امثلة على البرهان الجبري

يعتبر علم الجبر هو أحد أهم فروع علم الرياضيات، وهو العلم القائم على مجموعة من الأعداد والأرقام التي تخضع إلى مجموعة من العمليات الرياضية والقوانين من أجل الوصول إلى نتائج معينة مطلوبة، وقد التصاق مفهوم البرهان بهذا العلم في إشارة إلى طريقة إثبات حقيقة ما؛ حيث يتم الاستعانة به من أجل تحديد صحة أو خطأ علاقة ما، كما أن البرهان يعمل على الوصول إلى الحقائق والمسلمات مثل إثبات صحة نظرية فيثاغورث، ليظهر في هذا العلم ما يعرف باسم البرهان الجبري.

ما هو البرهان الجبري

الحل الجبري هو نوع من البراهين الرياضية المعروفة والأكثر شهرة، ويتم استخدامها لحل المعادلات والمتباينات الرياضية. على سبيل المثال، يتم استخدام الحل الجبري في إثبات نظرية أن مجموع زوايا المثلث تساوي 180 درجة، وهذا يعتبر حقيقة مقبولة. ويعتبر هذا البرهان مختلفا عن البرهان الهندسي الذي يستند إلى قياس الزوايا وإثبات التوازي وغيرها من القضايا الهندسية. وبالإضافة إلى ذلك، هناك ما يعرف بالبرهان الإحداثي الذي يهتم بإثبات المستوى ووضع بيانات حول قوانين الهندسة التحليلية.

أمثلة على البرهان الجبري

هناك العديد من الأمثلة التي توضح البرهان الجبري، وتشمل بعض الأسئلة التي يمكن استخدامها لإثبات حقائق معينة أو عدمها:

السؤال الأول : إذا كان لدينا 5 – (4 + ×) = 70 ، فإن x = -18

الإجابة : المعادلة الأصلية هي 5 – (4 + ×) = 70

خاصية التوزيع 5-. x + (-5(.4 = 70

وبالتبسيط يصبح 5-x-20 = 70

تتضمن خاصية جمع المساواة (5-x – 20 + 20 = 70 + 20)

وبالتبسيط تكون النتيجة 5- = 90

وخاصية القسمة للمساواة 5- 5-

– وعند التبسيط ، يصبح النتيجة (x = -18) ، وهو ما يتعين إثباته.

السؤال الثاني : أثبت أن 2(2س+5)-2 = 28 ؛ إذا كانت س = 5

الإجابة : بما أن س = 5 ؛ فإن 2س = 2×5 = 10

إذن، إذا كان (2س + 5) = (10 + 5) = 15

وَبِذَلِكَ فَإِنَّ 2(2س + 5) – 2 = 2(15) – 2

وبالتالي، يتم إثبات النتيجة بأن 30-2 = 28.

السؤال الثالث : تتباين آراء الخبراء حول صحة نظرية هيرنان، التي تقول بأنه إذا قمت بتعداد عدد وأضفت إليه 1، فإن النتيجة ستكون عددًا أوليًا

الإجابة : البداية من الأرقام الأصغر كالتالي

1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2

2 + 1 = 1 + 1 = 2

2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5

2 + 1 = 4 + 1 = 5

في بيان نتائج الأرقام الصغيرة، تظهر الأعداد أولية مما يشير إلى صحة هذه النظرية، ولكن يمكن اختبارها بتجربة استخدام الرقم المربع كما يلي

3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10

2 + 1 = 9 + 1 = 10

تظهر هذه النتيجة أن الأعداد ليست أعدادًا أولية، وبالتالي فإن نظرية هيرنان غير صحيحة ولا يمكن أن تشمل جميع الأرقام.

السؤال الرابع :  يتم إثبات أن (n+2)^2 – (n-2)^2 يمكن قسمته على 8 بدون باقي لأي عدد صحيح موجب n

الإجابة : يجب توسيع الشريحة الأولى كالتالي

(ن + 2) ^ 2 = ن ^ 2 + 2N + 2N + 4 = ن ^ 2 + 4N + 4 = (ن + 2) 2 = ن 2 + 2N + 2N + 4 = ن 2 + 4N + 4

ثم يتم توسيع القوس الثاني ليصبح

(ن 2) ^ 2 = ن ^ 2 – 2n – 2N + 4 = ن ^ 2 – 4n + 4 (ن 2) 2 = ن 2 – 2n – 2N + 4 = ن 2 – 4n + 4

بالتوسع في الصيغة (ن + 2) ^ 2 – (ن ^ 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2 – 4n + 4) = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2 – 4n + 4) ، نلاحظ أن (ن ^ 2 – ن ^ 2) و (4n-4n) سيتم إلغاء البنود

ونتيجة ما سبق، يبقى ما هو عليه

(ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N ، وبالتالي يتم تبسيط التعبير بأكمله ليصبح في صيغة(8n8n)  ، ومن ثَم إذا كان nn عددًا صحيحًا ؛ فإن 8n8n يجب ان تكون قابلة للقسمة على رقم 8 ، ومن هنا تكون الإجابة إذا تمت القسمة على 8 هي nn

وبالتالي فإن الحالة تصبح (n + 2) ^ 2 – (n – 2) ^ 2 (n + 2) ، مما يثبت أن المعادلة المطلوبة قابلة للقسمة على الرقم 8 لأي عدد صحيح موجب n ، وهذا ما يجب إثباته.