امثلة على خاصية التجميع

خواص الأعداد

• خاصية التبديل

تعني كلمة “تبادل” الانتقال من مكان إلى آخر، وبالتالي يمكن تعريف الخاصية التبادلية على أنها الإشارة إلى تحريك الأرقام، وقاعدتها هي أ + ب = ب + أ ،

وتطبيقها بالأرقام يكون : تتساوى ٢ + ٣ بـ ٣ + ٢، وفي عمليات الضرب يتم صياغتها كـ أ ب = ب أ، ويمكن تطبيقها بالأرقام كـ ٢ × ٣ = ٣ × ٢ .
عند الحديث عن الخاصية التبادلية، يشير ذلك إلى نقل الأرقام، وعندما يتم ذكر تحريك الأرقام، يهدف ذلك إلى إثبات استخدام الحساب للخاصية التبادلية، كما في بعض الأمثلة على الخاصية التبادلية

بسط المعادلة ٣أ – ٥ب + ٧أ وتذكر الخطوات
الإجابة :
المعطى : ٣أ – ٥ب + ٧أ
الملكية التبادلية : ٣أ + ٧أ – ٥ب
الملكية التوزيع : أ ( ٣ + ٧ ) – ٥ب
التبسيط : أ (١٠) – ٥ب (٣+٧=١٠)
الملكية التبادلية : ١٠أ – ٥ب
تم نقل -5ب من وسط المسألة في السطر الأول إلى نهاية المسألة في السطر الثاني

• خاصية التجميع

تعني خاصية التجميع قاعدة تجميع المعادلة بالنسبة لقاعدة الجمع: أ + (ب + ج) = ج + (أ + ب)، وتطبق هذه القاعدة بالأرقام مثل: 2 + (3 + 4) = 4 + (2 + 3) .

أما قاعدة الضرب فهي : أ (ب ج) = ج (أ ب) ويمكن تمثيلها بالأرقام كالتالي: ٢ (٣ × ٤) = ٤ (٢ × ٣)، وهذه الخاصية تشير إلى إعادة جمع الأرقام والتساوي .

كما تساعد هذه الخاصية على تسهيل حل مختلف أنواع المعادلات دون التأثير على النتيجة، حيث ستكون النتيجة هي نفسها قبل وبعد التجميع، والأمر يتم عن طريق استخراج العامل المشترك الذي يظهر في القوس وكتابة العوامل الأخرى داخل القوس وحل المعادلة .

• خاصية التوزيع

خاصية التوزيع تكتب هذه الخاصية بطريقة : أ (ب + ج) = أب + أج، ويتم تصويرها بالأرقام: ٢ (٣ + ٤) = ٢ × ٣ + ٢ × ٤ .

عندما يشير الناس إلى استخدام خاصية التوزيع، يتعين عليك فقط تحليل ما بداخل الأقواس عبر ضرب الرقم الخارجي بالأرقام داخل الأقواس .

خواص التجميع بالأمثلة

خاصية التجميع في الإضافة

تنتهي دائما المعادلة بنفس الشكل مهما كانت الأرقام مثل [2] :

(أ+ب)+ج=أ+(ب+ج)=(أ+ج)+ب .

نمثل الأحرف السابقة بالأرقام لنفترض مثلا أن : أ = ٣ ، ب = ١٨ ، ج = ١ .

وبتبديل الأحرف بالأرقام تكون شكل المسألة الرياضية :

( ٣ + ١٨ ) + ١ = ٢١ + ١ = ٢٢ .
٣ + (١٨ + ١) = ٣ + ١٩ = ٢٢ .
( ٣+ ١ ) + ١٨ = ٤ + ١٨ = ٢٢ .

إجابة التجميع الرقمي لا تتغير بتغيير ترتيب الأرقام .

 الخاصية التجميعية في الطرح

عملية الطرح لا تتميز بخاصية الترابط كما هو الحال في الجمع، وفي المثال التالي سنقوم بطرح الأعداد ٣ و ٥ و ١٠ .

( ٥ – ١٠ ) – ٣ = ٥ – ٣ = ٢
١٠ – ( ٣ – ٥ ) = ١٠ – ٢ = ٨

عندما نقوم بطرح العددين الأولين 10-5، فإننا نحصل على الرقم 5، وعندما نقوم بطرح العدد 3، فإننا نحصل على الرقم 2، وعندما نقوم بطرح العددين الأخيرين، فإن 5-3=2، وعندما نطرح 2 من 10، فإننا نحصل على 8 .

بتغيير ترتيب الأرقام في عملية الطرح، يتغير النتيجة، مما يجعل الطرح لا يتمتع بخاصية التجميع .

 الخاصية التجميعية في الضرب

وبناء على خصائص عملية الضرب، يمكن حل مثال بسيط عند حساب ٤ × ( ٣ × ٢ )، ويمكن حسابه بطريقة أخرى ٢ × ( ٣ × ٤ )، وسيتم الحصول على نفس النتيجة .

وهذا يشير إلى أن عملية الضرب تتمتع بخاصية الترابط ولن تتغير الإجابة بتغيير ترتيب الأرقام في المسألة الرياضية، وليست بحاجة إلى جدول الضرب الكامل لحل مثل هذه المسائل .

