بحوث للطلابتعليم

بحث عن المثلثات المتطابقة

تعريف تطابق المثلثات

يصف مصطلح التطابق بشكل عام وجود كائن وصورته المعكوسة، ويمكن القول أن أي كائنين متطابقين إذا تراكبا على بعضهما البعض.

تطابق المثلثات: يقال إن مثلثين متطابقين إذا كانت:

  •  الأضلاع الثلاثة المتناظرة ذات الأطوال المتساوية .
  • جميع الزوايا الثلاثة المتناظرة متساوية في القياس.

يمكن لهذه المثلثات الانزلاق والدوران والانعكاس والتحويل لتصبح متطابقة مع بعضها البعض إذا تغيرت أوضاعها ،

وعلامة تطابق المثلثات هي ≅.

وعند تطابق مثلثين تكون:

  • مساحة المثلثين متساويتان.
  • محيط المثلثين متساويين.

مثال على تطابق المثلثات

في الشكل التالي، يتطابق المثلث ABC مع المثلث PQR، وتُكتب ΔABC ≅ ΔPQR .

حيث أن الزاوية ∠P = A، و B = Q، و C = R .

وطول الضلع AB = PQ ، AC = PR ، BC = QR .

حالات تطابق المثلثات

يتطابق مثلثان إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في كلا المثلثين.

في الشكل التالي نجد أن الضلعين  AB = PQ و AC = PR والزاوية بين AC و AB تساوي الزاوية بين PR و PQ أي ∠A = P. ومن ثم فإن المثلث PQR يتطابق مع المثلث  ABC  أو  Δ ABC ≅ Δ PQR.

إذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلث متساوية.

في هذا الشكل، نجد أن الأضلاع AB = PQ، QR = BC، و AC = PR، وبالتالي فإن المثلثين ΔABC و ΔPQR متطابقان.

3- إذا كانت قياس أي زاويتين والضلع المتضمن بينهما في أحد المثلثين مكافئتين للزوايتين المتناظرتين لهما  والضلع المتضمن بينهما في المثلث الأخر، فيقال إن المثلثين متطابقان من القاعدة.

في الشكل التالي: قياس الزاوية R = قياس الزاوية C، وقياس الزاوية Q = قياس الزاوية B، وطول الضلع QR = CB ، إذن المثلث ACB ≅  المثلث PRQ .

4- إذا كان المثلثين قائمين، وتساوى طول الوترين وطول أحد الضلعين بهما يكون المثلثين متطابقان.
في الشكل التالي، المثلث RST والمثلث XYZ هما مثلثان قائمان.
يتساوى طول الوترين RT = XZ ، وطول الضلع ST = YZ ،إذن فإن المثلثين متطابقين RST ≅ XYZ .

إثبات تطابق المثلثين

ليس من الضروري أن تثبت جميع الحقائق الستة في إثبات تطابق المثلثات، بل يجب فقط إثبات حالة واحدة من الحالات المذكورة سابقاً لإثبات أن أي مثلثين متطابقين، ومن ثم يمكن استنتاج الحقائق الأخرى
إذا تمت إثبات أن أطوال الأضلاع الثلاثة في أحد المثلثين متطابقة مع ثلاثة أضلاع في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقين، وبالتالي فإن قياسات زوايا المثلثين متساوية.
الوقت، يكون قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين في المثلث الأول مساويا لقياس الزاوية المحصورة بين الضلعين في المثلث الثاني. وبالتالي، يتم استنتاج أن طول الضلع الثالث في المثلثين متساو، وأن قياس الزاويتين الأخريتين متساو أيضا.
يتم إثبات مساواة زاويتين والضلع المتضمن بينهما في مثلث مع مقابلاتهما في مثلث آخر، ويتم استنتاج أن الزاوية الثالثة في المثلثين متساوية في القياس، وأن الضلعين الآخرين متساويين في الأطوال.

