العملية الإبدالية وأمثلة عليها
خاصية الإبدال تعني تغيير ترتيب الأعداد في عملية الجمع دون تغيير ناتج الجمع، ويمكن استخدامها في عملية الجمع لتبديل ترتيب الأعداد دون تغيير نتيجة الجمع، ويمكن أيضا تطبيق خاصية الإبدال في عملية الضرب لتغيير ترتيب الأعداد المضروبة دون تغيير ناتج الضرب .
والأمثلة على خاصية الإبدال في عملية الجمع هي كما يلي:
- 3+1=4 ويمكننا استبدال الأرقام التي نجمعها بحيث يصبح الرقم الأول هو الثاني والرقم الثاني هو الأول، أي 3+1=4. لذا نجد أن النتيجة لا تتغير أبدا عند استخدام خاصية الاستبدال.
- يساوي مجموع الأرقام 9 و 8 و 3 الناتج 20، ويمكن أيضاً تغيير ترتيب الأرقام ليكون 8 و 3 و 9 ويظل الناتج هو 20.
- 8+7+4+6+9= 34 وإذا طبقنا خاصية الإبدال كالتالي 7+4+6+9+8=34.
- يؤدي استخدام خاصية الإبدال في 3 + 5 إلى الحصول على نفس الناتج 8.
والأمثلة على خاصية الإبدال في عملية الضرب هي كما يلي:
- 3 × 4 = 12 نقوم بتطبيق خاصية الاستبدال لتصبح 4 × 3 = 12، ويكون الناتج هو نفسه في كلا الحالتين.
- عندما نقوم بضرب العدد 3 في العدد 2 والعكس، يكون الناتج هو 6 في كلا الحالتين، ولا يتغير الناتج في هذه الحالتين.
- يساوي الضرب 5 × 4 = 20، وعند تطبيق خاصية الإبدال، يصبح الضرب 4 × 5 = 20، ولا يتغير الناتج أبدًا عند تطبيق هذه الخاصية على عملية الضرب.
درس خاصية الإبدال لعملية الضرب
يعتبر درس خاصية الإبدال لعملية الضرب هو الدرس الذي يتضمّن تعريف خاصية الإبدال وتطبيقها في عملية الضرب، بالإضافة إلى تطبيقها لضرب الأعداد حتى 10*10 بأي ترتيب. وتتكوّن خطة درس خاصية الإبدال لعملية الضرب من الخطوات التالية:
- يجب أن تشمل خطة الدرس الأهداف والمتطلبات والنقاط الخاصة بخاصية الإبدال في عملية الضرب، ويتم تطبيقها لضرب الأعداد من 1 إلى 10 في أي ترتيب.
- وإن أهداف الدرس تكون كالتالي:
- يتمكن الطالب من استخدام النماذج للتحقق من خاصية الاستبدال في عملية الضرب.
- يجب على الطالب أن يكتب حقيقتين مرتبطتين بحقائق الضرب لشرح المصفوفة.
- يجب على الطالب أن يدرك حقيقتين مترابطتين في عملية الضرب، وأن يستخدم مجموعات متساوية لتوضيحهما.
- يجب على الطالب أن يتمكن من العثور على العامل المفقود في تعبير الضرب عن طريق استخدام خاصية الإبدال.
- وإن متطلبات درس خاصية الإبدال لعملية الضرب هي:
- يجب أن يكون الطالب ملمًا بنموذج المساحة والمصفوفات.
- يجب على الطالب أن يكون على دراية سابقة بالمفاهيم الأساسية لعملية الضرب.
وإن شرح درس خاصية الإبدال لعملية الضرب تكون كالتالي:
- يجب على الطالب إكمال عملية الحساب 85=5… ويجب عليه معرفة أنه يجب وضع الرقم ثمانية في هذا المكان، والسؤال هنا هو لماذا وضعنا الرقم ثمانية؟ ويجب على المعلم أن يذكر خاصية الإبدال التي تم استخدامها.
- تتمثل خاصية الإبدال في أن عندما يتم ضرب العدد 3 بالعدد 2، فإن الناتج يساوي ضرب العدد 2 بالعدد 3.
- في ضرب الأعداد، فإن خاصية التبديل أو الإبدال لا تؤثر على النتيجة بأي حال من الأحوال.
- ومن الممكن أن يطرح المعلم للطلاب مثال أن هناك طفل يمسك بيده اليمنى تفاحة ويمسك بيده اليسرى برتقالة فلو بدل بينهما أي أصبح يمسك التفاحة باليد اليمنى والبرتقالة باليد اليسرى، فهنا نجد أن التبديل أو الإبدال لا يغير في النتيجة أبداً، فهو في الحالتين معه برتقالة واحدة وتفاحة واحدة هو فقط طبق خاصية الإبدال.
