الترتيب الصحيح لاجراء العمليات الحسابية

ما هو الترتيب الصحيح لاجراء العمليات الحسابية

في الرياضيات، يعد ترتيب العمليات قاعدة تحدد التسلسل لحل المعادلات الرياضية المتعددة. يتم تمثيل ترتيب العمليات بواسطة PEMDAS، حيث تمثل كل حرف عملية حسابية.

• P Parentheses.
• E Exponent.
• M Multiplication.
• D Division.
• A Addition.
• S Subtraction.

قواعد PEMDAS التي توضح الترتيب الذي يستلزم به حل العمليات في الحسابات، الأقواس تعتبر لها الأسبقية على كل العوامل الأخرى، الخطوة الأولى هي حل كل العمليات في الأقواس، ويتم التدريب على كل المجموعات من الداخل وصولاً للخارج، وكل ما بين قوسين هو التجميع، الأس يعد هو إيجاد كل التعبيرات الأسية، أما الضرب والقسمةهو بعد هذا، الانتقال من اليسار إلى اليمين، ومن ثم الضرب أو اقسم أيهما يصل أولاً، الجمع والطرح في النهاية، الانتقال من اليسار إلى اليمين، أضافة أو اطرح أيهما يصل أولاً.

كيفية الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية

العمليات هي أشياء تتمثل في الجمع والطرح والضرب والقسمة. عند جمع رقمين معا، يتم ذلك بعملية الجمع. وعند ضرب الأعداد معا، يتم ذلك بعملية الضرب. وتستلزم العمليات تنفيذها أولا عند وجود مجموعة عمليات داخل نفس المعادلة. ترتيب العمليات مشابه لقواعد النحوية للغة الرياضيات، ويشرح طريقة تفسير المعادلة لتدل على معناها.

تطبيق ترتيب العمليات (PEMDAS)
ينص ترتيب العمليات الحسابية على أن العمليات يستلزم أن تتم بالترتيب الأتي: الأقواس، الأس، الضرب، القسمة، الجمع، والطرح.

1. الأقواس: – عند وجود أقواس، يجب البدء في عملية الحساب داخل الأقواس، وربما يلزم تقسيم العناصر المتاحة داخل الأقواس وفقا لترتيب العمليات. في بعض الحالات، يتم وضع أقواس بين أقواس، وفي هذه الحالات يجب العمل من الداخل إلى الخارج.
2. الرفع: إذا وجدت متغيرا في المعادلة، سيتم التعامل معه لاحقا.
3. الضرب والقسمة: يمكن إتمام الضرب والقسمة بنفس الطريقة، أي أنه لا يهم إذا تمت القسمة أو الضرب أولا، ولكن يجب إتمام العملية بعد الأقواس والأسس وقبل الجمع والطرح.
4. جمع وطرح: يقوم الجمع والطرح معا، ويمكن إجراء عملية الطرح أو الجمع أولا. إنها جزء من نفس الخطوة، ومع ذلك، لا يتم إتمامها إلا بعد توفر العناصر بين الأقواس والأس وأي عملية ضرب أو قسمة.

قوانين العمليات الحسابية

• القوانين التبادلية:

الجمع والضرب كلاهما يتم بشكل متبادل، وهذا يعني على سبيل المثال أن 3 + 4 = 4 + 3 و 3 × 4 = 4 × 3.

بشكل عام، ينطبق القاعدة الرياضية التالية: أ + ب = ب + أ، وأ × ب = ب × أ، على جميع أزواج الأرقام أ وب.

يعني التبادلية أنه لا يوجد فرق بين حساب أ + ب وب + أ، لأن الإجابة هي نفسها في كلا الحالتين.

وبالمثل، يعطي حساب أ × ب وب × أ نتيجة متماثلة.

• قوانين التجمعيات:

يعتبر الجمع والضرب كلاهما ترابطيًا، وهذا يعني أن 6 + (4 + 2) = (6 + 4) + 2 و 6 × (4 × 2) = (6 × 4) × 2.

عمومًا، ينطبق القانون التالي على كل ثلاثة أرقام (أ، ب، ج): أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج وأ x (ب x ج) = (أ x ب) x ج.

يضمن الترابط أن التعبيرات a + b + c و a × b × c لا تختلف، لأنه لا يوجد فرق في حساب أي من العمليتين أولاً.

• قوانين التوزيع

التبادلية والترابط تعتبر من خصائص عملية حسابية واحدة، والمعادلة 3 × (2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4) هي مثال على توزيع الضرب على الجمع، وعلى العموم، أ × (ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج) لأي أرقام أ ، ب ، ج يمكن توزيع الضرب على الجمع من اليمين، إذن (أ + ب) × ج = (أ × ج) + (ب × ج) لأي أرقام أ ، ب ، ج.

يمكن توزيع الضرب على الجمع والطرح من اليمين واليسار معًا

أ × (ب – ج) = (أ × ب) – (أ × ج) ، و

(أ-ب) × ج = (أ × ج) – (ب × ج) لأي من الأرقام أ وب وج

كل ما سبق يسمى قوانين التوزيع.

