الفرق بين الاعداد الاولية والغير اولية

الأعداد هي العناصر الأساسية في مجال الرياضيات وهي تصنف إلى عدة أنواع، بمن فيها الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والكسور العشرية، وتصنف أيضا إلى أعداد أولية وأعداد غير أولية، فماذا نقصد بمصطلح الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية؟

الأعداد الأولية

العدد الأول هو عدد طبيعي يمثل قيمة أكبر من الوحدة، ولا يمكن قسمته على أي عدد آخر سوى نفسه والوحدة، ويمكن اعتبار أي عدد طبيعي يزيد عن الوحدة كـ “أولي”، وأي عدد طبيعي يمكن قسمته على أعداد أخرى غير نفسه والوحدة يقال عنه “مؤلف.

على سبيل المثال لا الحصر، يعتبر الرقم 5 عددًا أوليًا لأنه لا يمكن قسمه على أي عدد سوى 1 و5، بينما يعتبر الرقم 6 عددًا مركبًا لأنه يمكن قسمه على 1 و2 و3 و6.

تعمل المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور الرئيسي والمركزي للأعداد الأولية بنظرية الأعداد : “كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل المجموعة)”. هذه المبرهنة تلزم إقصاء العدد 1 من لائحة الأعداد الأولية.

لتحديد أولية أي عدد ما، هناك طرق سهلة ولكنها قد تكون بطيئة، تسمى إحدى تلك الطرق بالقسمة المتكررة، وتتمثل في عملية قسم هذا العدد على الأرقام المحصورة بين 2 وجذر تربيعي للعدد المعطى. هناك خوارزميات وآليات أخرى أكثر فعالية وأثرا من القسمة تستخدم في تحديد أعداد أولية كبيرة، خصوصا عندما يتعلق الأمر بأرقام ذات شكل مميز وخاص مثل الأعداد الأولية لميرسين. وتم الوصول إلى أكبر عدد أولي معروف حتى تاريخ 21 ديسمبر 2018 وهو يتكون من 24,862,048 رقم.

تعد مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية، وقد أثبت العالم أقليدس ذلك حوالي عام 300 قبل الميلاد، حيث لا توجد صيغة محددة لهذه المجموعة، وكل قيمها هي أعداد أولية. ومع ذلك، يمكن تطبيق آليات الدراسة على توزيع الأعداد الأولية وتطوير نظريات حولها.

أول دليل يشير في هذا الاتجاه هو دليل الأعداد الأولية، والذي تم إثباته في نهاية القرن التاسع عشر، ويشير إلى أنه بشكل عام، إذا اخترنا عددا طبيعيا عشوائيا، فإن احتمال أن يكون هذا العدد عددا أوليا يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتويها، أو بشكل أكثر تحديدا، يتناسب عكسيا مع اللوغاريتم الطبيعي للعدد n..

تم استكشاف الأعداد الأولية في العديد من الأبحاث، ولا تزال هناك الكثير من الأسئلة الأساسية كتجارب خيالية ريمان وفرضية حدسية غولدباخ التي تقول إن أي عدد زوجي هو أكبر من 2 ويمكن تمثيله على شكل مجموعتين من الأعداد الأولية. ومن الجدير بالذكر أن فرضية الأعداد الأولية التوأم تقول إن عدد الأعداد الأولية التي تختلف بمقدار 2 هو عدد غير منته، وهناك مسائل لا تزال غير محلولة حتى الآن بعد مرور العديد من القرون، والسبب الرئيسي لذلك يعود إلى عدم فهم العلماء لآلية توزيع الأعداد الأولية.

هذا على عكس الأعداد الفردية والزوجية، على سبيل المثال. تلك المسائل تسببت في تطورات عديدة في نظرية الأعداد، التي تهتم بالخصائص الجبرية والخصائص التحليلية للأعداد. يتم استخدام الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات، مثل التشفير باستخدام المفتاح العلني.

تعتمد هذه التقنية بشكل أساسي على خصائص مميزة ومعينة مثل صعوبة تحويل الأعداد الكبيرة إلى مضاعفات من الأعداد الأولية.

الأعداد غير الأولية

العدد غير الأولي أو مما يلق عليه العدد المؤلف وأيضاً يحمل لقب العدد المركب، بالإنجليزية: Composite number، هو العدد الصحيح الموجب ذو القواسم الغير بديهية، يمكن التعبير عنه من خلال ضرب عددين صحيحين قيمتهم أصغر منه، وكل عدد يطلق عليه غير أولي إذا كان لديه القابلية للقسمة على عدد واحد كحد أدني غير الواحد ونفسه، بذلك يكون كل عدد صحيح قيمته أكبر من الواحد إما هو عدد أوليا إما مركبا، أما العددان صفر و واحد فلا يحملان صفات الأعداد المركبة أو الأعداد الأولية.

على سبيل المثال لا الحصر:
يعتبر العدد 14 عددًا مركبًا لأنه يتألف من حاصل ضرب عددين صحيحين هما 2 و7، وكلاهما أقل من 14.
يعد الرقم 21 رقمًا مركبًا لأنه يمكن كتابته على شكل حاصل ضرب العوامل الأولين 3 و 7، ويعتبر 3 و 7 قواسمًا للرقم 21 وليسا عواملًا بديهية.
الأعداد 2 و 3 ليستا عددين مركبين لأنهما لا يمكن كتابتهما إلا بصيغة 12 أو 31، والرقم 11 أيضًا ليس عددًا مركبًا لأنه لا يحمل سمات الأعداد المركبة، وهو يصنف على أنه عدد أولي لا يمكن كتابته إلا بصيغة 11*1 فقط، وتعد هذه العوامل بديهيات في حالة الرقم 11.

عند تحليل عدد صحيح مثل 864، يمكن تمثيله على الشكل التالي: 864 = 25 × 33.
نجد أيضاً أن قواسم العدد 150 هي :

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (متسلسلة A002808 في OEIS)

يمكن صياغة أي عدد مركب بصورة حاصل ضرب عددين أو أكثر، وعلى سبيل المثال، يمكن كتابة العدد المركب 299 على شكل 13 × 23، وكذلك يمكن استخدام مبرهنة الحسابات الأساسية لكتابة الرقم المركب 360 على الصيغة التالية: 23 × 32 × 5.

هناك العديد من الاختبارات المتاحة لمعرفة ما إذا كان العدد أوليًا أم مركبًا، دون الحاجة إلى تحليل العدد لمعرفة عوامله المشتركة.