النظرية الاساسية في التفاضل والتكامل

يعد علم الرياضيات من أكثر العلوم شيوعا في الدراسة والتطوير، ويندرج في العديد من المجالات الحيوية التي تحيط بنا .

أهمية التفاضل والتكامل

نستخدم الرياضيات في البناء والهدم والصناعة والاختراعات والاكتشافات، بالإضافة إلى القياسات والحسابات التي نقوم بها في حياتنا اليومية البسيطة، وأحد أهم فروع الرياضيات هو التفاضل والتكامل الذي يعمل على اكتشاف المتغيرات والطرق والكيفيات التي تحدث بها هذه التغيرات، ويتم ذلك من خلال النظر إليها باعتبارها قيم صغيرة تعرف بالكمية المتناهية في الصغير.

تاريخ التفاضل والتكامل

ابتكر العالم البريطاني الشهير إسحاق نيوتن والعالم الألماني جوتفريد لايبنتز التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر بالشكل الذي ندرسه اليوم، حيث قاموا بتطوير المبادئ والأساسيات بشكل مستقل. وأصبح التفاضل يعتمد على علم الهندسة، والتكامل ينطلق من علم الرياضيات الرمزية.

لم يكن الابتكار الذي قام بهما كلاً من العالمين نيوتين وجوتفريد لايبنتس منفصلاً عن السياق التاريخي لعلم الرياضيات منذ القدم بل يعتبر هذا امتداد وتطوير لأفكار عالمان اخران مشهوران وهم باسكرا الثاني الذي ظهرا في القرون الوسطى في الهند وأيضاً إمتداد لأبحاث العالم اليوناني أرخميدس الذي ظهر في اليونان القديمة من عام 287 حتى عام 212 قبل الميلاد .

هؤلاء سبقوا نيوتن وجوتفريد لايبنتس في تطوير أفكار التفاضل والتكامل بمدة طويلة إلا أن أفكارهم كانت مختلفة بشكل كبير عما هي عليه الآن ، وكانت هذه الافكار للأسف اكتشافات ثورية وتعتبر أفكار جديدة وصعبة الفهم في هذا الوقت فأصبحت مدفونة ومنسية إلي أن قام العالمين نيوتن ولايبنتز بتطويرها لتخرج لنا بهذا الشكل الجديد والذي نقوم بدراسته في هذا الوقت.

أصل تسمية علم التفاضل والتكامل

تعود معنى كلمة التفاضل والتكامل باللغة الإنجليزية calculus من أصل بسيط مشتقة فهي من عدة كلمات وهي calculation وهي تعني الحساب وكلمة حسب calculate وهذه الكلمات جميعها مشتقة في الأساس من كلمة calculi والتي تعني خرزات حجرية والتي كانت تستخدم في تعداد احتياطي الحبوب والماشية ، وتسمي اليوم الحصوات التي تتشكل في الكليتين أو المرارة بنفس الكلمة وهي calculi.

ما الفائدة من استخدام الكميات المتناهية في الصغر في عمليات التفاضل والتكامل؟

لنتحدث عن الصيغة الرياضية التي تمثل مساحة الدائرة، والتي تساعدنا في فهم معنى الفوائد التي تأتي من الكميات المتناهية الصغر.

هذه الصيغة التي أشار إليها الأستاذ ستيف ستروجانس في جامعة كورنيل، رغم بساطتها، إلا أنه لا يمكن تشتيتها بدون القيمة الصغيرة لا متناهية وهذه الصيغة هي (A=πr²).

توجد نسبة ثابتة ومحددة بين محيط الدائرة وقطرها وهي تساوي تقريبًا 3.14، ونسمي هذه النسبة باسم (باي) (pi) ونرمز لها بالرمز (π). ويمكننا استخدام هذه النسبة لحساب محيط الدائرة بواسطة الصيغة (C=2πr)، حيث (r) هو نصف قطر الدائرة.

لحساب مساحة الدائرة، يتم تقسيمها إلى ثمانية أقسام وإعادة ترتيبها جنبًا إلى جنب مرة أخرى، ومن ثم يتم قياس الضلع القصير المستقيم لها ليكون مساويًا لنصف قطر الدائرة (r) المقسومة، ويكون الجانب الطويل المنحني مساويًا لنصف محيط الدائرة (πr).

إذا تم إعادة تقسيم الشكل بحيث يتكون من 16 قطعة، ستبقى نفس الأبعاد كما هي في الجانب الطويل والقصير، باستثناء التعرجات الموجودة في الضلع الطويل، وسيبدأ زاوية الأضلاع بالاقتراب من الزاوية القائمة.

كلما قمنا بزيادة تقسيم الشرائح أو تقسيم قيمة المحيط والقطر (المعروف بالرقم 3.14) إلى عدد لا نهائي، زاد عدد الزوايا لتصبح أكثر قائمية، وتنخفض الانحناءات الموجودة حتى تصل إلى صفر، وبالتالي يتشكل شكل المستطيل ويسهل حساب مساحته .

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

ترتبط هذه النظرية بالعملية التي تستند عليها عمليات التفاضل والتكامل.

ينص الجزء الأول من هذه النظرية على أنه يمكن عكس التكامل الذي يمكن تحديده من خلال التفاضل.

يمكننا استخدام إحدى اشتقاقات الدالة العكسية غير المحدودة بكثرة لحساب التكامل المحدد لدالة ما، ويعد هذا الجزء من النظرية مهمًا جدًا لتسهيل عملية حساب التكاملات المحددة.