دوال التغير هي مفهوم حيوي بالنسبة لأي شخص يريد تعلم الرياضيات، سواء كان ذلك للجبر أو الحساب التفاضلي والتكاملي أو الفيزياء الرياضية. تمثل الدالة تعبيرا رياضيا يمكن اعتباره كنظام إدخال، وهو يربط متغير مستقل واحد بمتغير تابع واحد. يمكن إدخال قيمة معينة للمتغير المستقل، واستخدام التعبير الرياضي الذي يتواجد في الدالة للحصول على قيمة المتغير التابع. يمكن أن يجد البعض صعوبة في فهم دوال التغير الحسابية في الرياضيات وأنواعها، ولذلك سوف نقدم تفسيرا مفصلا ومزودا بأمثلة للمساعدة في الفهم والاستيعاب .
الدالة Function
الدالة هي آلة تحتوي على مدخلات ومخرجات، ويتم ربط الإخراج بالمدخلات بطريقة معينة. وتتألف المدخلات من مجموعة أولية من العناصر، وتسمى هذه المجموعة بالمجال. ويمثل كل عنصر في المجال عنصرا منفصلا. وتتألف المخرجات من مجموعة ثانوية من العناصر، وتسمى هذه المجموعة بالمدى. ولا يمكن لعنصر من المجال أن يتصل بأكثر من عنصر واحد في المدى. ويشير المدى إلى مجموعة القيم الفعلية التي يمكن أن تأخذها الدالة. ولا يجب الخلط بين المدى والمجال، حيث يمكن للدالة أن تغطي جزءا فقط من المجال وتترك أجزاء أخرى دون تغطيتها.
كمثال الدالة التربيعية
تتألف الدوال دائما من ثلاثة أجزاء رئيسية
المدخل
العلاقة
الإخراج
مثال: “الضرب * 2” هي دالة بسيطة جدًا.
المدخل العلاقة الإخراج
0 × 2 0
1 × 2 2
7 × 2 14
10 × 2 20
… … …
بعض الأمثلة على الدوال :
الدالة الخطية : س+1
الدالة التربيعية : س2
الدالة التكعيبية : س3+4
وظائف في علم المثلثات مثل الجيب والجيب التمامي والظل والكثير غيرها
أشكال دوال التغير
يستخدم حرفي السين والصاد كثيرًا في تمثيل الدوال، ويمكن تمثيل الدوال بأشكال مختلفة مثل التمثيل البياني والتمثيل الجبري والتمثيل بالكشوف والتمثيل الكتابي .
الشكل الأول التمثيل عبر الأساليب الجبرية:
مثال على هذا : باستخدام دالة الرياضيات د(س) = 3س + 1، احسب قيم الدالة عندما يكون المتغير: 3، -6، 2.5، 0، -0.5
بحل المسألة :
د(3) = 3 (3) + 1 = 10، د(-6) = 3 (-6) + 1 = -17، وبنفس الطريقة ستجد القيم الأخرى 2.5 و1 و-0.5 .
الكيفية الثانية التمثيل البياني للدوال
تتمثل طريقة تمثيل المكونات المخصصة للمجال على محور الأرقام الأفقي، بينما تتمثل المكونات المخصصة للنطاق على محور الأرقام الرأسي، ويتم تمثيل كل عنصر والصورة المخصصة له على شكل زوج من الإحداثيات، ويتمثلان معًا في نقطة واحدة، وعند الاتصال بينهما، يتم الحصول على التمثيل البياني للدوال .
يمكن تنفيذ نفس المثال السابق وحله بالتمثيل البياني ، فبعد معرفة قيم المدى يتم عمل جدول بقيم الإدخال وتكون مكونات السينات س هي المجال وعناصر الصادات “ص” هي المجال المقابل أو المدى ، ويتم في تلك الكيفية تمثيل المكونات المخصصة بالمجال على محور السينات بينما تكون مكونات المدى على محور الصادات ، وكل عنصر والصورة المخصصة زوجا مرتبا و يمثلان سوياً نقطة واحدة وبعد التوصيل بينهم يكون الناتج هو التمثيل البياني للدالة ، ثم استخدام الإحداثيين سوياً بهدف وضع إحداثيات النقطة والتوصيل بين النقاط بعد ذلك .
الأشكال المتغيرة لدوال التغير
: هناك أشكال عديدة لدوال التغير في الرياضيات، ومن بين أشكال تقسيم الدوال هي الآتي:
تقسيم دوال التغير تبعاً لعدد المتغيرات
يمكن تقسيم الدالة حسب عدد المتغيرات في المجال إلى دالة تمتلك متغير واحد ودالة تمتلك متغيرين مستقلين ودالة تمتلك ثلاثة متغيرات، حيث يكون كل متغير منفصل بذاته .
تقسيم دوال التغير تبعاً لشكلها الرياضي
الدالة الثابتة هي إحدى الدوال الأكثر شيوعًا، حيث تحتوي على عنصر واحد فقط في نطاق المجال، مما يعني أن جميع القيم في المجال تولد قيمة واحدة للدالة.
دالة التطابق هي التي يتم فيها تعيين لكل عنصر في المجال المصدر عنصر مطابق في المجال الهدف .
هناك بعض الدوال التغيرية الأخرى المثلثية والجذرية واللوغاريتمية.