مثال :

أ × ب × ج = أ × (ب × ج) = (أ × ج) × ب
فإذا كان ج = ١٠ ، ب = ٥ ، أ = ٣

فسوف تكون المعادلة كالتالي :
( ٣ × ٥ ) × ١٠ = ١٥ × ١٠ = ١٥٠
٣ × ( ٥ × ١٠ ) = ٣ × ٥٠ = ١٥٠
( ٣ × ١٠ ) × ٥ = ٣٠ × ٥ = ١٥٠

خاصية التجميع في القسمة

عند قسمة ٨ ÷ ٢ ÷ ٢ ، وقسمة ( ٨ ÷ ٢ ) ÷ ٢ ، يتم حساب العمليات بالترتيب الذي يظهر في العبارة، وتكون النتيجة ٨ ÷ ٢ = ٤ ، و ٤ ÷ ٢ = ٢ ، وبالنسبة لحساب ٨ ÷ ( ٢ ÷ ٢ )، يتم حساب القوسين أولاً، ومن ثم يتم حساب العملية، وتكون النتيجة ٢ .

حصلنا على إجابتين مختلفتين من المثالين السابقين، ولذلك فإن القسمة ليست لها خاصية التجميع .

أمثلة على خاصية التجميع

• مثال١

قم بإثبات أن الأرقام التالية تخضع لخاصية التجميع [3] :

٢ ، ٦ ، ٩

الحل :

٢ ، ٦ ،٩
= ( ٢+ ٦ ) + ٩ = ٨ + ٩ = ١٧
أو :
= ٢ + ( ٦ + ٩ ) = ٢ + ١٥ = ١٧
فنجد هنا أن النتيجة واحدة في المسألتين حيث :
( ٢ + ٦ ) + ٩ = ٢ + ( ٦ + ٩ )

• مثال٢

حدد إذا كانت المسألة القادمة صحيحا أم لا :
٤أ ÷ ٢أ = ٤أ ÷ (٢أ ÷ أ)
_ نحدد الجانب الذي نريد إظهاره
_ نأخذ الجانب الأيسر
_ نحل هذا الجزء
_ نأخذ الجانب الأيمن ونقوم بحله أيضًا
_ نستخرج النتائج
(4أ ÷ 2أ) ÷ أ = 4أ ÷ (2أ ÷ أ)
( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ
(4أ ÷ 2أ) ÷ أ = 2/أ = أ/2
٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ ) = ٢أ
(٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = أ/٢
٤أ ÷ ( ٣أ ÷ أ ) = ٢أ
التعبير (4أ ÷ 2أ) ÷ أ لا يساوي 4أ ÷ (2أ ÷ أ)
لذلك، يكون الناتج خاطئًا ولا يتماشى مع خاصية التجميع .

• مثال٣

عند حل المسألة التالية، يجب ذكر ما إذا كان الناتج صحيحًا أم لا:
(أ-ب) – ج = أ – (ب-ج)
الحل :
_ نحدد المعطيات
يحاولون إثبات أن الجانب الأيمن مساوٍ للجانب الأيسر
_ نستخرج ما بداخل الأقواس
_ نجمع بين ب ، ج في قوسين
_ التحقق من صح النتائج
_ نذكر النتائج
(أ-ب) – ج = أ – (ب-ج)
( أ – ب ) – ج
أ – ب – ج
أ – ( ب + ج )
(أ – ب) – ج = أ – (ب + ج)
الناتج : (أ – ب) – ج = أ – (ب + ج)
نستنتج أن :
(أ – ب) – ج، لا يساوي، أ – (ب – ج)
التعبير الممنوح غير صحيح ولا يدعم خاصية التجميع .

• مثال٤

اثبت من خلال الأرقام الأتية أنها تخضع لخاصية الضرب التجمعية :
٢ ، ٦ ، ٩
ضرب ٢ في ٦ في ٩ = (٢ في ٦) في ٩ = ١٢ في ٩ = ١٠٨
٢ × ٦ ×٩ = ٢ × ( ٦ × ٩ ) = ٢ × ٥٤ = ١٠٨
يتم الحصول على نفس النتيجة في كلا الحالتين
حيث نجد أن :
( ٢ × ٦ ) × ٩ = ٢ × ( ٦ × ٩ )

جملة الضرب التي تحقق الخاصية التجميعية هي

تسمى الملكية النقابية، حيث يمكن استبدال ما بين الأقواس بما خارجها في العمليات الرياضية بناءً على جملة الضرب التي تحقق الخاصية التجمعية، مما يؤدي إلى نتيجة واحدة في جميع الحالات، وبالتالي يتم الإجابة الصحيحة على السؤال الرياضي التالي

جملة الضرب التي تحقق الخاصية التجميعية هي: ط = س (ع × ق) = (س × ع) ق.

ط – المقصود به هو الناتج النهائي.

(س، ع، ق) تعني الأرقام المستخدمة في الجملة الرياضية.

× رمز عملية الضرب.

إذا افترضنا س = 3 وع = 5 وق = 7

فإن ط = س (ع × ق) = (س × ع) ق

ط = (7 * 5) * 3 = 7 * (5 * 3)

ط = 105 في كلتا العمليتين.

خاصية الضرب التي تحقق الخاصية التجميعية

بسبب أن جملة الضرب تحقق الخاصية التجميعية، فإنها تعتبر السؤال الأكثر بحثًا وطرحًا في محركات البحث المختلفة على الإنترنت، ولذلك يمكن التعلم منها لتحقيق الخاصية العامة في التفاصيل التي تبحث عنها، والتي يتم شرحها كالتالي:

• تكون مجموعة الضرب المتوافقة مع الخاصية المضافة هي (3 × (2 + 50) = (3 × 2) + (3 × 5)).