الفرق بين المسلمات والبديهيات

ماهي البديهيات

البديهيات هي أحد الأسس الرياضية الأساسية، وعند البحث عن سبب تعلم الرياضيات، يمكن القول إنها من أهم العلوم الحياتية، حيث تشكل أساسا للعديد من العلوم الأخرى مثل الطب والكيمياء. في علم الرياضيات، لا يمكن الاعتماد على الاستنتاجات المستقاة من تجارب قليلة فقط، بل يتطلب الأمر توفير حجج منطقية دقيقة تؤدي إلى نتائج معروفة وموثوقة

إذ أن تلك الحجة يُطلق عليها اسم (إثبات)، والبراهين هي التي تسببت في جعل الرياضيات تختلف عن كافة العلوم الأخرى، نظراً لأنه فور إثبات نتيجة ما فيكون هناك تأكد تام من صحتها وأنها ستظل دائمًا صحيحة، فمن غير الممكن أن تكون مجرد نظرية تتماشى مع المراجعة ويمكن أن تُستبدل بنظرية أفضل مستقبلًا، يُطلق على النتيجة أو الملاحظة المُعتقد بأنها صائبة باسم (الفرضية أو التخمين)، أما بعد أن يتم إثباتها فتُسمى بالنظرية، وعند إثبات النظرية يصبح من الممكن أن تُستخدم في إثبات غيرها من النتائج المُعقدة، وعلى ذلك تُبنى شبكة متنامية من نظريات علم الرياضيات.

في الأصل، كان علماء الرياضيات القدماء من اليونان هم أول من تطوروا فكرة الرياضيات من خلال الاستدلال المنطقي والواضح. كانوا يفترضون صحة المبادئ الأساسية دون الحاجة إلى إثباتها، وعلى الرغم من عدم وجود صعوبة كبيرة في ذلك، نظرا لأن المبادئ الأساسية تعتبر معروفة أو تعاريف واضحة ومحدودة في العدد. على سبيل المثال، يمكننا أن نقول بأنه من المبادئ الأساسية أن (أ + ب) يساوي (ب + أ) لأي رقمين أ وب

ولا يرتبط علم الرياضيات على اختيار المجموعة الصائبة من البديهيات، ولكنها مرتبطة بتنمية إطار عمل من نقاط البداية تلك، ففي حال تم البدأ ببديهيات مختلفة فسوف يتم الحصول على نوع مختلف كذلك من الرياضيات، في حين أن الحجج المنطقية ستظل هي ذاتها، ومن الجدير بالذكر أن لكل فرع من فروع الرياضيات عدد من البديهيات الرئيسية الخاصة به، ولكي تُصاغ البراهين يكون من اللازم في بعض الأوقات الرجوع إلى أساس اللغة المكتوبة بها الرياضيات، وهي نظرية المجموعات، والمجموعة عبارة عن عدد من الأشياء، كالأرقام، وفي الغالب ما تُكتب عناصر المجموعة داخل قوسين معقوفين.

ويمكن للمشكلات الموضوعية أن تُصاغ بطريقة نظرية المجموعات، ولكي نُثبت ذلك لا بد من وجود مجموعة من البديهيات النظرية، وعلى مدار الوقت قام علماء الرياضيات باستخدام مجموعات متنوعة من البديهيات، وكانت أكثر تلك البديهيات قبولًا بشكل كبير تسع من بديهيات (Zermelo-Fraenkel) (ZF) وهي:

• بديهية من التوسع: إذا كانت هناك مجموعتان يحتويان على نفس العناصر، فإنهما متساويتان.
• بديهية الفصل: من الممكن إنشاء مجموعة فرعية من مجموعة أكبر تحتوي على بعض العناصر
• مجموعة فارغة من البديهيات: هناك مجموعة لا يوجد فيها أعضاء، وهي مكتوبة على شكل {} أو ∅.
• مجموعة أزواج بديهية: بعد رؤية الكائنين (x، y)، يمكن إنشاء مجموعة {x، y}.
• اتحاد البديهيات: يمكن إنشاء اتحاد بين مجموعتين أو أكثر.
• مجموعة الطاقة البديهية: يمكن إنشاء مجموعة جديدة من جميع المجموعات الفرعية (مجموعة الطاقة) عند التفكير في أي مجموعة.
• البديهية اللانهائية: يوجد مجموعة تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر
• البديهية المؤسسة: تشكل المجموعات من مجموعات أصغر، مما يشير إلى أن جميع المجموعات (غير الفارغة) تحتوي على أدنى حد من الأعضاء
• البديهية من الاستبدال: إذا تم تطبيق دالة على كل عنصر في المجموعة، ستكون الإجابة مجموعة أيضًا.

