المختلفة للعلوم حول العالم ، و لا يمكن الاستغناء عنها .

شكل المصفوفة و حجمها
و تتكون المصفوفة من الأعمدة الرأسية و الصفوف الأفقية ، و تعرف المصفوفة في الرياضيات بالرمز ( م ن ) ، أما أعمدة المصفوفة فيرمز لها بالرمز ( و م x ن ) ، أما أبعاد المصفوفة تعرف بالرمز ( م و ن ) ، و الجدير بالذكر أن المصفوفة لها عدة أشكال منها المصفوفة ذات الصف الواحد و التي تعرف باسم نواقل التوالي ، و هناك مصفوفة ذات العمود الواحد و التي تعرف باسم ناقلات العود ، أما المصفوفة التي تملك عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة تعرف باسم المصفوفة المربعة ، نسبة إلى شكلها المربع ، أما المصفوفة ذات عدد كبير من الصفوف و الأعمدة و التي من الصعب تحديده تعرف باسم المصفوفة اللا نهائية ، و أخر شكل للمصفوفات هي المصفوفة الفارغة و التي لا تحتوي على أعمدة أو صفوف .

ضرب المصفوفات
هي عملية حسابية تتم على المصفوفة، حيث يتم ضرب عدد معين أو مصفوفة معينة بمصفوفة أخرى، ويتم الحصول على نتيجة الضرب، وتسمى هذه العملية باللغة الإنجليزية Matrix multiplication، وتعرف غالبًا باسم ضرب المصفوفات العادية، وسيتم شرح هذه العملية فيما يلي

سنستخدم إحدى عمليات ضرب المصفوفات الأسهل والتي تعد جزءا هاما في الرياضيات، وهي ضرب المصفوفات A و B. يتطلب ضرب المصفوفات أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى متساويا لعدد صفوف المصفوفة الثانية. لذا، إذا كانت A من الدرجة m×n و B من الدرجة n×p، فإن نتيجة العملية هي C = A⋅B من الدرجة m×p .

أما إذا قمنا بعمل عملية ضرب لسلسلة من المصفوفات و التي تمتع بدرجات n1×n2، n2×n3 وnk−1×nk، فسوف نجد أن نتيجة ضرب هذه المصفوفة سوف تكون من درجة n1×nk ، و بذلك فإننا نجد أن هذه المصفوفات عند تعرضها لعملية الضرب لا تكون عملية تبديلية ، و ذلك لأنها لا يمكن أن يكون الضرب عملية معرفة ، إذا قمنا باستبدال المصفوفتان .

إذا قمنا بمتابعة هذه العملية Cm×q=Am×n⋅Bn×q، سنجد أن حساب كل عنصر في المصفوفة هو نتيجة عملية الضرب، وذلك من خلال المعادلة التالية: ci,j=∑k=1nai,k⋅bk,j.

بالتالي، يمكننا أن نجد العنصر الموجود في الصف i والعمود J كجزء من المصفوفة الناتجة عن عملية الضرب، والتي تستخدم لحساب الجداء الداخلي للمتجهين المكونين من الصف i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. يمكن فهم هذه العملية من خلال المعادلة التالية: [⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a3,1a3,2a3,3a3,4]⏞A3×4[⋅⋅⋅b1,4⋅⋅⋅⋅b2,4⋅⋅⋅⋅b3,4⋅⋅⋅⋅b4,4⋅]⏞B4×

5=[⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅c3,4⋅]⏞C3×5

إذ يتحقّق: c3,4=a3,1⋅b1,4+a3,2⋅b2,4+a3,3⋅b3,4+a3,4⋅b4,4
يجب الإشارة إلى أن عملية الضرب بين هذه المصفوفات لا تكون عملية تبديلية عامة، بل تكون عملية تبديلية معينة مثل AB≠BA .

توجد خصائص محددة لضرب المصفوفات العادية
يمكن استثناء الحالة الخاصة المذكورة سابقًا لأن المصفوفتين هما قطريتين، وبالتالي يمكن تطبيق عملية الضرب بشكل تدريجي .
– عملية ضرب المصفوفات تعتبر عملية تجميعية ، حيث أن :
(AB)C=A(BC).
إذا كانت عملية ضرب المصفوفات عملية توزيعية ، فستكون النتيجة كما يلي:
A(B+C)=AB+AC
A+B)C=AC+BC)