بحث عن ضرب العبارات النسبية وقسمتها

لكي نستطيع القيام بضرب وقسمة العبارات النسبية، علينا أولاً معرفة المقصود بالعبارات النسبية، فالعبارة النسبية هي التي تحتوي على بسط ومقام، وهناك نوعين من العبارة النسبية، نوع يخص الأعداد ونوع آخر يخص المعادلات. وهناك ما يسمّى بالعامل المشترك الأكبر وهو اكبر قاسم للعددين بدون باقي، ولكي نحصل عليه يجب أن يتم تحليل كل عدد إلى عوامله الاولية، ثم يتم تحديد ما بينهما من عوامل مشتركة.

كيف يتم تبسيط العبارات النسبية :
يتم ذلك من خلال قسمة كل من البسط والمقام على العامل المشترك الاكبر لهما، وهي نفس الطريقة التي يتم استخدامها لتبسيط الكسور.

مثال (1) : بسّط العبارة التالية.

الحل :
اولاً :
يتم تحليل العبارة الأولى بحثًا عن عددين، حيث يتم الحصول على الناتج 3 عند ضربهما في بعضهما، ويتم الحصول على الناتج 4 عند جمعهما أو طرحهما، والإجابة هي 3 و 1.

ثانياً :
في العبارة النسبية الثانية، لا نستطيع تحليلها بطريقة المقص، وذلك لأحتوائها على حدين فقط، بل يتم حلها من خلال قانون (x²-a²) =(x-a)(x+a) ، حيث يتم تطبيقه على المسألة .

ثالثاً :
يبدأ عملية اختصار البسط بالمقام، ومن ثم ينتهي التبسيط بالشكل التالي

مثال (2) : نحن نريد إيجاد قيمة لـ X تجعل العبارة غير معرفة في هذه المسألة.

الحل :
اولاً :
لجعل العبارة غير معرفة، يجب تساوي المقام مع الصفر، ثم يتم حساب قيمة X، ولكن يجب تحليل المقام أولاً باستخدام طريقة المقص والبحث عن عددين إذا تم ضربهما يعطيان الرقم 8، أما إذا تم جمعهما أو طرحهما فإن الناتج يكون 6، ويصبح العددان هما 4 و 2.

ثانياً :
يتم تعويض المقام ومساواته بالصفر، ثم يتم توزيع الصفر، وإيجاد القيم الصحيحة لـ X، وبعد ذللك، يتضح أن القيم الصحيحة لـ X هي -2 و -4 و 5.

مثال (3) : يمكن تبسيط العبارات النسبية بإخراج العامل المشترك -1.

الحل :
اولا :
تتم تبسيط العبارة التي تحتوي على تربيع، ويتم استخراج العامل المشترك الذي يحتوي عليها وهو w، حيث لا يمكن استخدام طريقة المقص لأن العبارة تحتوي على حدين فقط.

ثانياً :
نلاحظ وجود حد مشترك في البسط والمقام، ولكنهما يختلفان في العلامات، وحتى يتم جعلهما متشابهين يتم ضمُّ عامل (-1) مشترك في البسط، وتصبح المسألة كما هو موضح في الصورة

ثالثاً :
يتم تقليل الحدود المتشابهة مع بعضها البعض والوصول إلى النتيجة الأسهل.

مثال (4) : بسّط العبارة التي في الصورة .

الحل :
اولاً:
نلاحظ أن الحد الموجود في البسط له قانون خاص به، حيث X³-y³ يساوي (x-y) (x²+xy+y²)، فنقوم بالتعويض بذلك في المسألة كما في الصورة.

ثانياً :
نجد أن الحد الموجود في المقام متشابه مع الحد الموجود في البسط مع اختلاف الإشارة – كما حدث في المسألة السابقة – ولذلك يتم تحديد أي من الحدود يتم تغيير إشارته، ثم يتم استخراج -1 كعامل مشترك واختصار الحدود المتشابهة واستخراج الناتج كالتالي.

مثال (5) : بسّط العبارة النسبية التالية

الحل :
اولا :
يتم تحليل العبارة الاولى (x²-6x-16) وذلك عن طريق المقص، حيث يتم إيجاد عددين إذا تم ضربهم يكون الناتج -16، وإذا تم جمعهم أو طرحهم يكون الناتج -6، فيكون العددان هما -8 و2 ، ثم يتم التعويض في العبارة كما يلي.

ثانياً :
يتم تحليل العبارات (X²-16x+64) و (X²+5x+6) بنفس طريقة المقص كما حدث في العبارة السابقة، وإيجاد الأرقام والتعويض عنها، ثم القيام بأختصار العبارات المتشابهة في البسط مع المقام  لكي يتم الحصول على النتيجة النهائية.

مثال (6) : قم بتبسيط هذه العبارة .

الحل :
اولاً :
يتم تحويل العملية القسمة إلى عملية ضرب من خلال تحويل البسط إلى المقام والمقام إلى البسط في الحد الثاني .

ثانياً :
يتم البدء بالعبارة الاولى وتحليلها، ويكون تحليلها عن طريق قانون (X²-a²)=(x-a) (x+a)، ثم التعويض في المسألة.

ثالثاً :
في العبارة (y²-3y-18) یتم تحلیلها بالبحث عن عددين حاصل ضربهم يكون -18، وحاصل جمعهم أو طرحهم هو -3، فيصبح العددان هما -6 و 3، ثم يتم التعويض في المسألة.

رابعاً :
يتم إيجاد العامل المشترك في العبارة (12y+36) ، و تحليل العبارة (y²-3y-18) كما حدث في السابق، ثم يتم التعويض في المسألة و إختصار البسط والمقام مع بعضهما البعض للحصول على الناتج النهائي كما في الصورة.