تعد توزيعية الضرب على الجمعوالطرح مفتاحًا لخوارزميات الضرب والقسمة.

يمكن تقسيم القسمة على الجمع من اليمين، حيث يمكن حساب (80 + 20) ÷ 8 على أنه 80 ÷ 8 + 20 ÷ 8.

مسائل على ترتيب العمليات الحسابية

12 – 2 ⋅ 5 + 1

تعتمد الإجابة التي تحصل عليها إلى حد كبير على الترتيب الذي تحل به المشكلة، فإذا قمت بحل المشكلة من اليسار إلى اليمين، مثل 12-2 ومن ثم 10×5 وأخيرًا إضافة 1، فسوف تحصل على 51.

12-2 ⋅ 5 + 1
10 5 + 1
50 + 1
51

على الجانب الآخر، إذا قمت بحل المشكلة بالاتجاه المعاكس – من اليمين إلى اليسار – فسيكون الإجابة صفرًا.

12-2 ⋅ 5 + 1
12 – 2 6
12-12
0

وأخيرا، ماذا لو أجريت العمليات الرياضية بترتيب مختلف قليلا؟ إذا قمت بالضرب أولا ثم الجمع، فإن الإجابة هي 3.

12-2 ⋅ 5 + 1
12-10 + 1
2 + 1
3

وتبين أن الإجابة الصحيحة في الواقع 3، لأنها الإجابة التي تحصل عليها عند اتباع ترتيب العمليات الرياضية القياسي، ويشير ترتيب العمليات إلى القاعدة التي تحدد الترتيب الصحيح لحل الأجزاء المختلفة في المسألة الحسابية، والعمليات الحسابية هي مجرد طريقة للحساب، ويشمل ذلك الجمع والطرح والضرب والقسمة.

ترتيب العمليات ذو أهمية بالغة، حيث يضمن أن يتمكن جميع الأشخاص من قراءة مشكلة وحلها بنفس الطريقة. بدون ترتيب قياسي للعمليات، ستكون الصيغ المستخدمة في الحسابات العلمية والمالية غير فعالة تماما، وسيكون من الصعب معرفة ما إذا كنت تحصلين على الإجابة الصحيحة في اختبار الرياضيات.

مدى أهمية الترتيب الصحيح لاجراء العمليات

ترتيب العمليات يشير إلى مجموعة من القواعد التي تحدد الترتيب الصحيح لحل أجزاء مختلفة من المسائل الحسابية، وهو اتفاق يتم التوصل إليه للتأكد من قراءة العملية وفهمها بنفس الطريقة.

ووفقا لترتيب العمليات، يجب أن نحل المعادلات بين الأقواس أولا، لأنها تشبه الحزم، ويتطلب حل الأقواس بشكل مستقل، أي بمعنى آخر، وتحتاج إلى حل العمليات بين الأقواس والأقواس وفقا لترتيب العمليات، وتظهر من الأقواس من أين تبدأ، بعد ذلك، تأتي الأسس التي تظهر أيضا كحزمة ويجب تبسيطها في البداية، ثم يتم الضرب والقسمة والجمع والطرح في النهاية، من المهم التأكد من أن الضرب والقسمة والجمع والطرح يتم من اليسار إلى اليمين.

في الاغلب ما يتساءل الطلاب عن اسباب الحاجة إلى اتباع ترتيب العمليات، طريقة للمساعدة على الفهم هي ممارسة لعبة صغيرة من خلالهم، أعط مشكلة رقمية مع عمليات مختلطة، على سبيل المثال 4+ 20 × 3 – 2 = واطلب من جميع الطلاب حلها بأي ترتيب يريدونه. سيكون هناك العديد من الإجابات لنفس المشكلة. حتى واحد الذي هو الصحيح انه مشتت للعاية، لهذا السبب نحتاج إلى هذه القاعدة الخاصة المسماة “ترتيب العمليات”، قد تمثل الجملة الرقمية أو الجملة الرياضية مشكلة كلامية، لذا يجب حلها بصورة منطقية للمشكلة.

على سبيل المثال، ما هي الجملة العددية للمسألة التالية: يبيع المزارع تفاحًا في السوق بسعر 3 دولارات للكيلوغرام والبرتقال بسعر 5 دولارات للكيلوغرام. يدفع 10 دولارات يوميًا لاستئجار الطاولة في سوق المزارعين. باع يوم الاثنين 12 كغ من التفاح و 9 كغ من البرتقال. كم المال الذي حصل عليه يوم الاثنين؟ الإجابة الصحيحة هي:
بإهمال ترتيب العمليات والقيام بالجمع أولاً، يمكنك الحصول على الإجابة الخاطئة في المعادلة التالية: [(3 × 12) + (5 × 9)] – 10. حيث 12 هي عدد الكيلوجرامات و 5 هي الدولارات. لا يمكن إضافتهم معًا بشكل منطقي.