ومن الممكن أن نطبق خاصية الإبدال في المصفوفات وتكون كما يلي:
في حال رغبتنا في توضيح المصفوفة عند تنفيذ عملية الاستبدال، نقدم للطالب الصورة الموضحة أدناه ونطلب منه مقارنة التعبيرين واختيار الرمز الناقص. على سبيل المثال، نقارن بين ضرب خمسة في ستة وضرب ستة في خمسة لمعرفة أيهما أكبر أو يساوي أو أصغر. نجد أن المصفوفة على الجهة اليمنى تحتوي على خمسة صفوف وستة أعمدة، بينما المصفوفة على الجهة اليسرى تحتوي على ستة صفوف وخمسة أعمدة. يمكننا مقارنة التعبيرين بتحديد عدد المربعات في كل مصفوفة. وبعد العد، نجد أن هناك ثلاثين مربعا في المصفوفة اليمنى، بينما يوجد ثلاثون مربعا في المصفوفة اليسرى. وهذا يعني أن ضرب خمسة في ستة يساوي ضرب ستة في خمسة.
خاصية التجميع للصف الثالث الابتدائي
تتميز عملية ضرب الأعداد بخاصية التجميع، فبالإضافة إلى خاصية التجميع بالجمع، يمكننا التجميع بالضرب. على سبيل المثال، إذا كان لدينا 2 × 3 × 5 = …، فيمكننا أن نأخذ العددين الأولين ونضربهما، ثم نضرب الناتج في العدد الثالث. أو يمكننا أن نضرب العدد الثاني والثالث معا، ثم نضرب الناتج في العدد الأول. والناتج سيكون هو نفسه في كلا الحالتين: 2 × 3 × 5 = 6 × 5 = 30. ونستطيع أيضا أن نضرب العدد 3 بالعدد 5، ثم نضرب الناتج في العدد الأول، أي 15 × 2 = 30. وهكذا، سنقدم مثالا آخر:
يمكن حساب مضاعفات الأعداد بطرق مختلفة، فمثلاً 2 × 4 × 3 يمكن حسابها بضرب العدد 2 بالعدد 4 ليكون الناتج 8، ثم ضرب الناتج بالعدد 3 ليكون الناتج 24. كما يمكن حسابها بخاصية الإبدال، حيث يمكن ضرب العدد 4 بالعدد 3 ليكون الناتج 12، ثم ضرب الناتج بالعدد 2 ليكون الناتج 24. وفي كلا الطريقتين يتم الحصول على نفس الناتج.
في عملية الجمع، خاصية التجميع تنص على أن ناتج عدة أرقام حقيقية سيكون مساويا عندما نغير الأعداد الموجودة داخل الأقواس أو عند تغيير طريقة تجميع الأعداد المضافة، وسيكون الناتج هو نفسه بغض النظر عن ترتيب الأعداد. لا يمكن استخدام خاصية التجميع إلا مع الجمع والضرب، كما ذكرنا سابقا، ولكن لا يمكن تطبيقها مع الطرح والقسمة. هناك بعض الأمثلة على خاصية التجميع في عملية الجمع
4 + ( 5 + 3) =5+ (3 +4) = 3 +(5 + 4) = 12
24=2 x (4 x 3) = 3 x (4 x 2)
هذه الأمثلة توضح أن خاصية التجميع تتغير، وعند تنفيذ التغيير وخاصية الإبدال، الناتج لا يتأثر أبدا. تستخدم هذه الخاصية عند إضافة أو ضرب أعداد متعددة، حيث يمكننا تجزيءها إلى مكونات أصغر لتبسيط الحل باستخدام الأقواس. يجب التنويه بأن خاصية الإبدال لا تنطبق على الطرح أو القسمة، لأنها تغير الناتج.
خواص الجمع والطرح
إن هناك خصائص محددة للجمع وتتجلى في:
- الخاصية التبديلية هي تغيير ترتيب الأعداد المضافة بحيث لا تؤثر على النتيجة، كما تم شرحها سابقا.
- تم شرح الخاصية التجميعية سابقا في هذا المقال.
- خاصية الهوية والتي تنص على أن نتائج جمع أي عدد مع الصفر يكون مساويا للعدد نفسه.
- الخاصية الانغلاق هي جمع عددين صحيحين ويكون الناتج عددا صحيحا .
أما خصائص علمية الطرح
- عند مساواة الطرفين في المعادلة بنفس العدد، يكون الطرفان متساويين.
- عندما يتم طرح عدد ما من نفسه، يكون الناتج مساويًا للصفر.
- إذا كانت أ، ب، ج هي أعداداً صحيحة وكان: إذا كان أ – ب = ج، فإنه إذا وجد أعدادًا صحيحة لأ وب، وكانت أ > ب أو أ = ب، فإن أ – ب يساوي عددًا صحيحًا، أما إذا كان ب > أ، فإن النتيجة تكون عددًا سالبًا.