بحث عن المشتقات في الرياضيات

يضم علم الرياضيات عدد كبير من العلوم الفرعية ولا سيما الجبر والهندسة والتفاضل والتكامل والديناميكا والاستاتيكا وغيرهم من العلوم الأخرى ، وقد يجد بعض الطلبة والطالبات نوعًا من الصعوبة في فهم بعض مجالات علم الرياضيات وخصوصًا دروس الرياضيات الخاصة بالدوال والمشتقات وقوانينها .

مُقدمة عن المشتقات

في البداية، يجب فهم معنى الميل (Slope)، حيث يعبر عن مقدار التغير بين قيمتين. فعلى سبيل المثال، إذا كانت القيمة الأولى ممثلة بحرف X، والثانية بحرف Y، فإن الميل يكون مقدار التغير في قيمة Y مقسومًا على التغير في قيمة X. والصورة التالية توضح ذلك:

يمكن حساب الميل من خلال حساب مقدار التغير بين قيمتين، ولكن في حالة عدم تمكننا من تقدير الميل عندما يكون مقدار الإزاحة قريبًا من الصفر، كما في الرسم الإحداثي بين المحورين السيني والصادي في نقطة واحدة، فيتم استخدام المشتقات.

تعريف المشتقات

تُستخدم المشتقات في الرياضيات كأحد الوسائل لحساب قيمة التغير اللحظي في كمية ما، وتم تعريف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى f(X) ويتم حسابها في أي نقطة، ويتم استخدام صيغة حساب الميل التالية:

يوضح الشكل التالي مقدار التغير في بعض الكميات المتمثلة في X و Y على النحو التالي:

وبذلك فإن مقدار التغير في قيمة X  يكون : X+DX

ومقدار التغير في قيمة Y  يكون : Y + DY

قيمة الميل هنا = Y + DY / X+DX

قواعد المشتقات في الرياضيات

تتم عملية الاشتقاق في الرياضيات من خلال مجموعة من القوانين الرياضية والقواعد الهامة، ومن أهم تلك القواعد هي القاعدة المعروفة باسم “Chain rule” التي تنص على:

إذا كنت ص = د (س)^ن ؛ فإن صَ = ن [ د (س) ^ن-1 × دَ (س) ] .

ومن قواعد التفاضل والاشتقاق بالرياضيات ، ما يلي :

قاعدة ثابتة

إذا كانت قيمة دالة ما في النقطة د (س) = 3، فهذا يدل على أن هذه الدالة تأتي بخط أفقي لا يميل، وبالتالي تكون قيمة التغير = صفر .

قاعدة الاشتقاق كثيرة الحدود

إذا كانت د (س) = س ^ن ؛ فإن د (س) = ن س ^ن-1

قاعدة جمع وطرح المشتقات

إذا كانت د(س) = ق (س) + هـ (س)، فإن d(س) = ق(س) + هـ(س)، شريطة أن تكون قابلة للاشتقاق عند s .

إذا كانت د(ص) = ق (ص) – هـ (ص)، فإنها تساوي ق (ص) – هـ (ص)، ما دامت قابلة للاشتقاق عند ص .

قاعدة ضرب المشتقات

ينص القانون على أنه إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند الحاصل الضربي لكميتين، فإن القانون يتم تطبيقه على النحو التالي:

مثال: إذا كانت ع = د (س) × ق (س)

إذا كانت A هي مشتقة من [ D (s) × Q (s) ] + [ D (s) × مشتقة Q (s) ]

يمكن تعبير القاعدة بأن مشتقة حاصل ضرب دالتين هي ناتج جمع ضرب المشتقة الأولى بالثانية وضرب الأولى بمشتقة الثانية

قاعدة قسمة المشتقات

إذا كانت الدوال ع وك قابلتين للاشتقاق عند س وكانت ك (س) لا تساوي صفر، فإن مشتقة الناتج من القسمة ستكون كما يلي:

د (س) = ع (س) / ك (س)، ويتم اشتقاق الدالة على النحو التالي:

دَ(س) = [ مشتقة ع (س) × ك (س) ] – [ ع(س) × مشتقة ك (س) ] / [ك(س)]²

ويمكن صياغة قانون اشتقاق قسمة دالتين نصيًا كما يلي : يتم حساب الناتج بطريقة (مشتقة الأولى × الثانية) – (الأولى × مشتقة الثانية) ويتم قسمة الناتج على مربع الثانية، ولكن يجب التأكد من ألا تكون قيمة الدالة الثانية تساوي الصفر .

قاعدة اشتقاق الكسور

إذا كانت ص = ك ^{(س / ق)}؛ فإن مشتقة ص = (س/ق) ك ^{(س / ق) – 1}بشرط أن يكون ناتج س / ق عدد نسبي وليس صحيح .

أمثلة محلولة على المشتقات

مثال1 : إذا كانت د(س) = 4س³ + 3 س² + س + 2 ؛ أوجد مشتقة الدالة .

جـ1: دَ(س) = 12 س ^{(3 – 1)} + 6 س ^{(2 – 1)} + س ^{(1 – 1)} + 0

= 12 س² + 6س¹ + س⁰

= 12 س2 + 6س + 1

مثال 2 : إذا كانت ص = س ^(3/2)

فإن صَ = 3/2 (س) ^{(1.5 – 1)} = 1.5 س ^0.5