الفرق بين العدد النسبي والكلي والصحيح بالأمثلة

أمثلة عن العدد النسبي والكلي والصحيح

بعد التعرف على الاختلافات بين العدد النسبي والعدد الكلي والعدد الصحيح، سنقدم بعض الأمثلة ونطرحها على شكل أسئلة تعزيزية يمكن أن يستخدمها المعلم في الصف، وسيتم تصنيف الأمثلة في جدول، وهي كالتالي:

في أي قائمة أو في أي قوائم سنكتب الرقم 4 ولماذا؟

• يتم كتابة الرقم -4 في خانة الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية، ويعود السبب في ذلك إلى أنه يعتبر عددًا صحيحًا وكل عدد صحيح هو عدد نسبي.

• يعتبر هذا العدد عددًا نسبيًا، وليس عددًا كليًا أو صحيحًا، وذلك لأنه تم تمثيله على شكل نسبة بين عددين صحيحين.

في أي قائمة أو من القوائم نكتب الرقم -0.3 ولماذا

• يتم كتابة هذا الرقم السالب في خانة الأعداد النسبية، وذلك لأن كل عدد كسري عشري أو دوري يعتبر عددًا نسبيًا.

في أي قائمة سيتم كتابة العدد 64√؟ ولماذا

• يعادل جذر 64 الرقم 8، ويعتبر هذا الرقم عددًا صحيحًا وعددًاكليًا وعددًا نسبيًا.

أمثلة أخرى عن الأعداد النسبية والصحيحة والأعداد الكلية:

1. مثال عن الأعداد الكلية: 0، 1، 2، 3، 4، 5… وتظهر الأعداد الكلية بالصفر والأعداد الموجبة.
2. مثال عن الأعداد الصحيحة مثل: تتجلى الأعداد الصحيحة بالصفر والأعداد الموجبة والسالبة وهي (-1،-4،-6،6،…).
3. مثال عن الأعداد النسبية: تشمل الأعداد الصفر والإيجابية والسالبة بالإضافة إلى الكسور.
4. الرقم 5 هو عدد صحيح ويمكن تمثيله بصورة كسر، حيث يكون البسط عدد صحيح يساوي 5 والمقام عدد صحيح يساوي 1.

ما هو العدد غير النسبي

العدد الذي لا يمكن تمثيله ككسر اعتيادي هو عدد غير نسبي. عند إدخال قيمة 7√ في الآلة الحاسبة، تكون القيمة العشرية 2.645713، وهذا الكسر العشري لا يتكرر وهو عدد غير منته، وبالتالي لا يمكن تمثيله ككسر عادي. العدد غير النسبي هو العدد الذي لا يمكن تمثيله ككسر، حيث a و b عددين صحيحين و b ليس يساوي الصفر. وإليك بعض الأمثلة

• 2√=1.414213562
• -3√=-1.733050807

الأعداد النسبية

تعد الأعداد النسبية جزءا من مجموعة الأعداد الصحيحة. فعددا نسبيا يكتب على شكل كسر مثل 6/1. ويعتبر هذا الكسر عددا نسبيا وصحيحا لأن الناتج يكون عددا صحيحا. ولكن عندما يكون الناتج كسرا، أي ليس عددا صحيحا، فإنه لا يعتبر عددا صحيحا، بل ينتمي فقط إلى مجموعة الأعداد النسبية. وعند ضرب العدد ثلاث مرات في الكسر 6/1، يصبح الناتج 18/3. وهذا الكسر يكون العدد 6، وهو عدد صحيح. وهناك بعض القواعد المتعلقة بالأعداد النسبية التي يجب مراعاتها

• يمكن كتابة الأعداد النسبية على شكل أعداد صحيحة.
• هناك أعداد نسبية لا يمكن تمثيلها على شكل أرقام صحيحة.
• كل عدد صحيح هو عدد نسبي، ولكن ليس كل عدد نسبي هو عدد صحيح، فالعكس غير صحيح.
• يكون العدد النسبي إيجابيًا عندما يكون للأرقام a و b نفس الإشارة.
• يكون العدد النسبي سالبًا إذا كانت أشارة الأعداد a و b مختلفة.
• يكون العدد النسبي صفرًا عندما يكون a يساوي الصفر.
• يمكن كتابة العدد النسبي في أبسط صورة له.

جذر 2 عدد غير نسبي

تعتبر مقولة جذر 2 هو عدد غير نسبي واحدة من النظريات الشائعة، وهي المرتبة السابعة التي تمت برهانها عن طريق الرياضي العالم إقليدس، الذي عاش في عهد الدولة البطلمية في الإسكندرية. اعتقد فيثاغورث أن الكون يتألف من أعداد نسبية ذات معنى عميق، وأن جميع القوانين الكونية تعتمد على الأعداد النسبية التي تربط طول القطر لأي مربع بطول ضلعه. ولكن وجد أن نظرية فيثاغورث كانت خاطئة، حيث أن النسبة بين طول قطر المربع وطول ضلعه هي عدد غير نسبي، أو ما يسمى الفيثاغورثيون بعدد أبله. وفي هذه الحالة، أدرك الفيثاغورثيون أنهم يواجهون مشكلة يجب أن يجدوا لها حلا.

ونجد أن العلاقة بين طول قطر المربع وطول ضلعه هي عدد غير نسبي، حيث يبين التعبير الرياضي أن العدد الغير النسبي a لا يمكن تمثيله بصورة p/q حيث p و q هما عددان صحيحان أو يمكن أن يكونا عددان طبيعيان، ولم يكن للإغريق مفهوم الأعداد السالبة. وهنا جاء إقليدس الذي أثبت أن جذر الرقم 2 هو عدد غير نسبي، حيث استند إلى نظرية فيثاغورس التي تقول إن طول وتر المثلث القائم الزاوي يساوي طول ضلع القاعدة التي تبلغ 1 متر، وبالتالي فإنه يكون عددا غير نسبي ويساوي جذر 2. وقد قام إقليدس بإثبات ذلك عن طريق:

• تمثل الرقم 2 على شكل كسر جزئي p/q حيث p و q رقمان طبيعيان لا يشتركان في أي عامل مشترك، وهذا يختلف عن الرقم 1.
• يتضح أن q وp هما عددان لكنهما ليسا زوجيان، لأن الأعداد الزوجية يمكن تخصيصها وتختزلها، وهذا يتعارض مع الفرض الذي وضعه إقليدس.
• بتربيع العدد يتم الحصول على قيمة [latex] p^2/q^2 = 2[/latex].
• يتضح من ذلك أن q² هو عدد زوجي، وهذا يعني أن q أيضًا عدد زوجي، وهذا يتعارض مع فرضية إقليدس التي تشير إلى أن العددين ليس لديهما قاسم مشترك سوى الواحد، ومن هذه الفكرة استنتج إقليدس أن جذر العدد 2 هو عدد غير نسبي.