بحث عن المتسلسلات الهندسية اللانهائية

هناك عدد من النظريات الهندسية الرياضية التي تشكل أساسا لمعظم العمليات الهندسية ، والتي يجب فهم قوانينها لتسهيل دراسة الهندسة.

المتسلسلات الهندسية

في مجال الرياضيات، السلسلة تعبير عن عملية إضافة كميات لا حصر لها من الكميات، واحدة تلو الأخرى، إلى كمية بداية محددة. دراسة السلسلة تشكل جزءا أساسيا من حساب التفاضل والتكامل وتعميمه. يتم استخدام السلسلة في معظم فروع الرياضيات، بما في ذلك دراسة الهياكل المحدودة مثل المجموعات التوافقية، باستخدام وظائف التوليد. بالإضافة إلى ذلك، تستخدم السلسلة في جميع مجالات الرياضيات، وتستخدم على نطاق واسع في التخصصات الكمية الأخرى مثل الفيزياء وعلوم الحاسوب والإحصاء والمالية.

متابعة المتسلسلات الهندسية اللانهائية

– لا يمكن تتبع السلسلة غير المنتهية للإضافات التي تحتوي عليها بكفاءة (على الأقل في فترة زمنية محدودة)، ومع ذلك، إذا كانت المجموعة التي تنتمي إليها الشروط والمبالغ المحدودة تحتوي على مفهوم الحد، في بعض الأحيان يمكن تعيين قيمة للسلسلة، وتسمى هذه القيمة مجموع السلسلة، وهي الحد الذي يميل نحوه العدد ن إذا كان لدينا مجموعة محدودة من الأعداد التي تتألف من جزئيات هذه السلسلة.

يطلق على الحد الذي يحدده المرء بأن السلسلة متقاربة أو قابلة للتلخيص أومتسلسلة اسم “مجموع السلسلة”، وفي حالة عدم وجود هذا الحد، يُعرف السلسلة بأنها متباينة .

بشكل عام، تتكون شروط المسلسل عادةً من حلقة واحدة، وغالبًا ما تكون الحلقة من الأعداد الحقيقية أو الأعداد المعقدة، وفي هذه الحالة، تكون مجموعة السلسلة كلها حلقة بذاتها، حيث يتم إضافة المصطلح السلسلة حسب المصطلح، ويتم حساب الضرب كمنتج Cauchy.

الخصائص الأساسية للمتسلسلات الهندسية

السلسلة اللانهائية، أو مجرد السلسلة، هي مجموعة غير محدودة ولا حصر لها من العناصر.
– (A_ {ن})هو أي تسلسل مرتبة من المصطلحات، مثل الأرقام أو الوظائف أو أي شيء آخر يمكن إضافته، هذا تعبير يتم الحصول عليه من قائمة المصطلحات.

إذا كانت لدى مجموعة abelian A مفهوم الحد (على سبيل المثال، إذا كانت مساحة مترية)، فيمكن تفسير بعض المسلسلات المتقاربة على أنها لها قيمة في A وتسمى مجموع السلسلة.

وتشمل هذه الحالات الشائعة من حساب التفاضل والتكامل، التي يتم فيها تمثيل المجموعة بحقل الأرقام الحقيقية أو مجال الأرقام المعقدة.

تعتبر سلسلة متقاربة إذا كانت تتقارب إلى حد ما أو متباينة عندما لا تتقارب، وإذا وجد الحد الذي يتقارب إليها، فإن قيمته هي قيمة تلك السلسلة.

سلسلة السلطة الرسمية

– في حين تشير العديد من استخدامات سلسلة الطاقة إلى مبالغها، فمن الممكن أيضًا التعامل مع سلسلة الطاقة باعتبارها مبالغ رسمية، مما يعني عدم إجراء عمليات إضافة فعلية، والرمز “+” هو رمز تجريبي للترابط لا يتم تفسيره بالضرورة على أنه الموافق الجمع، في هذا الإعداد، يكون تسلسل المعاملات نفسه ذا أهمية، وليس تقارب السلسلة.

تستخدم سلاسل القدرة الرسمية في المجموعات التوافقية لوصف ودراسة التسلسلات الصعبة، على سبيل المثال باستخدام طريقة توليد الوظائف، وفي سلسلة هيلبرت-بوانكاريه، تتألف السلسلة من سلسلة سلطة رسمية تستخدم لدراسة الجبر المتدرج.

وعلى الرغم من أن تقليص سلسلة السلطة ليست بالضرورة للسيطرة على هيكل معين، فإنه من الممكن تحديد عمليات رياضية مثل الجمع والضرب والمشتقات والمشتقات العكسية لسلسلة السلطة `رسميًا`، ومعالجة الرمز `+` وكأنه يتوافق مع الجمع إذا كانت الشروط تدعم هيكلًا مناسبًا.

في العديد من الحالات، يأتي المصطلح من دائرة تبادلية حيث يتم إضافة سلسلة من المصطلحات الرسمية بشكل متتالٍ ويتم ضربها بمنتج Cauchy.

في هذه الحالة، الجبر الكامل للمونويد من الأعداد الطبيعية على الحلقة الأساسية المدى هو الجبر النظامي من سلسلة سلطة رسمية. وإذا كانت حلقة المصطلح الأساسي عبارة عن جبر تفاضلي، فإن جبر سلسلة القدرة النظامية هو أيضًا جبر تفاضلي مع إجراء التمايز مصطلحًا تلو الآخر.

تطوير السلسلة اللانهائية

أنتج عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس أول تجميع معروف لسلسلة لا نهائية بأسلوب يستخدم حتى اليوم في حساب التفاضل والتكامل، إذ استخدم طريقة الاستنفاد لحساب المنطقة تحت قوس القطع المكافئ بجمع سلسلة لا نهائية، وقدم تقريبا دقيقا لـ π .

: “علماء الرياضيات في ولاية كيرالا في الهند درسوا سلسلة لا حصر لها حوالي عام 1350 م، وفي القرن السابع عشر، عمل جيمس غريغوري على سلسلة لانهائية في النظام العشري الجديد ونشر العديد من سلسلة ماكلورين، وفي عام 1715، تم توفير طريقة عامة لإنشاء سلسلة تايلور لجميع الوظائف التي كانت موجودة من قبل بروك تايلور، ووضع ليونارد يولر في القرن الثامن عشر نظرية السلسلة فوق الهندسية.

سلسلة التقارب

سلسلة التقارب هي سلسلة لا حصر لها تصبح مبالغها الجزئية تقريبية جيدة في حدود نقطة ما من المجال، بشكل عام أنها لا تتلاقى ولكنها مفيدة كتسلسلات تقريبية، يوفر كل منها قيمة قريبة من الإجابة المطلوبة لعدد محدود من المصطلحات، الفرق هو أنه لا يمكن إجراء سلسلة مقاربة لإنتاج إجابة بالقدر الذي تريده.