من بين أفضل الطرق في حل المسائل الرياضية بدون تجربة مسبقة كان مفهوم البديهيات في علم الرياضيات، ومع ذلك، لا يوجد ضمان مؤكد للوصول إلى الإجابة الصحيحة، نظرا لوجود عدد كبير من الأشخاص الذين توصلوا إلى نتائج وحلول مشابهة بنفس الأسلوب أو باستخدام نفس القوانين المستخدمة سابقا.

ما هي المسلمات

يعتمد مفهوم المسلمات في الغالب على العمل العقلي، ويستخدم غالبا لإثبات دليل على قضية أو حل مشكلة. وهناك استدلال لا يحتاج إلى استدلال آخر، ومن الممكن أن يكون من أكبر المساعدات في نظريات الرياضيات التي قدمها الإغريق القدماء هو الأسلوب البديهي ومفهوم الإثبات. تم تأكيد ذلك في أكاديمية أفلاطون، ووصلت ذروتها في الإسكندرية حوالي عام 300 قبل الميلاد مع إقليدس. يجدر بالذكر أن عناصر هذه الفكرة لا تزال موجودة، على الرغم من بعض التغييرات التي طرأت عليها للتعديل

وقد كانت تلك الفكرة قائمة على أن: يوجد مجموعة من الحقائق الرياضية الرئيسية والتي نُعرف بالبديهيات أو المسلمات، ومن الممكن أن يُستخرج منها عبارات صائبة أخرى من خلال عدد قليل من الإجراءات، ولكن قد يحتاج الأمر إلى مقدارًا ضخمًا من المهارة حتى يتم ابتكار دليل، في حين أن هناك اعتقاد اليوم بأنه لا بد وأن يكون التحقق ميكانيكيًا مُمكنًا، خطوة بخطوة.

وإذا كان هذا الدليل المعتقد بالفعل صحيحا، فلا بد أن يكون لجهاز الحاسوب الحالي القدرة على تنفيذ ذلك، ويطلق على العبارات الرياضية التي يمكن إثباتها باسم (النظريات)، وينتج عن ذلك من حيث المبدأ أن الأجهزة الميكانيكية مثل الحواسيب الحديثة قادرة على إنتاج جميع النظريات. ويعود الاهتمام بتطوير هذه النظريات إلى أهمية الرياضيات في حياتنا

الفرق بين المسلمات والبديهيات

 إن غالبية علوم الرياضيات الحديثة لا تحتوي على فروقات بصورة عامة بين ما كان يتم الإشارة إليه قديمًا باسم “البديهيات” و “المسلمات”، في حين أن الرياضيات الحديثة تقوم بالتمييز بين البديهيات المنطقية والبديهيات غير المنطقية، وتُشير إلى البديهيات غير المنطقية أحيانًا على كونها (مسلمات)، ويمكن القول بأن الفرق بينهما هو:

• إن البديهيات تكون عبارة عن عادات بديهية، ويكون هناك فرض بأنها صائبة مع عدم وجود دليل، ولكنها تُستخدم كبداية الانطلاقة في البرهان الرياضي لكي يتم استنباط الحقائق الأخرى.
• الأمر الواضح هو أنه يجب تأكيد التوصل للحل ولم يتم تجربته سابقا، مما يشير إلى أن المفهوم الواضح يعني قبول الشيء دون جدال ومناقشة، ومع ذلك، يتم تقبل الوضوح تماما دون دليل كاف، وعلى الرغم من ذلك، لا يمكن للوضوح أن يكون أساسا للمعرفة بسبب عدم كفايته، ولذلك تأتي الحقائق الأساسية لإكماله.
• يتمثل مفهوم البديهية في العام، في حين يكون مفهوم المسلمة خاصًا.
• البديهية هي قوانين يتم استخدامها في حل المسائل، ومع ذلك فإن المسلمات هي تلك التي يتم الاعتماد عليها في إنشاء القوانين التي يستخدمها البديهية في حل المسائل الرياضية وغيرها.