بحث عن الاعداد المركبة

الكميات المركبة هي كميات مجردة مفيدة يمكن استخدامها في الحسابات وتؤدي إلى حلول ذات مغزى، ومع ذلك، استغرق العلماء الرياضيات وقتا طويلا للإقرار بهذه الحقيقة، فعلى سبيل المثال، كتب جون واليس: `هذه الكميات الوهمية (كما يطلق عليها عادة) التي تنشأ من الجذر المفترض للساحة السلبية (عند حدوثها) يشار إليها على أنها تعني أن الحالة المقترحة مستحيلة`، والعدد المركب هو أي عدد على الصورة: ع = أ + ب ت حيث أ، ب هي أعداد حقيقية، و ت = جذر ال -1، ويسمى أ الجزء الحقيقي من العدد المركب، و ب الجزء التخيلي من العدد المركب.

أهمية الأعداد المركبة

اثبتت الأعداد المركبة أهميتها في الرياضيات وتلعب دورا هاما في التطبيقات العلمية المختلفة. فالأعداد المركبة تستخدم في ميادين الكهرباء والديناميكا والنظرية النسبية وغالبية ميادين الفيزياء تقريبا. وصنف الرياضيون الأعداد إلى مجموعات متداخلة، وهي مجموعة الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والمركبة. ومع ذلك، تعد مجموعة الأعداد المركبة هي الأكثر صعوبة في الفهم، وذلك بسبب تضمنها للأعداد التخيلية. ويمكن تعريف مجموعة الأعداد المركبة “ك” بالشكل التالي: ك = { ع: ع= أ+ ب ت حيث أ، ب ينتميان لح، ت= جذر ال -1 } .

لا يوجد في الطبيعة أعداد مركبة مثل الأعداد السالبة، إذ أن هناك فرقا بين العلوم الإنسانية والطبيعية التي تعتمد على الواقع، وبين علوم الرياضيات التي ترتبط بالعقل والتخيل الواسع، حيث يمكن ربط تلك التخيلات ربطا منطقيا سليما لا يناقض، لذلك فإن الأعداد المركبة ومعظم الرياضيات تنتمي إلى منطقة التخيل العقلي.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة  

 يمكن إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة بسهولة

1- العنصر (أ) والعنصر (ب) هما عددان حقيقيان.

العنصر (ت) هو عدد جذري للسالب الواحد، وبالتالي، العنصر (أ) بمفرده يمثل جزءًا حقيقيًا من عدد مركب، والعنصر (ب) يمثل جزءًا تخيليًا من عدد مركب.

يمكن التعبير عن أي مجموعة من الأعداد المركبة، التي يرمز لها باستخدام الرمز ك في المعادلة التالية: ك = (ع: ع = أ + بت)، حيث أن (أ – بت) ينتميان إلى H و t = جذر -1.

يتم تمثيل أي عدد من الأعداد المركبة بواسطة ثنائي مرتب من الأرقام الحقيقية (أ – ب) وذلك بتعبيره بشكل موحد على صورة (أ + ب × ت) ويمكن رسمها بواسطة الإحداثيات الخاصة بالرسم البياني.

تساوي الأعداد المركبة عندما تتحقق المعادلة التالية (ع1 = أ + بت، وع2 = ج + دت) إذا كانت أ تساوي ج وب تساوي د.

عملية جمع الأعداد المركبة

عندما يتم إجراء عملية جمع لأي أعداد مركبة، يتم ذلك باستخدام المعادلة التالية (ع1 = أ+ب ت – و ع 2 = ج + د ت)، مع مراعاة أن أي عملية جمع على أي أعداد مركبة تكون عملية تجميعية ومغلقة، وفي نفس الوقت تبديلية. إضافة إلى ذلك، لها نظير جمعي وعنصر محاي.

عملية طرح الأعداد المركبة

يتم إجراءعملية الطرح على أي عدد مركب باستخدام المعادلة التالية (ع1=أ+ب ت، و ع2 =ج+د ت)، ويتم الطرح باستخدام العلاقة التالية (أ-ج) + (ب-د) ت.

 عملية ضرب الأعداد المركبة

عند إجراء أي عملية يتم فيها ضرب الأعداد المركبة لابد من تطبيق المعادلة الآتية ( ع1=أ+ب ت، و ع2 = ج+د ت ) عن طريق العلاقة الآتية ( أ ج – ب د) + (أ د + ب ج) ت ) مع الوضع في الاعتبار أن أي عملية ضرب أي أعداد مركبة هى عملية تجميعية ومغلقة وفي نفس الوقت تبديلية، إضافة إلى أن لها ما يخصها من النظير الجمعي والعنصر المحايد.

 عملية قسمة الأعداد المركبة

للقسمة بين الأعداد المركبة، لابد من إجراء عملية ضرب للمقام والبسط، ويتم ذلك أيضاً بضرب المرافق للمقام، وتتم هذه العملية حتى يتحول المقام إلى عدد حقيقي، مثال على ذلك ( ع1 =س1 + ص1 ت، ع2 = س2 + ص2 ت، حيث أن ع2 لا يساوي صفر، فإن ع1ع2  س1 + ص1 ت س2 + ص2 ت) × (س2 – ص2 ت س2 – ص2 ت ).

التمثيل البياني للأعداد المركبة

يمكن كتابة كل عدد مركب بطريقة وحيدة باستخدام الصيغة أ + ب ت، لذلك يتم تعريف العدد بواسطة زوج مرتب من الأعداد الحقيقية (أ،ب)، ويمكن تمثيله إما بنقطة في المستوى الديكارتي، إحداثياتها (أ،ب)، أو بواسطة المتجه القياسي الذي يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند النقطة التي إحداثياتها (أ،ب)، ويسمى المستوى الإحداثي (الديكارتي) نتيجة هذا التمثيل، ويطلق على المحور الرأسي اسم المحور التخيلي، ويطلق على المحور الأفقي اسم المحور الحقيقي.