أيضًا يمكن إثبات تطابق مثلثين إذا أثبتنا أن قياس زاويتين في أحد المثلثين متساوية مع الأخر، وأن ضلغ غير متضمن بين الزاويتين متساوي مع المقابل له في المثلث الأخر، والسبب أننا نعرف أن قياس زوايا المثلث تساوي 180 درجة، وأنه إذا تساوى قياس زاويتين مع المطابقين لهما، فستكون الزاوية الثالثة في المثلث الأول أيضًا تساوي قياس المطابقة لها في المثلث التالي، وبالتالي سيكون الضلع المتطابق واقع بين زاويتين متطابقين.
إذا كان المثلث قائم الزاوية وطول الوتر يطابق طول الضلع في مثلث آخر قائم الزاوية، فإن هذا يثبت تطابق المثلثين، وبالتالي فإن طول الضلع الثالث متساوي في المثلثين، وزواياهما المتبقية متساوية.
الحالات التالية ثبت تطابق المثلثات
إذا كانت أطوال أضلاع المثلثين الثلاثة متساوية، فسيثبت ذلك تطابق المثلثين. أما إذا كانت زوايا المثلثين الثلاثة متساوية فقط، فلن يثبت ذلك وحده تطابق المثلثين.

تدريبات على تطابق المثلثات

مثال 1: في الشكل التالي، إذا كانت AB = BC و AD = CD.
أثبت أن السهم BD عمودي منصف للسهم AC.

الحل:

في هذا المثال، يجب إثبات أن ∠BEA= ∠BEC = 90 درجة وأن AE = EC.

لذلك اعلم أن طول الضلع AB = BC (كما هو معطى)

AD = CD (معطى)

BD = BD (لأنه ضلع مترك في المثلثين

يتطابق المثلثان ∆ABD و∆CBD لأن أضلاعهما الثلاثة متساوية الطول.

نستنتج من المذكور أعلاه أن الزاوية ABD تساوي زاوية CBD

الآن، في المثلثين ∆ABE و ∆CBE، حيث أن AB= BC (وهو معطى)

تمت إثبات أن ∠ABD = ∠CBD، وأن طول الضلعين BE = BE لأنهما يشتركان في نفس الضلع

نستنتج من ذلك أن المثلثين ABE و CBE متطابقين بسبب تطابق ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في المثلث.

وبالتالي فإن الزاويتان ∠BEA = ∠BEC متساويتان.

نظراً لأن مجموع قياسات الزوايا BEA وBEC يساوي 180 درجة (لأنهم خطوط متوازية).

إذن قياس الزاوية BEA = قياس الزاوية BEC يساوي 180/ 2 = 90 درجة.

وبما أنَّ طولَ الضلعِ AE يساوي طولَ الضلعِ EC .

إذا كان BD يعتبر محورًا رأسيًا للضلع AC، فهذا هو ما يجب إثباته.

مثال 2:

في المثلث المتساوي الأضلاع ΔABC، إذا كان AB = AC و ∠B = 70 درجة، فما قياس ∠A؟.

الحل:

في المثلث Δ ABC

بما أن AB = AC و ∠B = 70 درجة (معطى).

إذا كان قياس زاوية B = قياس زاوية C = 70 درجة (لأنهما متقابلين لضلعين متساويين).

بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 190 درجة.

قياس زاوية A = 180 – 140 = 40 درجة.

مثال 3:

ثبت أن المثلثين PQR وRST متماثلين في الشكل المقابل.

الإجابة:

نظرًا لأن طول الضلع PR = RT (معطى).

نظرًا لأن قياس زاوية SRT يساوي قياس زاوية PRQ لأنهما متقابلان في الرأس.

وطول الضلع QR  =  RS (معطى).

إذن المثلث PQR ≅ RST (وهو المطلوب إثباته).

مثال4:

يجب أن تثبت أن المثلثين XWY و QRP متطابقين في الشكل التالي.

الإجابة:

بما أن XY = PR (معطى).

نظرًا لأن المثلث XWY و QRP قائمي الزوايا، فإن قياس زاوية XWY = QRP = 90 درجة

بما أن طول الخيط XY = طول الخيط PQ.

إذن المثلثين متطابقين.

الوسوم

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى