بحث عن الاحتمال الهندسي

نظرية الاحتمالات هي فرع في الرياضيات يتعامل مع المفهوم الرياضي للإحتمال، وعلى الرغم من وجود العديد من تفسيرات الإحتمالات المختلفة، فإن نظرية الإحتمالات تتعامل معه بطريقة دقيقة عن طريق التعبير عنه بواسطة مجموعة من البديهيات، وغالبا ما تعطي هذه البديهيات طابعا رسميا للإحتمالية بشأن مساحة الإحتمال، والتي تأخذ قيما بين 0 و 1، ويطلق عليها مقياس الإحتمال، لمجموعة من النتائج التي تسمى مساحة العينة، وتسمى أي مجموعة فرعية محددة من هذه النتائج بالحدث .

نظرية الاحتمالات

تضم الموضوعات الرئيسية في نظرية الاحتمالات المتغيرات العشوائية المفصولة والمستمرة، وتوزيعات الاحتمالات، والعمليات العشوائية، التي تقدم النماذج الرياضية للعمليات غير المحددة أو غير المؤكدة، أو الكميات المقاسة التي يمكن أن تكون إما حوادث فردية أو تتطور عشوائيا مع مرور الوقت، وعلى الرغم من عدم القدرة على تنبؤ الأحداث العشوائية تماما، يمكن اكتشاف الكثير عن سلوكها، وهناك نتيجتان رئيسيتان في نظرية الاحتمالات التي تصف مثل هذا السلوك، وهما قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركز.

كنظرية رياضية للإحصاء، فإن نظرية الاحتمالات ضرورية لكثير من الأنشطة البشرية التي تنطوي على تحليل كمي للبيانات، وتنطبق طرق نظرية الاحتمالات أيضا على أوصاف الأنظمة المعقدة التي تعرف فقط بمعرفة جزئية عن حالتها، كما في الميكانيكا الإحصائية، وكان اكتشاف فيزياء القرن العشرين الكبير هو الطبيعة الاحتمالية للظواهر الفيزيائية في المقاييس الذرية، الموصوفة في ميكانيكا الكم .

المكون الأساسي لنظرية الاحتمالات

المكون الأساسي لنظرية الاحتمالات هو التجربة التي يمكن تكرارها ، على الأقل افتراضيًا ، في ظل ظروف متطابقة بشكل أساسي والتي قد تؤدي إلى نتائج مختلفة في تجارب مختلفة، وتدعى مجموعة جميع النتائج المحتملة للتجربة بـ “مساحة العينة”، إن تجربة رمي عملة ما ينتج عنها مساحة عينة بها نتيجتان محتملتان ، “الرؤوس” و “ذيول” .

الاحتمال الهندسي

الاحتمال الهندسي هو أداة تستخدم للتعامل مع مشكلة النتائج غير المحدودة من خلال قياس عدد النتائج الهندسية، مثل الطول أو المساحة أو الحجم، وعندما يكون لدينا مشكلات “منفصلة”، يتم التعامل بها عادة في الاحتمال الأساسي، ولكن بعض المشكلات الأكثر إثارة للاهتمام تتضمن المتغيرات “المستمرة” مثل وقت وصول الحافلة، ويمكن أن يكون من الصعب التعامل مع هذه المتغيرات، ولكن باستخدام الاحتمال الهندسي، يمكننا تحويل مشاكل الاحتمالات إلى مشاكل هندسية

تأتي الحافلة بشكل عشوائي بين الساعة ١٢ مساءً و١ ظهرًا، إذا جاءت الحافلة في الساعة ١٢:٣٠ مساءً، فما هي احتمالية ركوب الحافلة؟

يمكن توضيح هذا بشكل هندسي عن طريق اختيار نقطة عشوائية على محور الزمن، ويتبين أن طول الفترة الزمنية بين الساعة 12:30 و 1 ظهرًا يساوي طول الفترة الزمنية من منتصف الليل حتى الساعة 12:30 صباحًا.

على الرغم من أن هذا المثال واضح ومباشر، إلا أنه يمكن حل العديد من المشكلات المعقدة بسهولة باستخدام الاحتمال الهندسي. وفي هذه الصفحة، سنبدأ بأمثلة ١D، والتي تمثل الطريقة الأسهل والأكثر فهما، ثم سنعمل على الانتقال إلى الأبعاد الثنائية والثلاثية والأبعاد الأعلى.

الأفكار الرئيسية في الاحتمال

تتمثل إحدى الأفكار الرئيسية في احتمال حساب عدد النتائج المرغوبة التي يمكن أن تكون متساوية، ثم تقسيم ذلك على عدد النتائج الإجمالية الممكنة بنسبة متساوية:

على الرغم من ذلك، عندما يكون العامل مستمرا، يصبح من المستحيل “حساب” النتائج بالطريقة التقليدية، على سبيل المثال، إذا كان العدد حقيقيا عشوائيا بين 0 و 1، فقد يكون أي شيء أو لا شيء أو حتى غير منطقي، ومن الواضح أن هناك نتائج غير محدودة إذا اعتمدنا الطريقة التقليدية، والاحتمالية هي قيمة عددية تظهر مدى احتمالية حدوث حدث معين، وباستخدام الاحتمالية الهندسية، تبحث عن الاحتمالية بلوغ منطقة معينة في الشكل، وبالتالي، الاحتمالية الهندسية تشبه لعبة السها.

كيف يمكن التعبير عن الاحتمالية

تعبر الاحتمالية دائما بنسبة يتراوح مدى قيمتها بين 0 و 1، حيث تعكس مدى احتمالية حدوث الحدث، فإذا بلغت الاحتمالية 0، فهذا يعني عدم وجود فرصة لحدوث الحدث. على سبيل المثال، فإن احتمالية تعرض القرش للعض أثناء المشي في الصحراء هي 0. وإذا بلغت الاحتمالية 1، فهذا يعني أن الحدث سيحدث بالتأكيد. على سبيل المثال، إذا قفزت في بحيرة، فإن الاحتمالية بأن تبتل هي 1. وإذا بلغت الاحتمالية 0.5، فهذا يعني وجود فرصة بنسبة 50/50 لحدوث الحدث، مثل الحصول على الوجه السفلي أو الوجه العلوي عند قلب عملة.

تقوم بإضافة جميع النتائج المحتملة للموقف إلى احتمال 1، وذلك لأننا نفترض أنه لا يمكن حدوث أي شيء آخر، باستثناء الأحداث التي ندرسها، لذلك عندما نقوم بقلب عملة معدنية، نعتبر فقط أنها يمكن أن تكون رؤوسا أو ذيولا، وسنتجاهل حقيقة أن العملة يمكن أن تهبط على حافتها. في هذا الدرس، سنتناول لعب السهام كمثال لحساب الاحتمالات الهندسية، وسنفترض أن السهام ستهبط في إحدى المناطق الموجودة على لوحة المعلومات، وسنتجاهل أيضا أنه قد يكون هناك شخص سيء جدا في لعبة رمي السهام لدرجة أن السهام تخرج عن اللوحة تماما.

صيغة الاحتمالات الهندسية

لحساب الاحتمال الهندسي، يجب عليك العثور على مناطق الأشكال المتورطة في المشكلة ومعرفة المساحة الكلية، وهي أكبر مساحة في الرسم البياني، مثل لوحة المعلومات بأكملها، وكذلك معرفة المنطقة المرغوبة والتي تحاول الوصول إليها، مثل عين الثور. وبمجرد حساب كل من هذين المجالين، يمكن استخدام الصيغة ببساطة

P = المطلوب / المجموع

في هذه الصيغة ، P تعني الاحتمال الهندسي .